\(\rm \int_{-\pi/2}^{\pi/2} x^{5}\sin^{4}x dx\) का मान क्या है?

अवधारणा:

सम और विषम फलनों के समाकलन के नियम,

यदि फलन सम या विषम है और अंतराल [-a, a] है तो हम इन नियमों को लागू कर सकते हैं:

• जब f(x) सम है  ⇔ \(\rm\int_{-a}^{a}f(x)dx= 2 \int_{0}^{a}f(x)dx\)
• जब f(x) विषम है ⇔ \(\rm\int_{-a}^{a}f(x)dx= 0\) 

गणना:

माना f (x) = x⁵ sin⁴ x 

f (-x) = (-x)⁵ sin⁴ (-x) = -x⁵ (-sin x )⁴ = -x⁵ sin⁴ x 

⇒ f(-x) = - f(x) 

तो f(x) एक विषम फलन है। 

हम जानते हैं कि, जब f(x) विषम है ⇔ \(\rm\int_{-a}^{a}f(x)dx= 0\) 

इसलिए , \(\rm \int_{-\pi/2}^{\pi/2} x^{5}\sin^{4}x dx\) = 0 .  

सही विकल्प 4 है।