भूमितीय श्रेढी MCQ Quiz in मराठी - Objective Question with Answer for Geometric Progression - मोफत PDF डाउनलोड करा

वापरलेली संकल्पना:

n निरीक्षणे असलेल्या मालिकेचा भौमितिक मीन (GM) हे मूल्यांच्या गुणाकाराचे nवे मूळ आहे.

\(\begin{array}{l}G. M = \sqrt[n]{x_{1}× x_{2}× …x__{n}}\end{array}\)

गणना:

वरील सूत्र वापरून -

⇒ 8 ⁵ = 32 x 4 x 8 x x x 2

⇒ X = \(\frac{8^{5}}{32\times 4\times 8\times 2}\) = 16

∴ बरोबर उत्तर 16 आहे

वापरलेले सूत्र:

भौमितिक प्रगतीची बेरीज (S _n ) = {ax (r ⁿ - 1)}/(r - 1)

कुठे, a = प्रथम पद ; r = सामान्य गुणोत्तर ; n = पदांची संख्या

गणना:

३ +३ २ + ३ ३ + ... ३ ८ .

येथे, a = 3; r = 3 ; n = 8

मालिकेची बेरीज (S ₈ ) = {ax (r 8 - 1 )}/(r - 1)

⇒ {3 x (3 ⁸ - 1)}/(3 - 1)

⇒ (3 x 6560)/2 = 3280 x 3

⇒ ९८४०

∴ बरोबर उत्तर 9840 आहे.

दिले:

मालिका: 6, 12, 24, _________?

वापरलेले सूत्र:

भौमितिक प्रगती सूत्र आहे:

a _n = a ₁ xr ^{(n - 1)}

जेथे, a _n हे अनुक्रमातील nवे पद आहे.

a ₁ हे अनुक्रमातील पहिले पद आहे,

r हे सलग पद आणि मधील सामान्य गुणोत्तर आहे

n हे पदाचे स्थान आहे.

गणना:

प्रथम पद (a ₁ ) = 6

सामान्य गुणोत्तर(r) = 2

a n = a 1 xr (n - 1)

a ₁₁ = 6 x 2 ^{(11 -1)}

⇒ 6 x 2 ¹⁰

⇒ 6 x 1024 = 6144

∴ T he मालिकेतील 11 वी टर्म 6144 आहे.

वापरलेली संकल्पना:

जर a ही पहिली संज्ञा असेल आणि r हे GP चे सामान्य गुणोत्तर असेल तर nth टर्म, tn = ar ⁿ -1

गणना:
a आणि r हे आवश्यक GP चे पहिले टर्म आणि सामान्य गुणोत्तर असू द्या

दिलेली, चौथी टर्म = 2, 5वी टर्म = 8
⇒ ar ³ = 2 ----(1)

⇒ ar ⁴ = 8 ----(2)

समीकरण 2 ला 1 ने भागा

⇒ r = 4

शोधण्यासाठी: शोध 8 पदाचे गुणाकार = a⋅ar⋅ar ² ⋅ar ³ ⋅ . . . ar ⁷

⇒ a ⁸ r ^{( 1+2+3+. . +7)} = = a ⁸ r ²⁸
⇒(ar ³ ) ⁴ (ar ⁴ ) ⁴

⇒ २ ^४ x ८ ^४

⇒ १६ x ६४ x ६४

⇒ ४ ^८

∴ 1st 8 अटींचा गुणाकार 4 ⁸ आहे .

येथे अनुसरण केलेला तर्क:

भूमितीय श्रेढीचे (GP) पदांचे सामान्य रूप a, ar, ar², आणि असेच पुढे असे आहे. येथे, “a” हे पहिले पद आणि “r” हे सामान्य गुणोत्तर आहे.

तर, GP चे nवे पद → ar^n-1

म्हणून, "arn-1" हे योग्य उत्तर आहे.

वापरलेले सूत्र:

भौमितिक प्रगतीची बेरीज (S _n ) = {ax (r ⁿ - 1)}/(r - 1)

कुठे, a = प्रथम पद ; r = सामान्य गुणोत्तर ; n = पदांची संख्या

गणना:

३ +३ २ + ३ ३ + ... ३ ८ .

येथे, a = 3; r = 3 ; n = 8

मालिकेची बेरीज (S ₈ ) = {ax (r 8 - 1 )}/(r - 1)

⇒ {3 x (3 ⁸ - 1)}/(3 - 1)

⇒ (3 x 6560)/2 = 3280 x 3

⇒ ९८४०

∴ बरोबर उत्तर 9840 आहे.

दिलेले आहे:

भूमितीय श्रेढी असलेले पहिले पद 'a' = 16 आणि समान गुणोत्तर 'r' = 2 

वापरलेली संकल्पना:

या प्रकारच्या प्रश्नामध्ये, जेथे 'r' > 1, नंतर G.P च्या n पदांची बेरीज = S_n 

\( = \frac{{a\left( {{r^n} - 1} \right)}}{{r - 1}}\)

वापरलेले सूत्र:

\({S_n} = \frac{{a\left( {{r^n} - 1} \right)}}{{r - 1}}\)

n = 10

गणना:

दिलेल्या मालिकेचा विचार करून

16, 32, 64, 128, ......

\({S_{10}} = \frac{{16\left( {{2^{10}} - 1} \right)}}{{2 - 1}}\)

⇒ S₁₀ = 16 × 1023 = 16368

∴ दिलेल्या मालिकेतील पहिल्या 10 पदांची बेरीज 16368 आहे

दिले:

GP ची पहिली टर्म = 15

GP चे सामान्य गुणोत्तर = 4

वापरलेले सूत्र:

\(S_n=a_1\times \dfrac{(r^n-1)}{(r-1)}\)

गणना:

\(S_4=15\times \dfrac{(4^4-1)}{(4-1)}\) \(= \dfrac{15\times 255}{3} = 1275\)

∴ उत्तर 1275 आहे.

संकल्पना:

जर a, ar, ar ² , ar ³ ,.....,ar ^n-1 GP मध्ये असतील तर GP ची nवी टर्म द्वारे दिली जाते

T _n = ar ^n-1

दिले:

प्रथम पद a = 125

सामान्य प्रमाण r = 2/5

टर्म n = 4 व्या

गणना:

⇒ T n = ar n-1

⇒ T 4 = 125 x (2/5) 4-1

⇒ T 4 = 125 x (२/५) ३

⇒ T 4 = 125 x (८/१२५)

⇒ T 4 = 8

त्यामुळे G चा 4 था पद "8" आहे.

दिलेल्याप्रमाणे:

4, 12, 36, 108 ही मालिका आहे

वापरलेली संकल्पना:

भूमितीय श्रेढीमध्ये,

a_n = a₁{r^{(n - 1)}}

येथे,

a_n = n वे पद

a₁ = पहिले पद

r = सामान्य गुणोत्तर

n = पदांची संख्या

गणना:

प्रश्नानुसार:

a₁ = 4

a₂ = 12

म्हणून, a₁ : a₂ चे सामान्य गुणोत्तर = 4 : 12

⇒ 1 : 3

म्हणून,

a₆ = 4 × 3^{(6 - 1)}

⇒ a₆ = 4 × 3⁵

⇒ a₆ = 4 × 243

⇒ a₆ = 972

म्हणून, मालिकेतील 6 वे पद = 972

∴ या मालिकेतील 6 वे पद 972 आहे.

दिलेले आहे:

(20 + 22 + 24 +........+28) × 3

वापरलेले सूत्र:

ही एक भूमिती श्रेणी आहे.

a = प्रथम पद, r = सामान्य गुणोत्तर

भूमिती श्रेणीची बेरीज = [a(rⁿ - 1)/(r - 1)]

गणना:

a = 1

r = (22/20) = 4/1 = 4

⇒ मालिकेची बेरीज = [1 × (4⁵ - 1)/(4 - 1)]  × 3

⇒ मालिकेची बेरीज = [1 × (210 - 1)/(3)]  × 3

⇒ मालिकेची बेरीज = [1 × (1024 - 1)]  

⇒ मालिकेची बेरीज = [1 × (1023)]  

⇒ मालिकेची बेरीज = 1023

∴ मालिकेची बेरीज 1023 आहे.

Alternate Method

(20 + 22 + 24 +........+28) × 3

⇒ (1 + 4 + 16 + 64 + 256) × 3

⇒ 341 × 3 = 1023

∴ मालिकेची बेरीज 1023 आहे

संकल्पना:

भूमिति मध्य: संख्यांच्या संचाच्या मूल्यांचा गुणाकार वापरून मध्यवर्ती प्रवृत्ती दर्शवणारे मूल्य.

सूत्र: GM = (संचातील सर्व संख्यांचा गुणाकार )^1/n

जेथे, n = संचातील एकूण संख्या

उदाहरण: 2, 3, 4, 5

GM = (2 × 3 × 4 × 5)^1/4 = (120)^1/4

गणना:

सूत्र:

a आणि b चा भूमितिय मध्य = √ab

दिलेल्याप्रमाणे:

a = 9, b = 81, x = भूमितिय मध्य

गणना:

x = √729

⇒ x = 27

दिले:

120 मीटर उंचीवरून एक चेंडू टाकला

सुत्र:

\({S_\infty } = \frac{a}{{1 - r}}\)

गणना:

120 मीटर उंची सोडल्यानंतर चेंडू बाऊन्स = 120 x 4/5 = 96 मी

⇒ प्रथम पद (a) = 120 + 96 = 216 मी

⇒ सामान्य गुणोत्तर (r) = 4/5

∴ विसाव्याला येण्यापूर्वी प्रवास करत असलेले एकूण अंतर = 216/(1 - 4/5) = 216/(1/5) = 216 x 5 = 1080 मी

एकूण कव्हर केलेले अंतर = उंची x [(a + b)/(a - b)]

⇒ १२० x [(५ + ४)/(५ - ४)]

⇒ 120 x 9 मी

⇒ 1080 मी

∴ विश्रांती घेण्यापूर्वी कापलेले एकूण अंतर 1080 मीटर आहे

दिलेले आहे:

7, 72, 73, _________ 7n

वापरलेली संकल्पना:

a आणि b या दोन संख्यांचा भौमितीय मध्य = √ab 

गणना:

भौमितीय मध्य = n√(a1.an)

​⇒ n√(7, 72 , .....7n) चा भौमितीय मध्य

​⇒ n√7n(n + 1)/2

​⇒ (7n(n + 1)/2)1/n

​⇒ \(7^\frac{n +1}{2}\)

∴ आवश्यक उत्तर  \(7^\frac{n +1}{2}\) हे आहे.