What is the maximum value of 1 + 2sin²θ cos²θ - sin⁴θ - cos⁴θ where 0° < θ < 90° ?

Given:

Trigonometric expression is 1 + 2sin2θ cos2θ - sin4θ - cos4θ where 0° < θ < 90°

Formula Used:

2sinθ.cosθ = sin2θ 

sin²θ + cos²θ = 1

a² + b² = (a + b)² - 2ab

Calculation:

We have 1 + 2sin2θ cos2θ - sin4θ - cos4θ

⇒ 1 + 2sin2θ cos2θ - (sin4θ + cos4θ)

⇒ 1 + 2sin2θ cos2θ - [(sin2θ)² + (cos2θ)²]

⇒ 1 + 2sin2θ cos2θ - [(sin2θ + cos2θ)² - 2sin2θcos2θ]

⇒ 1 + 2sin2θ cos2θ - 1 + 2sin2θcos2θ

⇒ 4sin2θ cos2θ

⇒ (2sinθ.cosθ)²

⇒ (sin2θ)²

⇒ sin²2θ

The maximum value of sin²x = 1 at x = 90° 

∴ The maximum value of sin22θ = 1 at 2θ = 90°

i.e θ = 45° which satisfy the given condition