Question
Download Solution PDFगुणन के अंतर्गत प्राकृतिक संख्याएँ > 1 के समुच्चय के बारे में क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Detailed Solution
Download Solution PDFप्रयुक्त सूत्र:
गणित में, एक समुच्चय अवयव का एक समूह है, जिसे एक द्विआधारी (बाइनरी) संक्रिया (जैसे जोड़ना या गुणा) का उपयोग करके जोड़ा जा सकता है, जो निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है।
संवृत: यदि a और b समूह के अवयव हैं, तो द्विआधारी (बाइनरी) संक्रिया (a * b) का परिणाम भी समूह का एक अवयव ही होना चाहिए।
साहचर्य: समूह में किसी भी a, b और c के लिए, (a * b) * c = a * (b * c)
तत्समक अवयव: समूह में एक अवयव e इस प्रकार होना चाहिए कि समूह में किसी भी अवयव a के लिए, a * e = e * a = a;
व्युत्क्रम अवयव: समूह में किसी भी अवयव a के लिए, एक अवयव b इस प्रकार होना चाहिए कि a * b = b * a = e (तत्समक अवयव);
एक समूह का एक उपसमूह उस समूह का एक उपसमुच्चय है जो स्वयं ही एक द्विआधारी (बाइनरी) संक्रिया के तहत एक समूह है। दूसरे शब्दों में, एक उपसमूह को संवृत, साहचर्य, तत्समक और व्युत्क्रम गुणों को संतुष्ट करना चाहिए।
एक एकपदी (मोनोइड) एक प्रकार की बीजगणितीय संरचना है जो एक समूह के समान है, लेकिन इसे संतुष्ट करने के लिए केवल संवृत और साहचर्य गुणों की आवश्यकता होती है। A monoid must have inverse elements.
एक अर्धसमुच्चय एक प्रकार की बीजगणितीय संरचना है जो एक एकपदी (मोनोइड) के अर्द्धसमुच्चय है, लेकिन इसे संतुष्ट होने के लिए केवल साहचर्य गुणधर्म की आवश्यकता होती है। एक अर्धसमुच्चय में एक तत्समक अवयव या व्युत्क्रम अवयव नहीं होता है,और संवृत गुणधर्म का होना जरूरी नहीं होता है।
गणना:
गुणन के तहत प्राकृतिक संख्याएँ > 1 के समुच्चय के लिए
संवृत, किन्ही भी दो प्राकृतिक संख्याओं के गुणन से एक अन्य प्राकृतिक संख्या प्राप्त होती है।
साहचर्य, 2(3 × 4) = (2 × 3) 4 = 24,
तत्समक अवयव, गुणन के लिए, तत्समक 1 है लेकिन 1 समुच्चय से संबंधित नहीं है।
इसलिए, दिए गए समुच्चय के लिए कोई तत्समक अवयव नहीं है।
व्युत्क्रम, किसी a∈ N के लिए, व्युत्क्रम 1/a ∉ N है
इसलिए, व्युत्क्रम का भी अस्तित्व नहीं है।
अतः दिया गया समुच्चय एक अर्धसमूह है।
Last updated on Jan 10, 2025
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