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Question

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प्रारंभिक मान समस्या (IVP) पर विचार करें

निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:

S1: एक ε > 0 इस प्रकार है कि सभी y0 ∈ ℝ के लिए, IVP का एक से अधिक हल है।

S2: एक  इस प्रकार है कि सभी ε > 0 के लिए, IVP का एक से अधिक हल है।

तब

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CSIR-UGC (NET) Mathematical Science: Held on (2024 June)
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  1. S1 और S2 दोनों सत्य हैं। 
  2. S1 सत्य है लेकिन S2 असत्य है। 
  3. S1 असत्य है लेकिन S2 सत्य है। 
  4. S1 और S2 दोनों असत्य हैं। 

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : S1 और S2 दोनों असत्य हैं। 
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संप्रत्यय:

लिप्सचित्ज़ शर्त: एक फलन एक प्रांत  में के संबंध में लिपशीट्ज-प्रतिबंध को संतुष्ट करता है। यदि एक अचर  इस प्रकार है कि किसी भी और के लिए D में, निम्नलिखित असमिका धारण करती है

अचर  को लिपशीट्ज अचर कहा जाता है।

व्याख्या:



, जहाँ एक अचर है, और  है।

S1: एक  इस प्रकार है कि सभी के लिए, IVP का एक से अधिक हल है।

S2: एक  इस प्रकार है कि सभी के लिए, IVP का एक से अधिक हल है।

अवकल समीकरण है। चूँकि  है, समीकरण का दाहिना भाग हमेशा धनात्मक और किसी भी के लिए सुपरिभाषित है।

सामान्य तौर पर, IVP के हलों की विशिष्टता को अक्सर लिपशीट्ज प्रतिबंध द्वारा निर्धारित किया जा सकता है।

एक फलन के लिए, हमें यह जाँचने की आवश्यकता है कि क्या फलन y के संबंध में लिपशीट्ज प्रतिबंध को संतुष्ट करता है।



यह फलन सभी के लिए संतत और परिबद्ध है क्योंकि y = 0 पर कोई विचित्रता सुनिश्चित करता है।

इसलिए, फलन लिपशीट्ज प्रतिबंध को संतुष्ट करता है, यह सुनिश्चित करता है कि जब हो तो प्रत्येक के लिए IVP का एक विशिष्ट हल होता है।

S1: यह कथन दावा करता है कि कुछ है जिसके लिए सभी के लिए IVP का एक से अधिक हल है।

हमारे विशिष्टता विश्लेषण (लिपशीट्ज प्रतिबंध) से, IVP में वास्तव में सभी और के लिए एक विशिष्ट हल है।

इसलिए, S1 असत्य है।

S2: यह कथन दावा करता है कि कुछ और सभी के लिए, IVP का एक से अधिक हल है।

इसी तर्क (लिपशीट्ज प्रतिबंध और अवकलज का सांतत्य) के आधार पर, हल सभी और किसी भी के लिए विशिष्ट रहता है। इसलिए, S2 भी असत्य है।

दोनों कथन S1 और S2 असत्य हैं।

इस प्रकार, सही विकल्प 4) है।

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