Question
Download Solution PDFएक निकाय में उपस्थित N कण समान, विभेद्य और अन्योन्यक्रियाहीन हैं। इनमें से प्रत्येक के केवल दो ऊर्जा स्तर 0 तथा ϵ हैं। स्थिर आयतन (Cv) पर ताप धारिता की अभिव्यक्ति (β = 1/kBT) ______ द्वारा दी जाती है।
Answer (Detailed Solution Below)
Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
- ऊष्मा धारिता किसी निकाय का स्थिर आयतन पर आंतरिक ऊर्जा में तापमान के सापेक्ष परिवर्तन है।
- सांख्यिकीय ऊष्मागतिकी में, आंतरिक ऊर्जा दी जाती है:
,
जहाँ, q विभाजन फलन है
KB बोल्ट्ज़मान नियतांक है, T तापमान है और N कणों की संख्या है।
- विभाजन फलन किसी निकाय के ऊष्मागतिक गुणों का सांख्यिकीय संबंध देता है। यह बोल्ट्ज़मान वितरण का उपयोग सुलभ ऊर्जा अवस्थाओं का माप देने के लिए करता है।
- विभाजन फलन किसी भी निकाय की गणना इस प्रकार की जाती है;
व्याख्या:
- सबसे पहले हमें दिए गए निकाय के लिए विभाजन फलन ज्ञात करना होगा। प्रश्न के अनुसार, दिए गए अविभेद्य कणों की केवल दो संभावित ऊर्जा अवस्थाएँ 0 और
हैं। - इस प्रकार, विभाजन फलन (q) दी गई दो ऊर्जा अवस्थाओं में कणों के वितरण का योग होगा और इस प्रकार q को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
चूँकि, ऊर्जा अवस्थाएँ एकल अवनत हैं, इसे फिर से लिखा जा सकता है:
अब, इसे आंतरिक ऊर्जा के व्यंजक में रखने पर, हमारे पास होगा:
व्यंजक को हल करने पर मिलता है:
अब, अंत में प्राप्त U मान का उपयोग स्थिर आयतन पर आंशिक रूप से तापमान के सापेक्ष विभेदित करके ऊष्मा धारिता ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है।
अर्थात,
यह देता है,
निष्कर्ष:
N सर्वसम अविभेद्य कणों के दिए गए निकाय के लिए स्थिर आयतन पर ऊष्मा धारिता है:
Last updated on Jun 23, 2025
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