समांतर पट्टिकाओं के बीच 1 cm की दूरी वाले समांतर पट्टिका संघारित्र में परावैद्युतांक k = 2 तथा k = 4 वाली दो परावैद्युत पर्तें हैं। यदि पट्टिकाओं के बीच 10 V का विभवांतर रखें तो (C/m² की इकाई में) परावैद्युत संधि पर परिबद्ध सतह् आवेश घनत्व है

संप्रत्यय:

एक समांतर प्लेट संधारित्र के लिए वोल्टेज V = Ed

(जहाँ E = विद्युत क्षेत्र और d = प्लेटों के बीच की दूरी)

फिर, आवेश घनत्व σ वाली धात्विक प्लेट के लिए

विद्युत क्षेत्र E = σ/ϵ

पुनः एक परावैद्युत माध्यम के लिए, ध्रुवीकरण सदिश

⇒ P = ϵ₀χE (जहाँ, ϵ0 = मुक्त स्थान की पारगम्यता, χ = विद्युत सुग्राह्यता)

और परावैद्युत माध्यम की पारगम्यता ϵ = kϵ0 = (1+χ)ϵ0

जहाँ, k = परावैद्युत स्थिरांक = 1 + χ

व्याख्या:

इस प्रकार यहाँ हम प्रत्येक d मोटाई के दो परावैद्युत वाले संधारित्र के लिए लिख सकते हैं (जैसा कि दिखाया गया है)

⇒ V = E₁d + E₂d = (σ/ϵ₁)d + (σ/ϵ₂)d = (σ/2ϵ0)d + (σ/4ϵ0)d = (3σ/4ϵ0)d

(∵ ϵ1= k₁ϵ₀ = 2ϵ0 और ϵ2= k₂ϵ0 = 4ϵ0 )

दिया गया है, V = 10 V और d = 1/2 cm = 0.005 m

⇒ V = (3σ/4ϵ0)d

⇒ σ = 4ϵ0V/3d = 40ϵ0/(3x0.005) = (4/15) x 10⁴ ϵ0

अब हम ध्रुवीकरण सदिश ज्ञात कर सकते हैं,

\(\begin{aligned} & \vec{P}_1=\epsilon_0 \chi \vec{E}_1=\epsilon_0(2-1) \times \frac{\sigma}{2 \epsilon_0}=\frac{\sigma}{2}=\sigma_1 \\ & \vec{P}_2=\epsilon_0 \chi \vec{E}_2=\epsilon_0(4-1) \times \frac{\sigma}{4 \epsilon_0}=\frac{3 \sigma}{4}=\sigma_2 \\ & \Rightarrow \sigma=\sigma_1-\sigma_2\\ &=\frac{\sigma}{2}-\frac{3 \sigma}{4}=-\frac{\sigma}{4}\\ &=-\frac{1}{4} \times \frac{4 \times 10^{ 4}}{15} \epsilon_0 \\ & \Rightarrow \sigma=-\frac{2000}{3} \epsilon_0 \end{aligned}\)

इसलिए सही उत्तर विकल्प 2 है।