मान लीजिए समीकरण sec x.cosec x = p का एक हल है, जहाँ p एक धनात्मक वास्तविक संख्या है। p का लघुतम मान क्या होगा?

इस्तेमाल किया गया सूत्र:

sec x = \(\rm \frac{1}{cos \:x}\) , cosec x = \(\rm \frac{1}{sin \:x}\)

(sin x - cos x)2 = sin2 x + cos2 x - 2 sin x cos x

sin2 x + cos2 x = 1, tan x = \(\rm \frac{sin \: x}{cos \: x}\)

गणना​:

हमारे पास sec x × cosec x = p है

⇒ \(\rm \frac{1}{cos x}× \frac{1}{sin x}\) = p

⇒ sinx.cos x = \(\rm \frac{1}{p}\)     ----(i)

हम जानते हैं कि,

(sin x - cos x)2 = sin2 x + cos2 x - 2 sin x cos x

(i) से हमें प्राप्त होता है

⇒ (sin x - cos x)2 = 1 - 2 × \(\rm \frac{1}{p}\)    ----(ii)

हम जानते हैं कि किसी भी संख्या का वर्ग ≥ 0 होता है

(sin x - cos x)2 ≥ 0

(ii) से हमें प्राप्त होता है

\(1 - 2 \times \rm \frac{1}{p} ≥ 0\)

⇒ 1 ≥ 2/p

⇒ 1/1 ≤ p/2

⇒ p ≥ 2

∴ p का सबसे छोटा मान 2 है।