21 മുതൽ 199 വരെയുള്ള എല്ലാ ഇരട്ട സംഖ്യകളുടെയും ആകെത്തുക 11 നിരീക്ഷണങ്ങളോട് ചേർത്താൽ, അവയുടെ മാധ്യ മൂല്യം n ആണ്, അപ്പോൾ പുതിയ ഗണത്തിന്റെ മാധ്യ  മൂല്യം 99 ആയി മാറുന്നു. n ന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക.

നൽകിയിരിക്കുന്നത്:

21 മുതൽ 199 വരെയുള്ള ഇരട്ട സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക 11 നിരീക്ഷണങ്ങളോട് ചേർത്തിരിക്കുന്നു, അവയുടെ മാധ്യ മൂല്യം n ആണ്.

പുതിയ കൂട്ടം സംഖ്യകളുടെ മാധ്യം = 99.

ഉപയോഗിച്ച സൂത്രവാക്യം:

(1) A.P-യിലെ n സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക.

S = \(\frac{n(a+l)}{2}\)

ഇവിടെ, 

a, ആദ്യ പദത്തിന്റെ മൂല്യമാണ്

l, അന്തിമ പദത്തിന്റെ മൂല്യമാണ്

n, എന്നത് പദങ്ങളുടെ എണ്ണമാണ്

S എന്നത്, A.P-യിലെ n സംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുകയാണ്

(2) സമാന്തരശ്രേണിയിലെ അന്തിമ പദത്തിന്റെ മൂല്യം.

l = a + (n - 1)d

ഇവിടെ,

a, ആദ്യ പദത്തിന്റെ മൂല്യമാണ്

d, രണ്ട് പദങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള പൊതുവായ വ്യത്യാസമാണ്

n, എന്നത് പദങ്ങളുടെ എണ്ണമാണ്

l, അന്തിമ പദത്തിന്റെ മൂല്യമാണ്

കണക്കുകൂട്ടൽ:

n എന്നത് 21 നും 199 നും ഇടയിലുള്ള ഇരട്ട പദങ്ങളുടെ സംഖ്യയായിരിക്കട്ടെ.

ആദ്യത്തെ ഇരട്ട സംഖ്യയുടെ മൂല്യം (21 മുതൽ 199 വരെ), a = 22

അവസാന ഇരട്ട സംഖ്യയുടെ മൂല്യം (21 മുതൽ 199 വരെ), l = 198

രണ്ട് ഇരട്ട സംഖ്യകൾ തമ്മിലുള്ള പൊതുവായ വ്യത്യാസത്തിന്റെ മൂല്യം, d = 2

ഇപ്പോൾ,

⇒ 198 = 22 + (n - 1) × 2

⇒ 198 = 22 + (n - 1)2

⇒ 176 = (n - 1)2

⇒ (n - 1) = 88

⇒ n = 89

ഇപ്പോൾ,

21 മുതൽ 199 വരെയുള്ള എല്ലാ ഇരട്ട സംഖ്യകളുടെയും ആകെത്തുക S ആകട്ടെ.

⇒ S = \(\frac{89(22 + 198)}{2}\)

⇒ S = 9790

ഇപ്പോൾ,

11 നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ ശരാശരി = n

എല്ലാ 11 നിരീക്ഷണങ്ങളുടെയും ആകെത്തുക = 11n

ചോദ്യം അനുസരിച്ച്,

⇒ \(\frac{9790+11n}{89+11}\) = 99

⇒ \(\frac{9790+11n}{100}\) = 99

⇒ 9790 + 11n = 9900

⇒ 11n = 110

⇒ n = 10

∴ ആവശ്യമായ ഉത്തരം 10 ആണ്.

Additional Informationആദ്യത്തേയും അവസാനത്തേയും പദം അറിയുമ്പോൾ, സംഖ്യകളുടെ ശരാശരി കണ്ടെത്താൻ സൂത്രവാക്യം  ഉപയോഗിക്കുന്നു.

A = \(\frac{a+l}{2}\)

ഇവിടെ,

a, സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ ആദ്യ പദമാണ്

l, സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ അന്തിമ പദമാണ്

A, a മുതൽ l വരെയുള്ള സമാന്തര ശ്രേണിയുടെ ശരാശരിയാണ്.

ശ്രദ്ധിക്കുക: മുകളിലെ സൂത്രവാക്യം സമാന്തര ശ്രേണിക്ക് മാത്രമേ ബാധകമാകൂ.

തുടർച്ചയായ പദങ്ങൾക്ക് പൂജ്യമല്ലാത്ത സ്ഥിരാങ്കമായി പൊതുവായ ഒരു വ്യത്യാസമുണ്ടെങ്കിൽ, ആ ശ്രേണിയെ ഒരു സമാന്തര ശ്രേണി എന്ന് വിളിക്കാം.