यदि

\(A = \begin{bmatrix} z & y & x \\ y & x & z \\ x & z & y \end{bmatrix}\)

जहाँ x,y,z पूर्णांक है, एक लांबिक आव्यूह है, तो $x{}^2+y{}^2+z{}^2$? का मान क्या है?

गणना:

दिया गया है,

आव्यूह A है:

\( A = \begin{bmatrix} y & x & x \\ z & x & y \\ x & y & z \end{bmatrix} \)

चूँकि A एक लांबिक आव्यूह है, हम जानते हैं कि:

\( A^T = A^{-1} \quad \Rightarrow \quad A^T A = I \)

यह गुण हमें बताता है कि A लांबिक है, और इसका अर्थ है कि \(A^T A \) (A के परिवर्त और A का गुणनफल इकाई आव्यूह I के बराबर है, जो है:

\( A^T A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)

अब, आइए \(A^T A \) की गणना चरण दर चरण करते हैं। आव्यूह A का परिवर्त, जिसे \(A^T \) से दर्शाया गया है:

\( A^T = \begin{bmatrix} y & z & x \\ x & x & y \\ x & y & z \end{bmatrix} \)

अब, हम \(A^T\) और A के बीच आव्यूह गुणन करते हैं:

\( A^T A = \begin{bmatrix} y & z & x \\ x & x & y \\ x & y & z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y & x & x \\ z & x & y \\ x & y & z \end{bmatrix} \)

यह गुणन करने पर, हमें निम्नलिखित आव्यूह प्राप्त होता है:

\( A^T A = \begin{bmatrix} y^2 + z^2 + x^2 & xy + zx + xy & xz + yz + x^2 \\ xy + zx + xy & x^2 + x^2 + y^2 & xy + xz + yz \\ xz + yz + x^2 & xy + xz + yz & x^2 + y^2 + z^2 \end{bmatrix} \)

यह आव्यूह इकाई आव्यूह I के बराबर होना चाहिए, जो है:

\( \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \)

आव्यूहों के अवयवों की तुलना करके, हमें निम्नलिखित समीकरणों का निकाय प्राप्त होता है:

इस प्रकार, लांबिकता स्थिति से मुख्य परिणाम है:

\( x^2 + y^2 + z^2 = 1 \)

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।