Range of a Function MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Range of a Function - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

Last updated on Jun 15, 2025

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Latest Range of a Function MCQ Objective Questions

Range of a Function Question 1:

Comprehension:

निम्न दो (02) प्रश्नों के लिए निम्नलिखित पर विचार कीजिए: माना कि फलन , जहाँ और n एक पूर्णांक है।

ydx किसके बराबर है?

जहाँ c समाकलन-अचर है।

  1. tan(x/2)+c
  2. cot(x/2)+c
  3. tan(x/2)+c
  4. cot(x/2)+c

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : cot(x/2)+c

Range of a Function Question 1 Detailed Solution

गणना:

दिया गया है,

फलन y=(1cos(x))1 है, जहाँ x2nπ और n एक पूर्णांक है।

दिए गए फलन को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

y=11cos(x)

सर्वसमिका 1cos(x)=2sin2(x2) का उपयोग करके, हम फलन को इस प्रकार फिर से लिखते हैं:

y=12sin2(x2)

हमें जिस समाकल का मूल्यांकन करने की आवश्यकता है, वह निम्न है:

dx2sin2(x2)

12csc2(x2)dx

csc2(x) का समाकल cot(x) के रूप में जाना जाता है, इसलिए हमें मिलता है:

12(cot(x2))+C

12cot(x2)+C

अंतिम परिणाम cot(x2)+C है। 

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

Range of a Function Question 2:

Comprehension:

निम्न दो (02) प्रश्नों के लिए निम्नलिखित पर विचार कीजिए: माना कि फलन , जहाँ और n एक पूर्णांक है।

फलन का परिसर क्या है?

  1. [0,)
  2. [0.5,)
  3. [1,)
  4. (,0.5]

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : [0.5,)

Range of a Function Question 2 Detailed Solution

गणना:

दिया गया है,

फलन y=(1cos(x))1है, जहाँ x2nπ और n एक पूर्णांक है।

कोज्या फलन का परिसर [-1, 1] होता है, इसलिए cos(x) का मान (-1) से (1) तक हो सकता है।

व्यंजक 1cos(x) का मान होगा:

11=0to1(1)=2

इसलिए, (1 - cos(x)) का मान परिसर (0,2] में होगा, लेकिन x2nπ मान 0 को बाहर करता है।

चूँकि y=11cos(x), व्युत्क्रम फलन का मान परिसर [12,) में होगा।

∴ फलन का परिसर [0.5,) है।

सही उत्तर विकल्प (b) है।

Range of a Function Question 3:

यदि फलन f : R → R जहाँ R वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है तथा f(x) = 1 - |x - 2| हो, तो f(x) की परास है -

  1. (-∞, 2)
  2. [12,12]
  3. [-2, 4)
  4. (-∞, 1)
  5. (0, 3)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : (-∞, 1)

Range of a Function Question 3 Detailed Solution

Range of a Function Question 4:

यदि f(x)={2+2x,1x<0 1x3,0x3; g(x)={x,3x0 x,0<x1 है, तो (fog(x)) का परिसर है:

  1. (0, 1]
  2. (0, 3]
  3. [0, 1]
  4. [0, 1)
  5. (0, 1)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : [0, 1]

Range of a Function Question 4 Detailed Solution

गणना

f(g(x))={2+2g(x),1g(x)<01g(x)3,0g(x)3 qImage6698da10c23ec3c59be861e9

समीकरण (1) से x ∈ ϕ

और समीकरण (2) से x [ 3, 0] और x [0, 1]

qImage6698da11c23ec3c59be861ea

f(g(x)) का परिसर [0, 1] है। 

इसलिए, विकल्प 3 सही है। 

Range of a Function Question 5:

माना फलन

f (x) = 12+sin3x+cos3x, x ∈ IR का परिसर [a, b] है। यदि α और β क्रमशः a और b के समान्तर माध्य और गुणोत्तर माध्य हैं, तो αβ बराबर है:

  1. 2
  2. 2
  3. π
  4. π
  5. π/2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 2

Range of a Function Question 5 Detailed Solution

गणना

दिया गया है

f(x)=12+sin3x+cos3x

2 sin3x+cos3x2

222+sinx+cosx2+2

12+sin3x+cos3x [12+2,122]

αβ=a+b2ab=12(ab+ba)

12(222+2+2+222)

(22)+(2+2)2×2 = √2

अतः विकल्प (1) सही है

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4cos3 x - 3cos x की सबसे लम्बी अवधि क्या है?

  1. 2π3
  2. π3
  3. π 
  4. 2π 

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 2π3

Range of a Function Question 6 Detailed Solution

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संकल्पना:

फलन की अवधि:

यदि फलन को एक स्थिर अवधि में दोहराया जाता है, तो हम कहते हैं कि यह एक आवधिक फलन है। 

इसे f(x) = f(x + T) की तरह दर्शाया जाता है, T वास्तविक संख्या है और यह फलन की अवधि है। 

sin x और cos x की अवधि 2π है। 

 

गणना:

ज्ञात करना है:​ 4cos3 x - 3cos x की अवधि

चूँकि हम जानते हैं 4cos3 x - 3cos x = cos 3x

cos x की अवधि 2π है। 

अतः cos 3x की अवधि 2π3 है। 

वास्तविक फलन f(x) = x+1x3 की परास ज्ञात कीजिए। 

  1. R - {3}
  2. R - {1}
  3. R - {-3}

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : R - {1}

Range of a Function Question 7 Detailed Solution

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संकल्पना:

परास: एक फलन की परास उन सभी संभव मानों का समूह जिसे यह उत्पादित कर सकता है अर्थात् y के सभी मानों के लिए जिसके लिए x परिभाषित होता है। 

नोट:

एक फलन f(x) का डोमेन सभी मानों का समूह होता है जिसके लिए फलन परिभाषित होता है, और फलन की परास f द्वारा लिए गए सभी मानों का समूह होता है। 

गणना:

माना कि, y = f(x) = x+1x3 है। 

⇒y(x - 3) = x + 1

⇒yx - 3y - x = 1

⇒ x(y - 1) - 3y = 1

⇒ x(y - 1) = 1 + 3y

x=1+3yy1

यह स्पष्ट है कि y - 1 = 0 अर्थात y = 1 होने पर x परिभाषित नहीं है। 

∴ सीमा (f) = R - {1}

अतः विकल्प (2) सही है।

Mistake Pointsप्रश्न में दिया गया है कि f(x) वास्तविक फलन है। इसलिए,

f(x) में x = 3 के अलावा x के मान के लिए वास्तविक मान हैं

∴ दिए गए फलन का डोमेन = R - {3}, जहाँ R सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है

माना f(x) = xहै, R में, तब f की सीमा क्या होगी?

  1. धनात्मक संख्या 
  2. ऋणात्मक वास्तविक संख्या 
  3. धनात्मक वास्तविक संख्या 
  4. पूर्णांक 

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : धनात्मक संख्या 

Range of a Function Question 8 Detailed Solution

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फलन f(x) = 14sin2x, (x ∈ R) का परिसर है:

  1. [1, 2]
  2. [13,12]
  3. [15,13]
  4. [2, 3]

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : [15,13]

Range of a Function Question 9 Detailed Solution

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अवधारणा:

  • sin x का परिसर [- 1, 1] होता है।
  • असमिका को ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर असमिका का चिह्न बदल जाता है।

गणना:

दिया गया है, f(x) = 14sin2x

हम जानते हैं sin x का परिसर = [- 1, 1]

∴ sin 2x का परिसर [- 1, 1] है।

⇒ - 1 ≤ sin 2x  ≤ 1 

पूरे समीकरण को - 1 से गुणा करने पर,

⇒ 1 ≥ - sin 2x  ≥ -1

⇒ - 1 ≤ - sin 2x  ≤ 1 

पूरी असमिका में 4 जोड़ने पर,

⇒ - 1 + 4 ≤ 4 - sin 2x ≤ 1 + 4

⇒ 3 ≤  4 - sin 2x  ≤ 5.

पूरी असमिका का व्युत्क्रम लेने पर,

⇒ 13 ≥ 14sin2x ≥  15

⇒  15 ≤  14sin2x ≤ 13

∴ फलन 14sin2x का परिसर [15,13] है।

फलन का अभीष्ट परिसर [15,13] है। 

यदि x एक वास्तविक संख्या है, तब xx25x+9 मान क्या होंगे?

  1. [1,111]
  2. [111,1]
  3. [111,1]
  4. [111,0]

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : [111,1]

Range of a Function Question 10 Detailed Solution

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गणना:

दिया गया है, f(x) = xx25x+9, x ∈ R

y =  xx25x+9

⇒ yx2 - 5xy + 9y - x = 0

⇒ yx2 - (5y + 1)x + 9y  = 0

दिया गया है, x वास्तविक संख्या है, इसलिए, विविक्‍तिकर ≥ 0

⇒ [- (5y + 1)]2 - 4 × y × 9y ≥ 0

⇒ (5y + 1)2 - 36y2 ≥ 0

⇒ 25y2 + 10y + 1 - 36y2 ≥ 0

⇒ - 11y2 + 10y + 1 ≥ 0

⇒ 11y2 - 10y - 1 ≤ 0

⇒ 11y2 - 11y + y - 1 ≤ 0

⇒ 11y(y - 1) + 1(y - 1) ≤ 0

⇒ (11y + 1) (y - 1) ≤ 0

∴ 111y1

xx25x+9 के मान [111,1] हैं। 

माना कि R = {(x, y): x + 2y = 8}, ℕ पर संबंध है तो R का डोमेन क्या है?

  1. {1, 2, 3}
  2. {1, 2, 3, 4, 5, 6}
  3. {2, 4, 6}
  4. {1, 3, 5}

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : {2, 4, 6}

Range of a Function Question 11 Detailed Solution

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संकल्पना:

एक संबंध R = {(x, y)} का डोमेन x के सभी मानों का समूह है , और R की सीमा y के सभी मानों का समुच्चय है

 

गणना:

चूंकि R ℕ पर एक संबंध है, इसलिए तत्व x और y धनात्मक पूर्णांक होने चाहिए।

हमारे पास x + 2y = 8 है।

⇒ y = 8x2=4x2

y धनात्मक और एक पूर्णांक होने के लिए (y ∈ N) के लिए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि x को 2 से विभाज्य होना चाहिए और 4x2 > 0।

4>x2

⇒ x < 8।

केवल 8 से कम संख्याएं जो 2 से विभाज्य हैं 2, 4 और 6 हैं।

∴ x ∈ {2, 4, 6} जो आवश्यक डोमेन है।

फलन y=x21+x2 का परास क्या है, जहाँ x ∈ ℝ है?

  1. [0, 1)
  2. [0, 1]
  3. (0, 1)
  4. (0, 1]

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : [0, 1)

Range of a Function Question 12 Detailed Solution

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संकल्पना:

  • एक द्विघाती समीकरण ax2 + bx +c = 0 में वास्तविक मूल होने के लिए: D = b2 – 4ac ≥ 0

 

गणना:

y=x21+x2, जहाँ x ∈ R

निम्न को हल करने पर,

y + yx2 = x2

⇒ (y - 1) x2 + y = 0

⇒(y - 1) x2 + y = 0

साथ ही मौजूद द्विघाती समीकरण का y – 1 = 0 तक मौजूद होना संभव नहीं है। 

जो x में एक द्विघाती समीकरण है, ax2 + bx +c = 0 से तुलना करने पर, हमें a = (y - 1) , b = 0 , c = y प्राप्त होता है। 

x ∈ R के लिए D ≥ 0 लेने पर, इसलिए b2 – 4ac ≥ 0 है। 

0 – 4 y ( y – 1 ) ≥ 0

⇒ y ( y - 1 ) ≤ 0

जो हल y ∈ [0, 1) देता है। 

मान लीजिए कि f : R → R को f(x)=x21+x2 द्वारा परिभाषित किया गया है। फलन की सीमा क्या है?

  1. [0, 1)
  2. [0, 2]
  3. [-1, 1]
  4. [0, -1]

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : [0, 1)

Range of a Function Question 13 Detailed Solution

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संकल्पना:

नीचे फलन की सीमा का पता लगाने के लिए चरण दिए गए हैं:

1. y = f(x) लिखें और फिर x = g(y) का कुछ रूप देकर x के लिए समीकरण को हल करें।

g(y) का डोमेन ज्ञात करें और यह f(x) की सीमा होगी।

यदि आप को लगता है कि आप x को हल नहीं कर सकते हैं तो सीमा खोजने के लिए फलन का रेखांकन करने का प्रयास करें।

 

गणना:

दिया हुआ है कि

f(x)=x21+x2

Put f(x) = y

y=x21+x2

पार गुणा करें

⇒ y(1 + x2 ) = x2

⇒ y + y . x2 = x2

⇒ x2 (1 -y) = y

⇒ x2 = y/(1 -y)

x=y1y

⇒ x = g(y) = y1y

अब हम g(y) के डोमेन का पता लगाते हैं जो f(x) की सीमा होगी

इसलिए जैसा कि हम जानते हैं कि मूल के अंदर हमेशा धनात्मक मूल्य आते हैं,

⇒ y ≠ 1 और yy1>0

संख्या रेखा पर दिखाने से हमें सीमा [0, 1)मिलेगी

y = 2 - sin x के आलेख के कोटि अंक का मान किस अंतराल में है?

  1. [1, 3]
  2. [0, 3]
  3. [-1, 1]
  4. इनमें से कोई नहीं 

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : [1, 3]

Range of a Function Question 14 Detailed Solution

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संकल्पना:

कार्तीय निर्देशांक y - अक्ष के समानांतर मापन द्वारा प्राप्त होता है। 

गणना:

दिया गया है: y = 2 - sin x  

फलन sin x में इसके डोमेन में सभी वास्तविक संख्याएँ हैं, लेकिन सीमा -1 ≤ sin x ≤ 1 या  -1 ≤ -sin x ≤ 1 है। 

 -1 ≤ -sin x ≤ 1

दोनों पक्षों में 2 जोड़ने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒ 2 - 1 ≤ 2 - sin x ≤ 2 + 1

⇒ 1 ≤ y ≤ 3

y ∈ [ 1 , 3 ] 

सही विकल्प 1 है।

फलन f(x)=|x|x, x0 ? की सीमा क्या है?

  1. सभी वास्तविक संख्याओं का समूह 
  2. सभी पूर्णांकों का समूह 
  3. {-1, 1}
  4. {-1, 0, 1}

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : {-1, 1}

Range of a Function Question 15 Detailed Solution

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संकल्पना:

f(x)=|x|={x,x<0x,x0

गणना:

Referring to the graph for the given function,

f(x)=|x|x, x0 

Here, x  = 0 is not in the domain of f(x)

This can be re - written as,

f(x)={1,x<01,x>0

So, referring to the graph for the given function,

F2 Vinanti Engineering 27.02.23 D3
 

You can see that there are only two outputs for all the values of x in the domain of f(x) so the range of the function f(x) will be {-1, 1}

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