Inverse of a Function MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Inverse of a Function - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

$g=f^{-1}$

$f(g(x))=x$

x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

$f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)=1$

$\therefore {\displaystyle \frac{1}{1+(g(x){)}^4}}\cdot g^{\prime }(x)=1$

$g^{\prime }(x)=1+[g(x){]}^4$

व्याख्या:

g(x) एक व्युत्क्रमणीय फलन f(x) का प्रतिलोम फलन है।

इसलिए, g^-1(x) = f(x)

⇒ x = g{f(x)}

दोनों पक्षों का अवकलन करने पर

1 = g'{f(x)}f'(x)

⇒ g'{f(x)} = $\frac{1}{f^{\prime }(x)}$

x = -1 रखने पर हमें प्राप्त होता है

g'{f(-1)} = $\frac{1}{{\mathrm{f}}^{\prime }(-1)}$

अतः विकल्प (3) सही है।

$g=f^{-1}$

$f(g(x))=x$

x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

$f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)=1$

$\therefore {\displaystyle \frac{1}{1+(g(x){)}^4}}\cdot g^{\prime }(x)=1$

$g^{\prime }(x)=1+[g(x){]}^4$

व्याख्या-

f(x) = x3 के व्युत्क्रम फलन $f^{-1}(x)$ , का प्रांत,

हमें मूल फलन f(x) के परिसर पर विचार करने की आवश्यकता है, जो कि {0, 1, 8, 27} है।

चूँकि f(x) प्रांत {0, 1, 2, 3} से अवयवों को श्रेणी {0, 1, 8, 27} का चित्रण है,

व्युत्क्रम फलन $f^{-1}(x)$ अवयवों {0, 1, 8, 27} को पुनः प्रांत {0, 1, 2, 3} में चित्रित करता है 

इसलिए, $f^{-1}(x)$ का प्रांत {0, 1, 8, 27} है, जो कि मूल फलन f(x) की सीमा है।

इसलिए, $f^{-1}(x)$ का प्रांत  {0, 1, 8, 27} है।

अतः विकल्प (3) सही है।

संकल्पना:

दिए गए फलन f(x) = y के लिए हम कह सकते हैं कि x = f^-1(y) है। 

गणना:

माना कि y = f(x) = 2x - 3 है। 

$\Rightarrow \mathrm{x}={\displaystyle \frac{\mathrm{y}+3}{2}}={\mathrm{f}}^{-1}(\mathrm{y})$

y को x से प्रतिस्थापित करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है:

$\therefore {\mathrm{f}}^{-1}(\mathrm{x})={\displaystyle \frac{\mathrm{x}+3}{2}}$.

Concept:

If f(x) = y, we say that x = f^-1(y).

The inverse of the given function will be defined only when the function is bijective.

• Here the base of the function log8 x is greater than 1 so the function will be increasing. So, this will be one - one function.
• Also, the co -domain of the given function will be the same as the range of the function which will be R so this will be onto function.
• So, the function is Bijective.

Calculation:
To find the inverse function, 

Replace x → y

x = f(y) = log₈ y

⇒ x = log8 y

Now, take anti log,

⇒ y = 8^x = f^-1(x)

⇒ f^-1(x) = 8^x.

संकल्पना:

व्युत्क्रम फलन:

माना कि f: A → B एकैकी और आच्छादक (एकैकी आच्छादी) फलन है। तो f-1 तब मौजूद होता है जो एक फलन f-1: B → A है, जो एक तत्व a ∈ A के साथ प्रत्येक तत्व b ∈ B को इस प्रकार प्रतिचित्रित करता है जिससे f(a) = b को f: A → B का व्युत्क्रम फलन कहा जाता है। 

व्युत्क्रम ज्ञात करने की विधि:

माना कि f : A → B एक एकैकी आच्छादी फलन है। 

चरण - I: f (x) = y रखिए। 

चरण - II: y के संदर्भ में x प्राप्त करने के लिए समीकरण y = f (x) को हल कीजिए। 

दिए गए फलन f का व्युत्क्रम प्राप्त करने के लिए x और y को एक-दूसरे से परिवर्तित कीजिए।

गणना:

दिया हुआ: y = 5^{log x}

यहां हमें दिए गए फलन के व्युत्क्रम को खोजना होगा

y = 5log x के दोनों पक्षों पर आधार 5 के लिए लॉग लागू करके हमें मिलता है

⇒ ${\log }_{5}y={\log }_5\left(5^{\log x}\right)$

⇒ ${\log }_{5}y=\log x$

⇒ $\frac{\log y}{\log 5}=\log x$

⇒ $\log \left[y^{\frac{1}{\log 5}}\right]=\log x$

⇒ $x=y^{\frac{1}{\log 5}}$

इसलिए, विकल्प B सही उत्तर है।

स्पष्टीकरण:

हमें प्राप्त है, f(x) = 3x - 4 = y (माना)

⇒ 3x = y + 4
⇒ x = $\frac{y+4}{3}$

⇒ $f^{-1}(x)=\frac{x+4}{3}$

अवधारणा:

फलन:

यदि y = f(x) तो हम कहते हैं कि x = f^-1(y)

गणना:

माना कि y = f(x) = ${\displaystyle \frac{1-\mathrm{x}}{1+\mathrm{x}}}$

⇒ y(1 + x) = 1 - x

⇒ y + xy = 1 - x

⇒ xy + x = 1 - y

⇒ x(1 + y) = 1 - y

⇒ x = ${\displaystyle \frac{1-\mathrm{y}}{1+\mathrm{y}}}$ = f^-1(y)

y को x से प्रतिस्थापित करते हुए, हम कह सकते हैं कि:

f-1(x) = ${\displaystyle \frac{1-\mathrm{x}}{1+\mathrm{x}}}$

माना कि f(x) = y = 10x – 7

तो, $x=f^{-1}(y)=\frac{y+7}{10}$

अब, $g(y)=f^{-1}(y)$, {दिया गया है}

तो, $g(x)=\frac{x+7}{10}$

अत: सही विकल्प (3) है।  

संकल्पना:

• व्युत्क्रम फलन:

माना कि f: A → B एकैकी और आच्छादक (एकैकी आच्छादी) फलन है। तो f-1 मौजूद है जो एक फलन f-1: B → A है, जो एक तत्व के साथ प्रत्येक तत्व b ∈ B को प्रतिचित्रित करता है। 

a ∈ A इस प्रकार है जिससे f(a) = b को f: A → B का व्युत्क्रम फलन कहा जाता है। 

• व्युत्क्रम ज्ञात करने की विधि:

माना कि f: A → B एकैकी आच्छादी फलन है। 

चरण - I f(x) = y रखिए

चरण - II y के संदर्भ में x प्राप्त करने के लिए समीकरण y = f (x) को हल कीजिए। 

दिए गए फलन f का व्युत्क्रम ज्ञात करने के लिए x और y को परस्पर परिवर्तित करें।

गणना:

दिया गया: f: R → R एक फलन है जैसे कि f(x) = 10x + 3

जैसा कि हम देख सकते हैं कि दिया गया फलन एक एकैकी आच्छादी फलन है अर्थात f ^-1 मौजूद है।

माना कि y = f(x) = 10x + 3

⇒ x = $\frac{y-3}{10}$

इसलिए, f ^-1 (x) = $\frac{x-3}{10}$

व्याख्या:

हमें प्राप्त है, f(x) = $\frac{3x+2}{5x-3}$ = y (माना)
⇒ 3x + 2 = y(5x - 3)
⇒ 3x + 2 = 5xy - 3y

⇒ 3x - 5xy = -3y - 2

⇒ x(3 - 5y) = -3y - 2

⇒ $x=\frac{3y+2}{5y-3}$

⇒ $f^{-1}(x)=\frac{3x+2}{5x-3}$

∴ f–1(x) = f (x)

संकल्पना:

यदि g, f का व्युत्क्रम फलन है तो gof(x) = g(f(x)) = x

अवकलन का श्रृंखला नियम: [g(f(x))]' = g'(f(x)).f '(x)

गणना:

दिया गया है, फलन f, x = c पर अवकलनीय है और c के किसी प्रतिवेश में एकैकी है, g, f का व्युत्क्रम फलन है।

⇒ g(f(x)) = x

दोनों पक्षों को x के सापेक्ष अवकलित करने पर,

⇒ g'(f(x)).f '(x) = 1

⇒ g'(f(x)) = $\frac{1}{{\mathrm{f}}^{\prime }(\mathrm{x})}$

अतः, x = c पर,

g'(f(c)) = $\frac{1}{{\mathrm{f}}^{\prime }(\mathrm{c})}$

∴ सही विकल्प (1) है।

संकल्पना:

यदि f(x) = y है, तो हम कह सकते हैं कि f के तहत y, x की छवि है और f के तहत x, y की पूर्व-छवि है। 

गणना:

यहाँ, f: R→R: f(x) = x2 - 17

⇒f(x) = -1 

⇒ x2 - 17 = -1

⇒ x2 = 16

⇒ x = -4, 4

इसलिए, -4, 4, -1 की पूर्व-छवि हैं। 

अतः विकल्प (3) सही है।