अंतराल [0, π] में आने वाले समीकरण sin x + sin 5x = sin 3x के हलों की संख्या क्या है?

संकल्पना:

• sin (A ± B) = sin A cos B ± sin B cos A.
• sin 2A + sin 2B = 2 sin (A + B) cos (A - B).
• cos (2nπ + θ) = cos θ.

गणना:

sin x + sin 5x = sin 3x

sin 2A + sin 2B = 2 sin (A + B) cos (A - B) का प्रयोग करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है:

2 sin 3x cos 2x = sin 3x

⇒ sin 3x (2 cos 2x - 1) = 0

⇒ sin 3x = 0 या 2 cos 2x - 1 = 0

स्थिति 1: sin 3x = 0 = sin nπ, n ∈ Z.

⇒ \(\rm x=\frac{n\pi}{3}\)

⇒ \(\rm x=...,0, \frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3},\pi,...\)

स्थिति 2: 2 cos 2x - 1 = 0

⇒ \(\rm \cos 2x=\frac12=\cos\left(2n\pi\pm \frac{\pi}{3}\right)\), n ∈ Z.

⇒ \(\rm x=n\pi\pm \frac{\pi}{6}=(6n\pm1) \frac{\pi}{6}\)

⇒ \(\rm x=..., \frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6},...\)

इसलिए, अंतराल [0, π] में x के 6 संभव मान हैं। 

Additional Information

संबद्ध कोणों के लिए त्रिकोणमितीय अनुपात: ​ 

• sin (-θ) = -sin θ
• cos (-θ) = cos θ
• sin (2nπ + θ) = sin θ
• cos (2nπ + θ) = cos θ
• sin (nπ + θ) = (-1)ⁿ sin θ
• cos (nπ + θ) = (-1)ⁿ cos θ
• \(\rm \sin \left [(2n+1)\frac{π}{2}+\theta \right ]\) = (-1)ⁿ cos θ
• \(\rm \cos \left [(2n+1)\frac{π}{2}+\theta \right ]\) = (-1)ⁿ (-sin θ)