Properties of Triangle MCQ Quiz in मराठी - Objective Question with Answer for Properties of Triangle - मोफत PDF डाउनलोड करा

दिलेले आहे:

△ABC मध्ये, D वर BD ⟂ AC आणि ∠DBC = 22° आहे. E हा BC वरील एक बिंदू आहे, जसे की ∠CAE = 36°.

वापरलेले सूत्र:

त्रिकोणातील कोनांची बेरीज = 180°

गणना:

△BDC मध्ये, BD ⟂ AC असल्याने:

∠BDC = 90°

आपल्याकडे, ∠DBC = 22°

मग, ∠BDC + ∠DCB + ∠DBC = 180°

⇒ 90° + ∠DCB + 22° = 180°

⇒ ∠DCB = 180° - 112°

⇒ ∠DCB = 68°

△AEC मध्ये, ∠CAE = 36°

मग, ∠AEB = ∠CAE + ∠DCB

⇒ ∠AEB = 36° + 68°

⇒ ∠AEB = 104°

योग्य पर्याय 104° आहे.

दिलेले आहे:

एका समद्विभुज त्रिकोणाच्या तीन बाजूंची बेरीज = 20 सेमी

समान बाजू आणि पायाचे गुणोत्तर = 3 : 4

वापरलेले सूत्र:

पायथागोरसचे प्रमेय: a² + b² = c²

गणना:

समजा, बाजू 3x सेमी आणि पाया 4x सेमी आहे.

बाजूंची बेरीज: 3x + 3x + 4x = 20

⇒ 10x = 20

⇒ x = 2

अशाप्रकारे, समान बाजू 3 × 2 = 6 सेमी आणि पाया 4 × 2 = 8 सेमी आहेत.

एका समद्विभुज त्रिकोणात, उंची ही पायाला दुभागते.

अशाप्रकारे, पायाचा निम्मा भाग = 8 / 2 = 4 सेमी.

आता, एका काटकोन त्रिकोणात पायथागोरस प्रमेय वापरून:

उंची² + (4 सेमी)² = (6 सेमी)²

⇒ उंची² + 16 = 36

⇒ उंची² = 20

⇒ उंची = √20

⇒ उंची = 2√5 सेमी

त्रिकोणाची उंची 2√5 सेमी आहे.

दिलेले आहे:

∆ABC मध्ये, ∠A = 70° आणि ∠B = 70°.

वापरलेले सूत्र:

त्रिकोणाचा बहिर्कोन = 180° - अंतर्गत विरुद्ध कोन

गणना:

आपल्याला माहित आहे की, त्रिकोणातील अंतर्गत कोनांची बेरीज 180° असते.

म्हणून, ∠A + ∠B + ∠C = 180°

70° + 70° + ∠C = 180°

⇒ ∠C = 180° - 140°

⇒ ∠C = 40°

आता, A वरील बहिर्कोन हा दोन असंलग्न अंतर्गत कोनांच्या बेरजेइतका असतो, म्हणजेच, ∠B आणि ∠C.

A वरील बहिर्कोन = ∠B + ∠C

⇒ A वरील बहिर्कोन = 70° + 40°

⇒ A वरील बहिर्कोन = 110°

A वरील बहिर्कोनाचे माप 110° आहे.

दिलेल्याप्रमाणे:

∆PQR मध्ये, PQ = PR आणि PT ही QR वर लंब आहे.

PQ = 17 सेमी

PT = 15 सेमी

वापरलेले सूत्र:

समद्विभुज त्रिकोणातील शिरोबिंदू पासून पायावर काढलेले लंब पायाला समद्विभाजित करते.

त्रिकोण PTQ आणि PTR मध्ये पायथागोरस प्रमेय वापरून:

PQ² = PT² + QT²

QR = 2 × QT

गणना:

PQ = PR = 17 सेमी

∆PTQ मध्ये पायथागोरस प्रमेय वापरून:

PQ² = PT² + QT²

⇒ 17² = 15² + QT²

⇒ 289 = 225 + QT²

⇒ QT² = 289 - 225

⇒ QT² = 64

⇒ QT = 8 सेमी

QR = 2 × QT

⇒ QR = 2 × 8

⇒ QR = 16 सेमी

QR चे माप 16 सेमी आहे.

दिलेल्याप्रमाणे:

त्रिकोण ABC मध्ये, D हा BC चा मध्यबिंदू आहे.

DL ⊥ AB आणि DM ⊥ AC

DL = DM

वापरलेले सूत्र:

एका त्रिकोणातील, जर एका बाजूच्या मध्यबिंदूवरून इतर दोन बाजूंवर काढलेले लंब समान असतील, तर तो त्रिकोण समद्विभुज असतो.

गणना:

दिलेल्याप्रमाणे की DL = DM आणि D हा BC चा मध्यबिंदू आहे, याचा अर्थ असा की त्रिकोण ABD हा RHS (काटकोन-कर्ण-बाजू) एकरूपतेने त्रिकोण ACD शी एकरूप आहे.

त्रिकोण ABD ≅ त्रिकोण ACD असल्याने, याचा अर्थ AB = AC आहे.

म्हणून, त्रिकोण ABC हा समद्विभुज त्रिकोण आहे.

योग्य उत्तर पर्याय 1 आहे: समद्विभुज त्रिकोण

दिलेले आहे:

ABC हा कोन B सह काटकोन त्रिकोण आहे, BC = 10 सेमी 

 AC = 12 सेमी, p ही बिंदु B पासून AC पर्यंतची लंब लांबी आहे.

वापरलेले सूत्र:

Δ चे क्षेत्रफळ = 1/2 × पाया × उंची

गणना:

Δ ABC मध्ये, पायथागोरस प्रमेय वापरून

AC² = AB² + BC²

144 = AB² + 100

AB² = 44

AB = √44

येथे, आपण दोन प्रकारे क्षेत्रफळ शोधू शकतो,

1) AC हा पाया आणि लांबी p हा लंब म्हणून घेऊन.

2) BC हा पाया आणि AB हा लंब म्हणून घेऊन.

जसे, (ΔABC) चे क्षेत्रफळ = (ΔABC) चे क्षेत्रफळ

⇒ 1/2 × 10 × √44 = 1/2 × 12 × p

⇒ 5 × 2√11 = 6p

⇒ p = (5√11)/3 सेमी

∴ योग्य उत्तर (5√11)/3 सेमी आहे

दिलेले आहे:

AB = 8.4 सेमी, आणि AC = 5.6 सेमी, DC = 2.8 सेमी

वापरलेली संकल्पना:

त्रिकोणाचा कोनदुभाजक संमुख बाजूला दोन भागांमध्ये विभागतो, जे त्रिकोणाच्या इतर दोन बाजूंशी प्रमाणशीर असतात.

गणना:

संकल्पनेनुसार,

AB/AC = BD/DC

⇒ 8.4/5.6 = BD/2.8

⇒ 8.4/2 = BD

⇒ 4.2 = BD

अशाप्रकारे, BD + DC = BC

BC = 4.2 + 2.8

⇒ 7 सेमी

∴ बाजू BC ची लांबी 7 सेमी असेल.

गणना: 

∠BAC = 72° 

कोन बेरीज गुणधर्मानुसार

दिलेल्याप्रमाणे:

AB = 8 सेमी आणि AC = 17 सेमी असलेला काटकोन ABC

वापरलेली संकल्पना:

कर्ण² = लंब² + पाया² (पायथागोरस प्रमेय)

गणना:

⇒ दिलेल्या ABC त्रिकोणावर पायथागोरसचे प्रमेय लागू करणे

⇒ आपल्याला मिळेल, AC2 = AB2 + BC2 

⇒ 172 = 82 + BC2 

⇒ BC2 = 225

⇒ BC = 15

⇒ आता, वरील त्रिकोण ABC ला दोन काटकोन त्रिकोण BDA आणि BDC मध्ये विभागले जाऊ शकते.

⇒ AD = x आणि DC = 17 – x ची लांबी समजा

⇒ पायथागोरसचे प्रमेय आपल्याला मिळालेल्या दोन त्रिकोणांना लागू करणे,

⇒ AB2 = AD2 + BD2 आणि BC2 = DC2 + BD2 

⇒ वरील समीकरणावरून

⇒ AB2 – AD2 = BC2 – DC2

⇒ 82 – x2 = 152 – (17 –x)2

⇒ 64 – x2 = 225 – (289 + x2 – 34x)

⇒ 64 – 225 + 289 = 34x = 128 = 34x

⇒ x = AD = 3.76

म्हणून, AD ची लांबी 3.76 सेमी आहे.

दिलेल्याप्रमाणे:  

AB = 10 सेमी, आणि AC = 14 सेमी

वापरलेली संकल्पना:

त्रिकोणाचा कोन दुभाजक विरुद्ध बाजूस त्रिकोणाच्या इतर दोन बाजूंच्या प्रमाणात दोन भागांमध्ये विभाजित करतो.

गणना:

संकल्पनेनुसार,

AB/AC = BD/DC

⇒ 10/14 = BD/DC

⇒ 5/7 = BD/DC

तर, BD : DC = 5 : 7

आता, BC = 5 + 7

⇒ 12

तर, BD : BC = 5 : 12

∴ आवश्यक उत्तर 5 : 12 आहे.

दिलेले आहे:

CD हा ∠BCA चा दुभाजक आहे.

CD = DA

∠BDC = 76°

वापरलेली संकल्पना:

समद्विभुज त्रिकोणाचे दोन कोन, समान बाजूंच्या विरुद्ध, मोजमापाने समान असतात.

कोन बेरीज गुणधर्म = त्रिकोणाच्या तीनही कोनांची बेरीज 180° आहे.

गणना:

ABC त्रिकोणामध्ये,

CD हा ∠BCA चा दुभाजक आहे.

⇒ ∠BCD = ∠DCA = θ

पासून, CD = DA [दिलेले]

⇒ ∠DCA = ∠CAD = θ 

⇒ ∠BDC = 76°                    [दिलेले]

⇒ ∠BDC = ∠DCA + ∠CAD

⇒ θ + θ = 76° 

⇒ 2θ = 76° 

⇒ θ = 38° 

CBD त्रिकोणामध्ये,

∠BCD + ∠CDB + ∠CBD = 180° 

⇒ θ  + 76° + ∠CBD = 180° 

⇒ 38°  + 76° + ∠CBD = 180°  

⇒ ∠CBD = 180° - 114° 

⇒ ∠CBD = 66° 

∴ पर्याय 4 हे योग्य उत्तर आहे.

दिलेल्याप्रमाणे:

AB = 10 सेमी, आणि AC = 14 सेमी

वापरलेली संकल्पना:

त्रिकोणाचा कोन दुभाजक विरुद्ध बाजूस त्रिकोणाच्या इतर दोन बाजूंच्या प्रमाणात दोन भागांमध्ये विभाजित करतो.

गणना:

संकल्पनेनुसार,

AB/AC = BD/DC

⇒ 10/14 = BD/DC

⇒ 5/7 = BD/DC

तर, BD : DC = 5 : 7

∴ आवश्यक उत्तर 5 : 7 आहे.

दिलेले आहे:

समद्विभुज त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ ज्याचा पाया 54 सेमी लांब आहे आणि प्रत्येक समान बाजू 45 सेमी लांब आहे.

वापरलेला सूत्र:

समद्विभुज त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = 1/2 × b × √a² – (b/2)²

गणना:

समद्विभुज त्रिकोणाच्या समान बाजू अनुक्रमे a सेमी आणि पाया b सेमी आहे असे समजा

प्रश्नानुसार

समद्विभुज त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = 1/2 × b × √[a2 – (b/2)²]

⇒ 1/2 × 54 × √[45² – (54/2)²]

⇒ 27 × √2025 – (27)²

⇒ 27 × √(2025 – 729)

⇒ 27 × √1296

⇒ (27 × 36) सेमी²

⇒ 972 सेमी²

∴ आवश्यक क्षेत्र 972 चौरस सेमी आहे

दिलेल्याप्रमाणे:

समभुज त्रिकोणाची बाजू 12 सेमी आहे.

वापरलेले सूत्र:

समभुज त्रिकोणाच्या त्रिज्या (r) चे सूत्र r = (a√3)/6 आहे, जेथे a ही समभुज त्रिकोणाच्या बाजूची लांबी आहे.

गणना:

समभुज त्रिकोणाच्या बाजूची लांबी 12 सेमी दिली आहे.

इंरेडियसचे सूत्र वापरून, आम्हाला मिळते:

r = (a√3)/6

r = (12√3)/6

r = 2√3 सेमी

म्हणून, समभुज त्रिकोणाच्या वर्तुळाची त्रिज्या 2√3 सेमी आहे.

दिलेले आहे:

समभुज त्रिकोणाच्या आंतरवर्तुळाची त्रिज्या = 9√3 सेमी

वापरलेली संकल्पना:

समभुज त्रिकोणामध्ये, आंतरवर्तुळाची त्रिज्या पुढील सूत्रानुसार बाजूंच्या लांबीशी संबंधित असते:

वर्तुळाची त्रिज्या = बाजू / 2√3

गणना:

वर्तुळाची त्रिज्या = बाजू / 2√3

⇒ 9√3 = बाजू / 2√3

⇒ बाजू = 9√3 × 2√3 = 18 × 3 = 54 सेमी

अशाप्रकारे, समभुज त्रिकोणाची परिमिती = 3 × बाजू = 3 × 54 = 162 सेमी

∴ पर्याय (2) योग्य आहे.