एक ठोस गोला क्षैतिज सतह पर फिसले बिना रोल हो रहा है। इसकी घूर्णी गतिज ऊर्जा और स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा का अनुपात क्या है?

अवधारणा :

गतिज ऊर्जा (KE):

• निकाय द्वारा अपनी गति के आधार पर धारण की जाने वाली ऊर्जा को गतिज ऊर्जा कहा जाता है।
• गतिज ऊर्जा के लिए अभिव्यक्ति है

\(KE = \frac{1}{2}m{v^2}\)

जहाँ m = निकाय का द्रव्यमान और v = निकाय का वेग

घूर्णी गतिज ऊर्जा (KE):

• वह ऊर्जा, जो निकाय में उसकी घूर्णी गति के गुण कारण होती हैं, घूर्णी गतिज ऊर्जा कहलाती है।
• एक स्थिर अक्ष के अनुरूप घूमने वाला निकाय गतिज ऊर्जा समाहित करता है क्योंकि इसके घटक कण गति में होते हैं, भले निकाय अपने स्थान पर रहता हो।
• गणितीय रूप से घूर्णी गतिज ऊर्जा को इस प्रकार लिखा जा सकता है-

\(KE = \frac{1}{2}I{\omega ^2}\)

जहां I = जड़त्व आघूर्ण और ω =कोणीय वेग।

व्याख्या:

• केंद्र के माध्यम से गुजरने वाले और अपने समतल के लंबवत एक अक्ष ओर ठोस गोले के जड़त्व आघूर्ण को निम्न द्वारा दिया गया है -

\(\Rightarrow {I_{sphere}} = \frac{2}{5}M{R^2} \)

• ठोस गोले की घूर्णी गतिज ऊर्जा इसके द्वारा दी जाती है

\(\Rightarrow KE_{rot} = \frac{1}{2}I{\omega ^2}=\frac{1}{5}M{R^2} \)       ------- (1)

• ठोस गोले की स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा इसके द्वारा दी जाती है

\(\Rightarrow KE_{tran} = \frac{1}{2}m{v^2}=\frac{1}{2}MR^2\omega^2\)       ------- (2)

समीकरण 1 और 2 को विभाजित करने पर हम प्राप्त करते हैं

\(\Rightarrow \frac{KE_{rot}}{KE_{tran}} =\frac{\frac{1}{5}M{R^2\omega^2} }{\frac{1}{2}M{R^2\omega^2} }=\frac{2}{5}\)