यदि x_in(t) = sin(2*π*4000*t) + 0.75 * sin(2*π*5000*t + π /4) को F_s = 16000 Hz के साथ सैम्पल किया जाता है, तो X(0) की गणना करें यदि X(m) = \(\mathop \sum \limits_{n = 0}^{N - 1} x\left( n \right){e^{-j2\pi nm/N}}\) जब N=8, जहाँ x(n)= x_in(nt_s)

दिया गया है, x_in(t) = sin(2π x 4000t) + 0.75 sin (2π x 5000t + π/4)

उपरोक्त सिग्नल को F_s आवृत्ति के साथ सैम्पल किया जाता है, जो दिया गया है, F_s = 16000 Hz

सैम्पलिंग अंतराल \({T_s} = \frac{1}{{{F_S}}} = \frac{1}{{16000}}sec\)

चूँकि, x(n) = x_in(nT_s) (दिया गया है)

\( {x_{in}}\left( {n{T_s}} \right) = \sin \left( {2\pi \times 4000.n{T_s}} \right) +\)

\( 0.75\sin \left( {2\pi \times 5000 \times n{T_s} + \frac{\pi }{4}} \right)\)

\(x\left( n \right) = \sin \left( {2\pi \times \frac{{4000\;n}}{{16000}}} \right) + \)

\(0.75\sin \left( {2\pi \times \frac{{5000 \times 1}}{{16000}}.n + \frac{\pi }{4}} \right)\)

\(x\left( n \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{2}n} \right) + 0.75\sin \left( {\frac{{5\pi }}{8}n + \frac{\pi }{4}} \right)\) ----(1)

अब, \(X\left( m \right) = \mathop \sum \limits_{n = 0}^{N - 1} x\left( n \right){e^{ - j2\pi nm/N}}\), और हमें X(0) ज्ञात करने की आवश्यकता है, जिसकी गणना X(m) के व्यंजक में m = 0 रखकर आसानी से की जा सकती है

अर्थात \(X\left( 0 \right) = \mathop \sum \limits_{n = 0}^{N - 1} x\left( n \right).{e^{ - j2\pi n\left( 0 \right)/N}} = \mathop \sum \limits_{n = 0}^{N - 1} x\left( n \right)\)

N = 8 के साथ, \(X\left( 0 \right) = \mathop \sum \limits_{n = 0}^7 x\left( n \right)\)

समीकरण (1) से,

\(x\left( n \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{2}n} \right) + 0.75\sin \left( {\frac{{5\pi }}{8}n+\frac{\pi }{4}} \right)\)

इसलिए, X(0) होगा

\( = \mathop \sum \limits_{n = 0}^7 \left( {\sin \left( {\frac{\pi }{2}n} \right)+0.75\sin \left( {\frac{{5\pi }}{8}n+\frac{\pi }{4}} \right)} \right)\)

चूँकि x(n) विशुद्ध रूप से वास्तविक है,

इसलिए \(\mathop \sum \limits_{n = 0}^7 x\left( n \right)\) भी विशुद्ध रूप से वास्तविक होगा।

यह केवल विकल्प (2) में है, जहाँ हमें एक मान प्राप्त होता है जिसका काल्पनिक भाग 0 है।