दिया गया समाकल 0sinxxdx है, फिर समाकल _________।

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BPSC Asstt. Prof. ME Held on Nov 2015 (Advt. 22/2014)
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  1. अभिसारी नहीं है
  2. अभिसरित होता है
  3. पूर्णतया अभिसरित होता है
  4. अभिसरित होता है लेकिन पूर्णतया नहीं

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : पूर्णतया अभिसरित होता है

Detailed Solution

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अवधारणा :

अनुचित समाकल: यदि [a, b] पर कोई फलन f का अनंत मान है तो इसे अनुचित समाकल कहा जाता है

  1. प्रथम प्रकार का अनुचित समाकल: abf(x)dx को प्रथम प्रकार का अनुचित समाकल कहा जाता है यदि a = - या b = ∞ या दोनों
  2. द्वितीय प्रकार का अनुचित समाकल: abf(x)dx को द्वितीय प्रकार का अनुचित समाकल कहा जाता है यदि a या b परिमित है लेकिन f(x ) कुछ x [a, b] के लिए अनंत है।

अनुचित समाकल का समाकलन मौजूद है तो यह अभिसरण के रूप में कहा जाता है, लेकिन अगर समाकलन की सीमा मौजूद होने में विफल रहती है तो अनुचित समाकल अपसरित होना कहा जाता है।

गणना:

दिया हुआ:

f(x)=0sinxxdx

लाइबनिट्स नियम का उपयोग करके

माना कि a कोई भी पैरामीटर है तो,

I(a)=0eax×sinxxdx       _________ (1)

a के संबंध में अवकलन करके

I(a)=0δδx(eax×sinxx)dx

I(a)=0xeax(sinxx)

I(a)=0eaxsinxdx

I(a)=[eaxa2+1(=asinxcosx)]0

I(a)=[ea2+1(asincos)e0a2+1(asin0cos0)]

I(a)=[1a2+1(1)]

I(a)=1a2+1

a के संबंध में दोनों पक्षों का समाकलन करके

I(a)=1a2+1da

I(a)=tan1(a)+c _______ (2)

x = ∞ को (1) और (2) दोनों में रखें

समीकरण (1) से,

I()=0e×sinxxdx

I(∞) = 0

समीकरण (2) से,

I()=tan1()+c

0=tan1()+c

0=π2+c

c = π2

I(a)=tan1(a)+π2

a = 0, हम प्राप्त करते हैं

I(0) = π2

इसलिए हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं, कि 0sinxxdx=π2

इसलिए, यह अनुचित समाकल है लेकिन परिमित मूल्य का है, इसलिए यह [0, ∞] में अभिसरित होता है।

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