Summation MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Summation - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है:

प्रथम पद (a) = 27

सार्व अनुपात (r) = 2/3

गुणोत्तर श्रेणी का चौथा पद ज्ञात कीजिए।

प्रयुक्त सूत्र:

गुणोत्तर श्रेणी का n-वाँ पद = a × r^(n-1)

गणना:

चौथा पद = 27 × (2/3)^(4-1)

⇒ चौथा पद = 27 × (2/3)³

⇒ चौथा पद = 27 × (8/27)

⇒ चौथा पद = 8

∴ सही उत्तर विकल्प (1) है।

दिया है:

$\mathrm{\Sigma }\frac{\sqrt{2{\mathrm{n}}^2-5\mathrm{n}+1}}{4{\mathrm{n}}^3-7{\mathrm{n}}^2+2}$

प्रयुक्त संकल्पना:

सीमा तुलना परीक्षण​:

यदि an और bn दो धनात्मक श्रेणियाँ इस प्रकार हैं कि $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{Lt}\frac{a_n}{b_n}=c$  जहां c > 0 और परिमित तब, या तो दोनों श्रेणियाँ एक साथ अभिसरण या अपसरण करती हैं

P - श्रेणी परीक्षण:

 ∑ $\frac{1}{n^p}$, p > 1 के लिए अभिसारी है और p ≤  1 के लिए अपसारी है 

दी गई श्रेणी का nवां पद = u_n = $\mathrm{\Sigma }\frac{\sqrt{2{\mathrm{n}}^2-5\mathrm{n}+1}}{4{\mathrm{n}}^3-7{\mathrm{n}}^2+2}$

मान लीजिये कि ${\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}=\frac{1}{{\mathrm{n}}^2}$

${\displaystyle \mathrm{L}{\mathrm{t}}_{\mathrm{n}\to \mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}}{{\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}}={\displaystyle \mathrm{L}{\mathrm{t}}_{\mathrm{n}\to \mathrm{\infty }}[\frac{\mathrm{n}\sqrt{2-\frac{5}{\mathrm{n}}+\frac{1}{{\mathrm{n}}^2}}}{{\mathrm{n}}^3(4-\frac{7}{\mathrm{n}}+\frac{2}{{\mathrm{n}}^3})}\times \frac{{\mathrm{n}}^2}{1}]}}$

$={\displaystyle \mathrm{L}{\mathrm{t}}_{\mathrm{n}\to \mathrm{\infty }}\left[\frac{\sqrt{2-\frac{5}{\mathrm{n}}+\frac{1}{{\mathrm{n}}^2}}}{(4-\frac{7}{\mathrm{n}}+\frac{2}{{\mathrm{n}}^3})}\right]=\frac{\sqrt{2}}{4}\ne 0}$

∴ तुलना परीक्षण द्वारा, Σun और Σvn अभिसरण या अपसरण दोनों करती हैं।

लेकिन Σvn अभिसारी है। [p श्रेणी परीक्षण  - p = 2 > 1]

 ∴ Σu_n अभिसारी है।

दिया गया है:

${\displaystyle {\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{2^{\mathrm{n}}+3}{3^{\mathrm{n}}+1}\right)}^{1/2}}$

प्रयुक्त संकल्पना:

सीमा तुलना परीक्षण​:

यदि an और bn दो धनात्मक श्रेणियाँ इस प्रकार हैं कि $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{Lt}\frac{a_n}{b_n}=c$  जहां c > 0 और परिमित तब, या तो दोनों श्रेणियाँ एक साथ अभिसरण या अपसरण करती हैं

P - श्रेणी परीक्षण:

 ∑ $\frac{1}{n^p}$, p > 1 के लिए अभिसारी है और p ≤  1 के लिए अपसारी है 

$\frac{{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}}{{\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}}={\left(\frac{1+\frac{3}{2^{\mathrm{n}}}}{1+\frac{1}{3^{\mathrm{n}}}}\right)}^{1/2}$

${\displaystyle \mathrm{L}{\mathrm{t}}_{\mathrm{n}\to \mathrm{\infty }}\frac{{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}}{{\mathrm{v}}_{\mathrm{n}}}=1\ne 0;}$

∴ तुलना परीक्षण द्वारा, Σun और Σvn समान व्यवहार करते हैं।

लेकिन Σv_n = ${\Sigma }_{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{2}{3}\right)}^{\mathrm{n}/2}=\sqrt{\frac{2}{3}}+\frac{2}{3}+{\left(\frac{2}{3}\right)}^{3/2}+....$ जो $\sqrt{\frac{2}{3}}(<1)$ सार्व अनुपात वाली गुणोत्तर श्रेणी है

∴ Σv_n अभिसारी है।

अत: Σu_n अभिसारी है।

गणना

α = 12 + 42 + 82 …. 

⇒ tn = an2 + bn + c 

⇒ 1 = a + b + c 

⇒ 4 = 4a + 2b + c 

⇒ 8 = 9a + 3b + c 

हल करने पर हमें मिलता है, $\mathrm{a}=\frac{1}{2},\mathrm{b}=\frac{3}{2},\mathrm{c}=-1$

⇒ $\alpha =\sum _{n=1}^{10}{(\frac{n^2}{2}+\frac{3n}{2}-1)}^2$

⇒ $4\alpha =\sum _{n=1}^{10}{(n^2+3n-2)}^2,\beta =\sum _{n=1}^{10}{n}^4$

⇒ $4\alpha -\beta =\sum _{n=1}^{10}(6n^3+5n^2-12n+4)=55(353)+40$

तुलना करने पर

⇒  k = 353

संकल्पना:

समांतर श्रेणी श्रृंखला का nवां पद = a + (n-1)d

श्रृंखला में n संख्याओं का योग = $\frac{\mathrm{n}}{2}[2\mathrm{a}+(\mathrm{n}-1)\mathrm{d}]$

जहाँ 'a' श्रृंखला की पहली संख्या है और 'd' सार्व अंतर है। v

गणना:

S = 1 + 2 + 3 + ........ + 100

यह पहला पद a = 1, सार्व अंतर d = 1 और n = 100 के साथ एक समांतर श्रेणी है। 

S = $\frac{100}{2}[2\times 1+(100-1)1]$

S = 50 × 101

S = 5050

दिया है,

दिया समांतर श्रेणी है 13, 11, 9……

सूत्र:

T_nt = a + (n – 1)d

a = पहला पद

d = उभयनिष्ठ पद

गणना:

a = 13

d = 11 – 13

d = (-2)

T₅₀ = 13 + (50 – 1) × (-2)

⇒ T₅₀ = 13 + 49 × (-2)

⇒ T₅₀ = 13 – 98

∴ T₅₀ = -85

संकल्पना:

a + ar + ar2 + ar3 +…..

उपरोक्त अनंत ज्यामितीय श्रृंखला का योग:

$=\frac{a}{1-r}$

विश्लेषण:

दिया हुआ:

1 + 2(a2 + 1) + 3(a2 + 1)2 + 4(a2 + 1)3 + ......

माना कि x = (a2 + 1)

अब श्रृंखला बन जाती है

S = 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + ......  ----(1)

x को दोनों तरफ से गुणा करके हम प्राप्त करते हैं

xS = x + 2x2 + 3x3 + 4x4 + ...... ----(2)

(1) और (2) घटाकर, हम प्राप्त करते हैं

S(1 - x) = 1 + x + x2 + x3 + ..... ---(3)

(3) का दाहिने हाथ का पक्ष a = 1, r = x के साथ अनंत ज्यामितीय श्रृंखला बनाती है

∴ S(1 - x) = $\frac{1}{1-x}$

$\Rightarrow S=\frac{1}{(1-x{)}^2}$

x का मान डालते हैं, हम प्राप्त करते हैं

$\Rightarrow S=\frac{1}{(1-a^2-1{)}^2}$

$\Rightarrow S=\frac{1}{a^4}$

उपयोग किया गया सूत्र:

समांतर श्रेढ़ी का योग = n/2{पहला पद + अंतिम पद}

गणना:

पदों की संख्या = n = 12

⇒ S_n = 12/2{5 + 38}

⇒ S_n = 6{43}

दिया गया है:

3 के पहले पांच गुणज

अवधारणा:

गुणज = एक गुणज एक संख्या है जिसे किसी अन्य संख्या से बिना किसी शेषफल के एक निश्चित संख्या में विभाजित किया जा सकता है।

गणना:

⇒ 3 के पहले पांच गुणज = (3 × 1), (3 × 2), (3 × 3), (3 × 4), (3 × 5) = 3, 6, 9, 12, और 15

⇒ गुणजों का योग = 3 + 6 + 9 + 12 + 15 = 45

∴ अभीष्ट परिणाम 45 होगा।

यहां अनुसरण किया गया पैटर्न है -

अत: 16 शृंखला को पूरा करेगा।

Shortcut Trick

प्रयुक्त सूत्र:

औसत = (अवलोकन का योग)/(अवलोकन की संख्या)

अंतिम पद = a + (n - 1)d

गणना: 

उपरोक्त श्रंखला समांतर श्रेणी में है इसलिए मध्य 8वाँ पद औसत होगा।

⇒ 8^वाँ पद = 8 + (8 - 1) × 3 = 29

⇒ श्रंखला का योग = 29 × 15 = 435

∴ उपरोक्त श्रंखला का योग 435 है। 

Additional Information

हम इसे ऊपर (29 × 15) अंकों के योग विधि और विकल्प से गुणा करने से बच सकते हैं।

29 के अंकों का योग (2 + 9) ⇒ (11) ⇒ (2) और 15 है (1 + 5) = 6 

⇒ 2 × 6 = 12 ⇒ (1 + 2) ⇒ 3 

अब उन विकल्पों की जाँच कीजिये जिनके अंकों का योग 3 होगा, केवल विकल्प 2 है जिसका अंकों का योग 3 है। 

∴ सही उत्तर 435 है।

पारंपरिक तरीका: 

दिया गया है:

समांतर श्रेणी 8 + 11 + 14 + 17 से 15 पदों तक

प्रयुक्त सूत्र: 

समांतर श्रेणी का योग = n[2a + (n - 1)d]/2

गणना:

प्रथम 15 पदों का योग = 15[2 × 8 + (15-1)3]/2

⇒ (15 × 58)/2

⇒ 435

∴ सही उत्तर 435 है।

संकल्पना:

N^वां पद परीक्षण

यदि $\underset{n\to \infty }{lim}\left(\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n\right)=L$, जहां L शून्य के अलावा कोई अन्य मूर्त संख्या है। फिर, $\left(\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n\right)$ अपसारी करता है।

इसे अपसारी परीक्षण भी कहा जाता है।

गणना:

हमारे पास निम्न है, \(\left\)

$\Rightarrow \sum _{n=1}^{\infty }log\left(\frac{1}{n}\right)$

$\Rightarrow \underset{n\to \infty }{lim}\left[\sum _{n=1}^{\infty }log\left(\frac{1}{n}\right)\right]$

$\Rightarrow \underset{n\to \infty }{lim}log\left(\frac{1}{n}\right)$

तो, n → , $\frac{1}{n}$ → 0 के रूप में

$\Rightarrow \underset{n\to \infty }{lim}log\left(\frac{1}{n}\right)=-\infty \ne 0$

इस प्रकार, हमारी श्रृंखला n^वें पद परीक्षण द्वारा -∞ में बदल जाती है।

इसलिए, अनुक्रम \(\left\), -∞ से भिन्न है।

दिया गया है:

श्रेणी 1 = $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...$

श्रेणी 2 = $2+2\times \frac{1}{3}+2\times \frac{1}{3^2}+2\times \frac{1}{3^3}+...$

श्रेणी n = $n+n\times \frac{1}{n+1}+n\times \frac{1}{(n+1{)}^2}+n\times \frac{1}{(n+1{)}^3}+...$

अवधारणा:
अनंत गुणोत्तर श्रेढियों का योग, S_∞ = $\frac{a}{1-r}$ , जब |r| < 1

समांतर श्रेढ़ी का योग, S_AP = $\frac{n(a+l)}{2}$ , जहाँ, $l$ =श्रेणी का अंतिम पद

गणना:

श्रेणी 1 के लिए, a = 1 और r = $\frac{1}{2}$
∴ S₁ = $\frac{a}{1-r}$ = $\frac{1}{1-\frac{1}{2}}$
⇒ S₁ = 2

इसी प्रकार, श्रेणी 2 के लिए, a = 2 और r = $\frac{1}{3}$
∴ S₁ = $\frac{2}{1-\frac{1}{3}}$
⇒ S₂ = 3

इसी प्रकार,

S3 = 4

S₄ = 5, ...

S_n = n + 1

इसलिए, S₁, S₂, S₃, ... , Sn एक अंकगणितीय प्रगति (A.P.) है,

समांतर श्रेढ़ी के लिए,

a = S₁ = 2

n = n
$l$ = S_n = n + 1,

इस प्रकार,
(S1 + S2 + S3 + ... + S_n) = $\frac{n(a+l)}{2}=\frac{n(2+n+1)}{2}$

∴ ( S1 + S2 + S3 + ... + S_n ) = $\frac{n(n+3)}{2}$

दिया हुआ:

पहला पद = - ९

अंतिम अवधि एल = 51

पद की संख्या n = 16

FORMULAS का उपयोग किया गया:

Sum = n / 2 × (a + l)

गणना:

⇒ 16/2 × (- 9 + 51) = योग

माना कि दिया गया विस्तार f(n) है। 

f(n) = (1 + a1)(1 + a2)... (1 + an)

साथ ही दिया गया है, a1 = a2 = a3 = ... = an = 1

n = 2 लेने पर

f(2) = (1 + a1)(1 + a2)

f(2) = (1 + 1)(1 + 1) = 2²

n = 5 लेने पर

f(5) = (1 + a1)(1 + a2)(1 + a3)(1 + a4)(1 + a5)

f(5) = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 25

उसीप्रकार n बार के लिए इसे निम्न रूप में ज्ञात किया गया है

f(n) = (1 + 1)(1 + 1) ...... (1 + 1) = 2ⁿ

(1 + a1)(1 + a2)... (1 + an) = 2n