Undamped Free Vibration MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Undamped Free Vibration - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

लचीला शाफ्ट

• एक लचीला शाफ्ट एक प्रकार का यांत्रिक घटक है जिसे विशेष रूप से दो बिंदुओं के बीच घूर्णी गति और टॉर्क को कुशलतापूर्वक संचारित करने के लिए डिज़ाइन किया गया है जो पूरी तरह से संरेखित नहीं हो सकते हैं। इसमें एक लचीला कोर होता है जो इसे झुकने और मुड़ने की अनुमति देता है, जिससे यह उन अनुप्रयोगों के लिए उपयुक्त होता है जहाँ कठोर शाफ्ट का उपयोग करना अव्यावहारिक या असंभव होगा।
• लचीला शाफ्ट कसकर घुमाए गए कुंडलित कुंडलियों की एक श्रृंखला से बना होता है, जो टॉर्क को संचारित करने के लिए आवश्यक लचीलापन और मजबूती प्रदान करते हैं। ये कुंडल शाफ्ट को झुकने और संरेखण में परिवर्तन के अनुकूल होने की अनुमति देते हैं जबकि इसके घूमने की क्षमता को बनाए रखते हैं। डिज़ाइन कम झुकने वाली कठोरता सुनिश्चित करता है जबकि अपेक्षाकृत उच्च मरोड़ कठोरता को बनाए रखता है, जिससे शाफ्ट टॉर्क संचरण के महत्वपूर्ण नुकसान के बिना मुड़ सकता है।

लाभ:

• बाधाओं के आसपास या सीमित स्थानों में गति और टॉर्क संचारित करने की क्षमता।
• कठोर शाफ्ट की तुलना में हल्का और कॉम्पैक्ट डिज़ाइन।
• झुकने में लचीला होने के साथ उच्च मरोड़ शक्ति।
• घटकों के सटीक संरेखण की आवश्यकता को कम करता है।

नुकसान:

• अत्यधिक उच्च टॉर्क या झुकने वाले भार की आवश्यकता वाले अनुप्रयोगों के लिए उपयुक्त नहीं है।
• लगातार झुकने और मुड़ने के कारण समय के साथ घर्षण और आंसू का अनुभव हो सकता है।
• कठोर शाफ्ट की तुलना में लंबाई और भार वहन क्षमता में सीमित।

अनुप्रयोग: लचीले शाफ्ट आमतौर पर बिजली उपकरण, मोटर वाहन स्पीडोमीटर, दंत उपकरण और विभिन्न औद्योगिक मशीनों जैसे अनुप्रयोगों में उपयोग किए जाते हैं जहाँ गति को लचीले और अनुकूलनीय तरीके से संचारित करने की आवश्यकता होती है।

संप्रत्यय:

जब किसी यांत्रिक निकाय को आवर्ती उत्तेजना के अधीन किया जाता है, तो निकाय की प्रतिक्रिया उत्तेजना आवृत्ति और मौजूद अवमंदन से प्रभावित होती है।

समान बल के तहत निकाय की प्रतिक्रिया के आयाम का स्थिर विक्षेपण के अनुपात को गतिशील आवर्धन गुणांक (DMF) कहा जाता है।

सामान्य सूत्र:

\( \text{DMF} = \frac{1}{\sqrt{(1 - r^2)^2 + (2\xi r)^2}} \)

जहाँ,
\( r = \frac{\omega}{\omega_n} \) आवृत्ति अनुपात है
\( \xi \) अवमंदन अनुपात है।

अनुनाद पर:

अनुनाद पर, उत्तेजना आवृत्ति प्राकृतिक आवृत्ति के बराबर होती है, अर्थात्, \( \omega = \omega_n \Rightarrow r = 1 \).

समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

\( \text{DMF}_{\text{अनुनाद}} = \frac{1}{\sqrt{(1 - 1)^2 + (2\xi)^2}} = \frac{1}{2\xi} \)

संप्रत्यय:

केंद्र में एक रोटर (सान्द्र द्रव्यमान) के साथ एक सरल सहारा वाले शाफ्ट के लिए, क्रांतिक (चक्रण) गति संबंध का उपयोग करके निर्धारित की जाती है:

\( \omega = \sqrt{\frac{g}{\delta}} \)

जहाँ, \( \delta \) रोटर के भार के कारण स्थैतिक विक्षेपण है।

बिंदु भार के कारण सरल सहारा वाले शाफ्ट के केंद्र पर स्थैतिक विक्षेपण दिया गया है:

\( \delta = \frac{W L^3}{48 EI} \)

परिकलन:

दिया गया है:

रोटर का द्रव्यमान, \(m = 12~kg, इसलिए ~भार, W = mg = 12 \times 10 = 120~N\)

शाफ्ट का फैलाव, \(L = 1~m, ~EI = 4~kN\cdot m^2 = 4000~N\cdot m^2\)

विक्षेपण सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

\( \delta = \frac{120 \times 1^3}{48 \times 4000} = \frac{120}{192000} = \frac{1}{1600}~m \)

अब, क्रांतिक गति:

\( \omega = \sqrt{\frac{g}{\delta}} = \sqrt{10 \times 1600} = \sqrt{16000} = 40\sqrt{10}~rad/s \)

संप्रत्यय:

स्प्रिंग द्वारा अवशोषित ऊर्जा सूत्र द्वारा दी जाती है:

\(U = \frac{1}{2} k x^2\)

जहाँ, U संचित ऊर्जा है, k स्प्रिंग की कठोरता है, और x इसकी प्राकृतिक (मुक्त) लंबाई से विक्षेपण है।

गणना:

कठोरता k को बदले बिना ऊर्जा अवशोषण क्षमता बढ़ाने के लिए, हमें x का मान बढ़ाने की आवश्यकता है, अर्थात्, स्प्रिंग के अधिकतम अनुमेय विक्षेपण।

स्प्रिंग की मुक्त लंबाई बढ़ाकर, स्प्रिंग को अपनी ठोस ऊँचाई (पूरी तरह से संकुचित स्थिति) तक पहुँचने से पहले अधिक विक्षेपित किया जा सकता है, जिससे अधिक ऊर्जा अवशोषित हो सकती है।

संकल्पना:

श्रृंखला में स्प्रिंग:

\(\frac{1}{{{k_e}}} = \frac{1}{{{k_1}}} + \frac{1}{{{k_2}}}\)

समानांतर में स्प्रिंग:

ke = k1 + k2

गणना:

दिया गया है:

स्प्रिंग स्थिरांक k और k वाले स्प्रिंग समांनातर में जुड़े हुए हैं, 

माना कि उनका समकक्ष स्प्रिंग स्थिरांक k1 है। 

k1 = k + k

k1 = 2k

अब k1, k और k श्रृंखला संयोजन में हैं, माना कि उनका समकक्ष स्प्रिंग स्थिरांक keq है। 

\(\frac{1}{{{k_{eq}}}} = \frac{1}{{k_e}} + \frac{1}{{k}} + \frac{1}{{k}} \)

\(\frac{1}{{{k_{eq}}}} = \frac{1}{{2k}} + \frac{1}{{k}} + \frac{1}{{k}} \)

\(\frac{1}{k_{eq}}=\frac{1+2+2}{2k}\)

\(\frac{1}{k_{eq}}=\frac{5}{2k}\)

\(k_{eq}=\frac{2k}{5}\)

k_eq = 0.4 k

संकल्पना:

श्रृंखला में स्प्रिंग:

\(\frac{1}{{{k_e}}} = \frac{1}{{{k_1}}} + \frac{1}{{{k_2}}}\)

समानांतर में स्प्रिंग:

ke = k1 + k2

गणना:

दिया गया है:

स्प्रिंग स्थिरांक k और k वाले स्प्रिंग समांनातर में जुड़े हुए हैं, 

माना कि उनका समकक्ष स्प्रिंग स्थिरांक k1 है। 

k1 = k + k

k1 = 2k

अब k1, k और k श्रृंखला संयोजन में हैं, माना कि उनका समकक्ष स्प्रिंग स्थिरांक keq है। 

\(\frac{1}{{{k_{eq}}}} = \frac{1}{{k_e}} + \frac{1}{{k}} + \frac{1}{{k}} \)

\(\frac{1}{{{k_{eq}}}} = \frac{1}{{2k}} + \frac{1}{{k}} + \frac{1}{{k}} \)

\(\frac{1}{k_{eq}}=\frac{1+2+2}{2k}\)

\(\frac{1}{k_{eq}}=\frac{5}{2k}\)

\(k_{eq}=\frac{2k}{5}\)

k_eq = 0.4 k

अवधारणा:

\(Time~ Period= T =2\pi √{\frac Lg}\)

जहाँ L = पेंडुलम की लंबाई, g = गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण

गणना:

दिया हुआ:

चन्द्रमा पर

\(g'=\frac g6\)

जहाँ g' = चन्द्रमा पर गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण

\(New~Time~ Period= T' =2\pi √ {\frac L{g'}}=2\pi √ {\frac {6L}g}\)

\(T'=√ {6}T\)

जैसे कि दोलन की समयावधि √6 गुना बढ़ती है, इसलिए गति √6 गुना धीमी हो जाती है।

अवधारणा:

जब स्प्रिंग को समानांतर में जोड़ा जाता है जैसा कि दिखाया गया है, तो समतुल्य कठोरता स्प्रिंग की सभी व्यक्तिगत कठोरता का योग है।

keq = k1 + k2

स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली की प्राकृतिक आवृत्ति ω_n इस प्रकार दी गई है:

\(\omega_n=\sqrt{\frac{k_{eq}}{m}}\;\;\; and\;\;\;\omega_n=2\pi f\)

k_eq = समतुल्य दृढ़ता और m = निकाय का द्रव्यमान।

गणना:

दिया गया है:

k1 = 4000 N/m, k2 = 1600 N/m और m = 1.4 किग्रा

स्प्रिंग्स समानांतर सुधार में हैं

∴ keq = k1 + k2 = 4000 + 1600 = 5600 N/m

\(ω_n = \sqrt {\frac{k_{eq}}{{m}}}\Rightarrow \sqrt {\frac{{5600}}{{1.4}}} = \sqrt {4000} \)

\(f = \frac{ω_n}{{2\pi }} \Rightarrow \frac{{\sqrt {4000} }}{{2\pi }} \approx 10\;Hz\)

व्याख्या:-

शाफ्ट की क्रांतिक या भ्रामी गति

• जब प्रणाली की घूर्णी गति पार्श्व/अनुप्रस्थ कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति के साथ संपाती होती हैं तो शाफ्ट एक बड़े आयाम के साथ झुकता है। इस गति को क्रांतिक या भ्रामी गति कहा जाता है।

• शाफ्ट की भ्रामी गति या क्रांतिक गति को उस गति के रूप में परिभाषित किया जाता है जिस पर एक घूर्णन शाफ्ट की अनुप्रस्थ दिशा में तेजी से कंपन करने के प्रवृत्ति होती है, यदि शाफ्ट क्षैतिज दिशा में घूर्णन करता है।

• दूसरे शब्दों में, भ्रामी या क्रांतिक गति वह गति है जिस पर अनुनाद होता है।

• इसलिए हम कह सकते हैं कि शाफ्ट का घूर्णन तब होता है जब अनुप्रस्थ कंपन की स्वाभाविक आवृत्ति एक घूर्णन शाफ्ट की आवृत्ति से मेल खाती है।

• जिस गति से शाफ्ट चलता है ताकि घूर्णन के अक्ष से शाफ्ट का अतिरिक्त विक्षेपण अनंत हो जाता है जिसे क्रांतिक या भ्रामी गति के रूप में जाना जाता है।

शाफ्ट के अनुप्रस्थ कंपन के कारण शाफ्ट का विक्षेपण।

\(y = \frac{e}{{{{\left( {\frac{{{\omega _n}}}{\omega }} \right)}^2} - 1\;}}\)

क्रांतिक गति पर

\(\omega = {\omega _n} = \sqrt {\frac{k}{m}} = \sqrt {\frac{g}{\delta }} \)

जहाँ

ω = शाफ्ट का कोणीय वेग, k = शाफ्ट की कठोरता, e = रोटर के द्रव्यमान के केंद्र की प्रारंभिक उत्केंद्रता

m = रोटर का द्रव्यमान, y = अपकेंद्री बल के कारण रोटर का अतिरिक्त।

व्याख्या:-

शाफ्ट की क्रांतिक या भ्रामी गति

• जब प्रणाली की घूर्णी गति पार्श्व/अनुप्रस्थ कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति के साथ संपाती होती हैं तो शाफ्ट एक बड़े आयाम के साथ झुकता है। इस गति को क्रांतिक या भ्रामी गति कहा जाता है।

• शाफ्ट की भ्रामी गति या क्रांतिक गति को उस गति के रूप में परिभाषित किया जाता है जिस पर एक घूर्णन शाफ्ट की अनुप्रस्थ दिशा में तेजी से कंपन करने की प्रवृत्ति होती है, यदि शाफ्ट क्षैतिज दिशा में घूर्णन करता है।

• दूसरे शब्दों में, भ्रामी या क्रांतिक गति वह गति है जिस पर अनुनाद होता है।

• इसलिए हम कह सकते हैं कि शाफ्ट का घूर्णन तब होता है जब अनुप्रस्थ कंपन की स्वाभाविक आवृत्ति एक घूर्णन शाफ्ट की आवृत्ति से मेल खाती है।

• जिस गति से शाफ्ट चलता है ताकि घूर्णन के अक्ष से शाफ्ट का अतिरिक्त विक्षेपण अनंत हो जाता है जिसे क्रांतिक या भ्रामी गति के रूप में जाना जाता है।

वर्णन:

कंपन

कंपन छोटे आयाम की एक आवधिक गति होती है। लेकिन सरलता की दृष्टि से हम इसे छोटे आयाम की सरल आवर्त गति के रूप में मान सकते हैं। 

अनुप्रस्थ कंपन

• जब शाफ़्ट या डिस्क के कण लगभग शाफ़्ट के अक्ष के लंबवत गति करते हैं, तो कंपन को अनुप्रस्थ कंपन के रूप में जाना जाता है। 
• इस स्थिति में शाफ़्ट वैकल्पिक रूप से सीधा और झुकता है और वंकन प्रतिबल शाफ़्ट में प्रेरित होते हैं। 
• घूर्णित शाफ़्ट में क्रांतिक गतियों पर अनुप्रस्थ दिशा में तेजी से कंपन करने की प्रवृत्ति होती है। 

अनुदैर्ध्य कंपन

• जब शाफ़्ट या डिस्क के कण शाफ़्ट के अक्ष के समानांतर गति करते हैं, तो कंपन को अनुदैर्ध्य कंपन के रूप में जाना जाता है। 
• इस स्थिति में शाफ़्ट वैकल्पिक रूप से विस्तृत और छोटा होता है तथा इसलिए तन्य और संपीडक प्रतिबल शाफ़्ट में वैकल्पिक रूप से प्रेरित होते हैं। 

मरोड़ कंपन

• जब शाफ़्ट या डिस्क के कण शाफ़्ट के अक्ष के चारों ओर एक वृत्त में गति करते हैं, तो कंपन को मरोड़ कंपन के रूप में जाना जाता है। 
• इस स्थिति में शाफ़्ट वैकल्पिक रूप से विस्तृत और छोटा होता है तथा इसलिए तन्य और संपीडक प्रतिबल शाफ़्ट में वैकल्पिक रूप से प्रेरित होते हैं। 

शाफ़्ट की क्रांतिक या चक्करदार गति 

वह गति जिसपर शाफ़्ट इस प्रकार संचालित होता है जिससे घूर्णन के अक्ष से शाफ़्ट का अतिरिक्त विक्षेपण अनंत हो जाता है, इसे क्रांतिक या चक्करदार गति के रूप में जाना जाता है। 

संकल्पना:

\(\omega = \sqrt {\frac{g}{\delta }} \;\)

कैंटीलीवर छड़ के लिए:

\(\begin{array}{l} \delta = \frac{{P{L^3}}}{{3EI}}\\ \omega = \sqrt {\frac{g}{\delta }} = \sqrt {\frac{{3EIg}}{{P{L^3}}}} \Rightarrow \omega \propto \sqrt {\frac{1}{{{L^3}}}} \\ \frac{{{\omega _2}}}{{{\omega _1}}} = \sqrt {\frac{{L_1^3}}{{L_2^3}}} = \sqrt {\frac{{{L^3}}}{{{{\left( {\frac{L}{2}} \right)}^3}}}} = 2\sqrt2 \\ {\omega _2} > {\omega _1} \end{array}\)

संकल्पना

क्रांतिक गति

शाफ्ट की भ्रामी गति या क्रांतिक गति को उस गति के रूप में परिभाषित किया जाता है जिस पर एक घूर्णन शाफ्ट की अनुप्रस्थ दिशा में तेजी से कंपन करने के प्रवृत्ति होती है, यदि शाफ्ट क्षैतिज दिशा में घूर्णन करता है। दूसरे शब्दों में, भ्रामी या क्रांतिक गति वह गति है जिस पर अनुनाद होता है।

शाफ्ट की क्रांतिक गति:

\(\omega = \sqrt {\frac{g}{{\rm{Δ}}}} \)

गणना:

दिया हुआ:

Δ =  25 mm

\(\omega = \sqrt {\frac{g}{{\rm{Δ}}}} = \sqrt {\frac{{10}}{{25 \times {{10}^{ - 3}}}}} = \sqrt {\frac{{10000}}{25}} =\sqrt {400} =20 \)  रेडियन/सेकंड

वर्णन:

आवर्धन कारक:

\(M.F=\dfrac{A}{X_{st}}= \dfrac{{1}}{{\sqrt {{{\left( {1 - {{\left( {\frac{\omega }{{{\omega _n}}}} \right)}^2}} \right)}^2} + {{\left( {2ξ \frac{\omega }{{{\omega _n}}}} \right)}^2}} }}\)

\(M.F=\dfrac{A}{X_{st}}= \dfrac{{1}}{{\sqrt {{{\left( {1 - {{r}^2}} \right)}^2} + {{\left( {2ξ r} \right)}^2}} }}\)

जहाँ \(r=\dfrac{\omega}{\omega_n}\).

इसलिए M.F = f(r, ξ)

अनुनाद के दौरान कंपन का आयाम अधिकतम होता है अर्थात् आवर्धन कारक अधिकतम होता है और अधःअवमंदित प्रसंवादी दोलक अर्थात् (ξ ≠ 0) के लिए यह आवृत्ति अनुपात के एकल तक पहुंचने से ठीक पहले घटित होता है, जैसा नीचे दिए गए आलेख से देखा जा सकता है।

अतः अधःअवमंदित दोलक के लिए अनुनाद या अधिकतम आयतन का दूसरा बिंदु तब घटित होता है जब उद्दीपन आवृत्ति अन्देंप्त प्राकृतिक आवृत्ति की तुलना में कम होती है।

Mistake Points विकल्प 2 सही है, कई स्थानों पर, विकल्प 3 को सही उत्तर के रूप में दिया गया है, जो गलत है, क्योंकि भिगोने की मात्रा के बावजूद, अधिकतम आयाम अनुपात \(r=\frac{\omega}{\omega_n}\)से पहले होता है जो इकाई पहुँच जाता है, जो आवृत्ति के अनुपात के विरुद्ध आवर्धन कारक के भूखंड से स्पष्ट है। विकल्प 3 बिना किसी अवमंदन के लिए सही है, लेकिन प्रश्न अधःअवमंदित प्रसंवादी दोलक के लिए है।