Question
Download Solution PDFनिम्नलिखित कथन प्रतिदर्शी बंटन से संबंधित हैं । कथनों के सही या ग़लत होने के संदर्भ में सही कूट का चयन कीजिए ।
कथन I : जनसंख्या वितरण के प्रकार और प्रतिदर्श के आकार से निरपेक्ष माध्य का प्रतिदर्शी बंटन प्रसामान्य बंटन होता है।
कथन II: माध्य के प्रतिदर्शी बंटन का मानक विचलन जनसंख्या वितरण के मानक विचलन से कम होता है।
Answer (Detailed Solution Below)
Detailed Solution
Download Solution PDFसही उत्तर है , कथन II सही है, परन्तु I गलत है।
Key Points
कथन I: माध्य का प्रतिदर्श वितरण सामान्य रूप से वितरित होता है।
कथन I दावा करता है कि जनसंख्या वितरण के प्रकार और प्रतिदर्श के आकार से निरपेक्ष माध्य का प्रतिदर्शी बंटन प्रसामान्य बंटन होता है। यह आंशिक रूप से सही है।
जबकि केंद्रीय सीमा प्रमेय बताता है कि माध्य का नमूना वितरण पर्याप्त बड़े नमूना आकारों के लिए एक सामान्य वितरण के करीब होता है, यह सभी नमूना आकारों और जनसंख्या वितरण के लिए सही नहीं है।
इस कथन की वैधता का विवरण इस प्रकार है:
वैधता:
बड़े नमूना आकार: बड़े नमूना आकारों (आमतौर पर n > 30) के लिए, केंद्रीय सीमा प्रमेय लागू होता है, और माध्य का नमूना वितरण जनसंख्या वितरण की परवाह किए बिना लगभग सामान्य होगा। यह औसत प्रभाव के कारण होता है, जहाँ जनसंख्या माध्य से यादृच्छिक विचलन एक दूसरे को रद्द करने की प्रवृत्ति रखते हैं।
सामान्य जनसंख्या वितरण: छोटे नमूना आकारों के लिए भी, यदि जनसंख्या वितरण पहले से ही सामान्य है, तो माध्य का नमूना वितरण भी सामान्य होगा।
अमान्यता:
छोटे नमूना आकार: छोटे नमूना आकारों (n < 30) के लिए, माध्य का नमूना वितरण सामान्य नहीं हो सकता है, खासकर यदि जनसंख्या वितरण गैर-सामान्य है। ऐसे मामलों में, नमूना वितरण का आकार विशिष्ट जनसंख्या वितरण पर निर्भर करता है।
कथन II: नमूना वितरण का मानक विचलन
कथन II का दावा है कि माध्य के नमूना वितरण का मानक विचलन जनसंख्या वितरण के मानक विचलन से कम है। यह सत्य है और इसे माध्य की मानक त्रुटि के रूप में जाना जाता है।
माध्य की मानक त्रुटि (SEM) की गणना इस प्रकार की जाती है:
SEM = σ / √n
जहां:
σ जनसंख्या मानक विचलन है।
n नमूना आकार है।
जैसे-जैसे नमूना आकार बढ़ता है, SEM घटता जाता है, जो यह दर्शाता है कि माध्य का नमूना वितरण जनसंख्या माध्य के आसपास अधिक केंद्रित हो जाता है।
इसलिए:
कथन I गलत है: यह बड़े नमूना आकार या सामान्य जनसंख्या वितरण के लिए सही है।
कथन II सत्य है: माध्य के नमूना वितरण का मानक विचलन हमेशा जनसंख्या वितरण के मानक विचलन से कम होता है।
अतः, सही उत्तर यह है कि कथन II सही है, परन्तु I गलत है।
Last updated on Jun 12, 2025
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