स्थिति xyz = 8 के अधीन x2 + y2 + z2 का न्यूनतम मान क्या है?

Question

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This question was previously asked in

UPPCL AE Electrical 2 April 2022 Official Paper (Shift 1)

Answer 1

संकल्पना:

माना कि एक फलन F(x,y,z) = x2 + y2 + z² + λ(xyz) है।

बराबर करके λ का मान ज्ञात करने के लिए:

$\frac{\partial F}{\partial x} = 0$

$\frac{\partial F}{\partial y} = 0$

$\frac{\partial F}{\partial z} = 0$

λ के लिए उपरोक्त समीकरणों को हल करके, हमें x,y, और z के बीच संबंध प्राप्त होगा।

गणना:

दिया गया है, x2 + y2 + z2 + λ(xyz)

$\frac{\partial F}{\partial x} = 2 x + (y z) λ = 0$

$λ = \frac{- 2 x}{y z}$ .........(i)

$\frac{\partial F}{\partial y} = 2 y + (x z) λ = 0$

$λ = \frac{- 2 y}{x z}$ .........(ii)

$\frac{\partial F}{\partial z} = 2 z + (x y) λ = 0$

$λ = \frac{- 2 z}{x y}$ ..........(iii)

समीकरण (i) और (ii) को बराबर करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है:

$\frac{- 2 x}{y z} = \frac{- 2 y}{x z}$

x = y

समीकरण (ii) और (iii) को बराबर करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है:

$\frac{- 2 y}{x z} = \frac{- 2 z}{x y}$

y = z

समीकरण (i) और (iii) को बराबर करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है:

$\frac{- 2 x}{y z} = \frac{- 2 z}{x y}$

z = x

∴ x = y = z

xyz = 8

(x)³ = 8

x = 2 = y = z

न्यूनतम मान = 2² + 2²+ 2² = 12