Projectile Motion MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Projectile Motion - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

उड़ान के समय के सूत्र का उपयोग करते हुए:

⇒ 1 = (2 × v × sin 45°) / 10

⇒ 1 = (2 × v × (1/√2)) / 10

⇒ 1 = (v × √2) / 10

⇒ v = 10 / √2

⇒ v = √50 m/s

∴ आवश्यक वेग (v) √50 m/s है।

संप्रत्यय:

मुक्त पतन और गति के अंतिम सेकंड में तय की गई दूरी:

• गुरुत्वाकर्षण के अधीन मुक्त रूप से गिरने वाले पिंड के लिए, तय की गई दूरी समीकरण द्वारा दी जाती है:
  • s = ut + (1/2)gt², जहाँ:
    • s = तय की गई दूरी
    • u = प्रारंभिक वेग (जो मुक्त पतन के लिए 0 है)
    • g = गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (10 m/s²)
    • t = लिया गया समय
• टॉवर के शीर्ष से गिरने में लगने वाला कुल समय (T) दिया गया है: T = √(2h/g).
• गति के अंतिम सेकंड में तय की गई दूरी की गणना समय (T) और समय (T-1) पर तय की गई दूरी के बीच अंतर करके की जाती है:
  • अंतिम सेकंड में दूरी: s_last = s_T - s_T-1

परिकलन:

दिया गया है:

• टॉवर की ऊँचाई, h = 125 m
• गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण, g = 10 m/s²

सबसे पहले, टॉवर के शीर्ष से गिरने में लगने वाला कुल समय परिकलित करें:

T = √(2h/g) = √(2 x 125 / 10) = √25 = 5 सेकंड

अब, अंतिम सेकंड में तय की गई दूरी ज्ञात करने के लिए, हमें 4 सेकंड में तय की गई दूरी को 5 सेकंड में तय की गई कुल दूरी से घटाना होगा:

s₅ = (1/2) x 10 x 5² = 125 m

s₄ = (1/2) x 10 x 4² = 80 m

गति के अंतिम सेकंड में तय की गई दूरी है:

s = s₅ - s₄ = 125 - 80 = 45 m

अंतिम सेकंड के दौरान तय की गई दूरी टॉवर की ऊँचाई का 36% है।

संप्रत्यय:

मुक्त पतन और गति के अंतिम सेकंड में तय की गई दूरी:

• गुरुत्वाकर्षण के अधीन मुक्त रूप से गिरने वाले पिंड के लिए, तय की गई दूरी समीकरण द्वारा दी जाती है:
  • s = ut + (1/2)gt², जहाँ:
    • s = तय की गई दूरी
    • u = प्रारंभिक वेग (जो मुक्त पतन के लिए 0 है)
    • g = गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण (10 m/s²)
    • t = लिया गया समय
• टॉवर के शीर्ष से गिरने में लगने वाला कुल समय (T) दिया गया है: T = √(2h/g).
• गति के अंतिम सेकंड में तय की गई दूरी की गणना समय (T) और समय (T-1) पर तय की गई दूरी के बीच अंतर करके की जाती है:
  • अंतिम सेकंड में दूरी: s_last = s_T - s_T-1

परिकलन:

दिया गया है:

• टॉवर की ऊँचाई, h = 125 m
• गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण, g = 10 m/s²

सबसे पहले, टॉवर के शीर्ष से गिरने में लगने वाला कुल समय परिकलित करें:

T = √(2h/g) = √(2 x 125 / 10) = √25 = 5 सेकंड

अब, अंतिम सेकंड में तय की गई दूरी ज्ञात करने के लिए, हमें 4 सेकंड में तय की गई दूरी को 5 सेकंड में तय की गई कुल दूरी से घटाना होगा:

s₅ = (1/2) x 10 x 5² = 125 m

s₄ = (1/2) x 10 x 4² = 80 m

गति के अंतिम सेकंड में तय की गई दूरी है:

s = s₅ - s₄ = 125 - 80 = 45 m

अंतिम सेकंड के दौरान तय की गई दूरी टॉवर की ऊँचाई का 36% है।

प्रयुक्त अवधारणा:

एक बेलनाकार कमरे के अंदर प्रक्षेप्य गति में, वेग का क्षैतिज घटक (u_x) प्रत्यास्थ संघट्ट के दौरान अपरिवर्तित रहता है।

प्रारंभिक बिंदु पर वापस आने से पहले तय की गई कुल परास है:

परास = 4a

गणना:

क्षैतिज गति समीकरण का उपयोग करके:

⇒ 4a = (u cos θ ) T

⇒ u = (4a) / (T cos θ )

यह सुनिश्चित करने के लिए कि कण मानक प्रक्षेप्य गति के उच्चतम बिंदु तक नहीं पहुँचता है:

⇒ (2u sin θ ) / g > T

⇒ (2u sin θ ) / g > (4a) / (u cos θ )

⇒ u > 2√(ga / sin 2θ )

गणना:

दिया गया है: प्रक्षेप्य को 30° के कोण पर 40 m/s के प्रारंभिक वेग से प्रक्षेपित किया जाता है।

हमें t = 2 सेकंड पर प्रक्षेप्य का वेग ज्ञात करना है, दिया गया है g = 10 m/s²

हम प्रारंभिक वेग को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों में विभाजित कर सकते हैं:

प्रारंभिक क्षैतिज वेग, v_x0 = 40 × cos(30°) = 40 × √3/2 = 20√3 m/s

प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग, v_y0 = 40 × sin(30°) = 40 × 1/2 = 20 m/s

क्षैतिज वेग गति के दौरान स्थिर रहता है क्योंकि कोई क्षैतिज त्वरण मौजूद नहीं है। इस प्रकार, t = 2 सेकंड पर, वेग का क्षैतिज घटक है:

v_x = 20√3 m/s

किसी भी समय t पर ऊर्ध्वाधर वेग दिया जाता है:

vy = vy0 - g × t

vy = 20 - 10 × 2 = 20 - 20 = 0 m/s

इसलिए, t = 2 सेकंड पर, ऊर्ध्वाधर वेग शून्य है।

t = 2 सेकंड पर प्रक्षेप्य का कुल वेग केवल क्षैतिज वेग है:

v = v_x = 20√3 m/s ≈ 34.64 m/s

इसलिए, t = 2 सेकंड पर प्रक्षेप्य का वेग लगभग 34.64 m/s है, जो विकल्प 1 से मेल खाता है।

इस प्रकार, सही विकल्प विकल्प 1: 20√3 m/s है। 

अवधारणा:

• गति का समीकरण: किसी गतिशील वस्तु पर कार्य करनेवाले बल पर विचार किए बिना किसी गतिशील वस्तु के अंतिम वेग, विस्थापन, समय आदि को खोजने के लिए प्रयुक्त गणितीय समीकरणों को गति के समीकरण कहा जाता है।
• ये समीकरण केवल तभी मान्य होते हैं जब निकाय का त्वरण स्थिर होता है और वे एक सीधी रेखा पर चलते हैं।

गति के तीन समीकरण होते हैं:

V = u + at

V2 = u2 + 2 a S

\({\text{S}} = {\text{ut}} + \frac{1}{2}{\text{a}}{{\text{t}}^2}\)

जहाँ, V = अंतिम वेग, u = प्रारंभिक वेग, s = गति के तहत निकाय द्वारा तय की गई दूरी, a = गति के तहत निकाय का एक त्वरण और गति के तहत निकाय द्वारा लिया गया समय = t

व्याख्या

v = 30 मीटर/सेकेंड, u = 10 मीटर/सेकेंड, a = 4 मीटर/सेकेंड2

हम जानते हैं कि,

⇒ v2 = u2 + 2aS

⇒ 2aS = v2 – u2

⇒ 2 × 4 × S = 900 - 100

⇒ 8S = 800

​⇒ S = 800/8 = 100 मीटर

अवधारणा:

शुद्धगतिकी के समीकरण:

• शुद्धगतिकी के समीकरण: एकसमान त्वरण के साथ गतिमान कण के लिए u, v, a, t और s के बीच के विभिन्न संबंध निम्न अनुसार हैं, जहां इस प्रकार संकेतों का उपयोग किया जाता है:
• गति के समीकरणों को इस रूप में लिखा जा सकता है

⇒ V = U + at

\(⇒ s =Ut+\frac{1}{2}{at^{2}}\)

⇒ V2 = U2 + 2as

जहां, U = आरंभिक वेग, V = अंतिम वेग, g = गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण, t = समय, और h = ऊँचाई /तय की गई दूरी

वेग:

• कण के वेग को उसके विस्थापन के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया गया है और इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है-

\(\vec v = \frac{{\overrightarrow {dx} }}{{dt}}\)

त्वरण:

•  कण के त्वरण को इसके वेग के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है और इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है-

\(\vec a = \frac{{\overrightarrow {dv} }}{{dt}}\)

​गणना :

दिया गया है:

एक गेंद को 240 मीटर ऊंची मीनार से 40 m/s की गति से ऊर्ध्वाधर रूप से ऊपर फेंका जाता है।

मीनार की ऊँचाई = - 240 m

गुरुत्वीय त्वरण (a) = - 10 m/s²

गति के दूसरे समीकरण द्वारा,

\(⇒ s =Ut+\frac{1}{2}{at^{2}}\)

उपर दिए गए समीकरण में u, s, और a के' मान रखने पर

हमें प्राप्त होता है,

\(⇒ -240 =(40\times t)+\left ( \frac{1}{2}\times -10\times t^{2} \right )\)

⇒ - 240 = 40t - 5t2

• यहाँ, गेंद धनात्मक मानते हुए बिंदु B से C तक ऊपर की ओर जा रही है और ऋणात्मक मानते हुए बिंदु C से D तक नीचे की दिशा में वापस आती है। इसलिए, BC = -CD के कारण BC और CD  दोनों दूरी को रद्द करें। फिर से गेंद ऋणात्मक कहते हुए बिंदु D से E तक नीचे की दिशा में वापस आती है। इसलिए, गेंद द्वारा तय की गई कुल दूरी -240 मीटर है।
• जब गेंद गुरुत्वाकर्षण के खिलाफ ऊपर की ओर जाती है, तो विस्थापन को धनात्मक माना जाता है और गुरुत्वाकर्षण ऋणात्मक होता है। अब, जब गेंद नीचे आती है, तो विस्थापन को ऋणात्मक माना जाता है और गुरुत्वाकर्षण धनात्मक होता है।

⇒ 5t2 - 40t - 240 = 0

⇒ t2 - 8t - 48 = 0

हल करने पर,

हम t = 12 sec और t = - 4 sec प्राप्त करते हैं, समय का धनात्मक मूल्य लेते हुए

⇒ t = 12 sec

Alternate Method

गणना​:

दिया गया है:

गेंद को 40 मीटर/सेकंड की गति (ui) के साथ लंबवत रूप से ऊपर फेंका जाता है।

टावर की ऊँचाई (s) = 240 m

गुरुत्वाकर्षण त्वरण (a) = 10 m/s2

जब गेंद टॉवर के ऊपर से फेंकती है, तो यह बिंदु B से E तक की दूरी तय करेगी, अर्थात

BE = BC + CD + DE

विस्थापन BE के लिए आवश्यक कुल समय होगा T = t1 + t2

जहाँ, t1  BC + CD के लिए समय और t2 =  DE के लिए से

दूरी BC + CD के लिए आवश्यक समय 

\(t_1 = \frac{2u_i}{g}\)

\(t_1 = \frac{2 \times 40}{10}\)

t1 = 8 sec

दूरी DE के लिए आवश्यक समय:

गेंद द्वारा तय की गई दूरी 240 मीटर है जिसमें 40 मीटर/सेकंड का वेग है जिसमें गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण 10 मीटर/सेकंड² है।

\(⇒ s = ut +\frac{1}{2}at^2 \)

\(⇒ 240 = 40 \times t_2 +\frac{1}{2}10\times t^2 _2\)

\(⇒ 240 = 40 t_2 +5 t^2 _2\)

\(⇒ 5 t^2 _2+40 t_2 -240=0\)

t2 = 4 sec

इसलिए, विस्थापन के लिए आवश्यक कुल समय, T = t1 + t2

T = 8 + 4 = 12 sec

अवधारणा :

• प्रक्षेपण का कोण: किसी क्षैतिज तल से किसी निकाय के प्रारंभिक वेग के बीच का वह कोण जिससे निकाय फेंका जाता है, प्रक्षेपण के कोण के रूप में जाना जाता है।
  • प्रक्षेपण का कोण जिसके लिए प्रक्षेप्य की अधिकतम ऊंचाई क्षैतिज सीमा के बराबर है, को निर्धारित करना होगा।
  • एक शरीर को दो तरीकों से पेश किया जा सकता है:
    1. क्षैतिज प्रक्षेपण- जब निकाय को केवल क्षैतिज दिशा में एक प्रारंभिक वेग दिया जाता है।
    2. कोणीय प्रक्षेपण- जब निकाय को क्षैतिज दिशा में कोण पर प्रारंभिक वेग के साथ फेंका जाता है।
• प्रक्षेप्य की अधिकतम ऊंचाई: यह तब होता है जब प्रक्षेप्य शून्य ऊर्ध्वाधर वेग तक पहुंचता है जिसे अधिकतम ऊंचाई कहा जाता है।
  • इस बिंदु से, वेग सदिश का ऊर्ध्वाधर घटक नीचे की ओर इंगित करेगा।
  • प्रक्षेप्य के क्षैतिज विस्थापन को प्रक्षेप्य की सीमा कहा जाता है और वस्तु के प्रारंभिक वेग पर निर्भर करता है।

सूत्र:

\(H = \frac{{\mathop V\nolimits_O^2 {{{\mathop{\rm Sin}\nolimits} }^2}θ }}{{2g}}\)

जहाँ, H अधिकतम ऊँचाई है, v_o = प्रारंभिक वेग, g = गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण, θ = क्षैतिज समतल (रेडियन या डिग्री) से प्रारंभिक वेग का कोण है।

गणना :

दिया है कि, v = u / 2

अधिकतम ऊंचाई पर, ऊर्ध्वाधर वेग घटक समाप्त हो जाता है और केवल क्षैतिज घटक मौजूद होता है

माना कि v अधिकतम ऊंचाई H पर प्रक्षेप्य का वेग है

v = ucosθ

दी गई समस्या के अनुसार, v = u / 2

\(\therefore \frac{u}{2} = u\cos θ \to \cos θ = \frac{1}{2}\)

θ = 60° 

सही विकल्प 60 ° है।

अवधारणा:

क्षैतिज परास में प्रक्षेप्य का कोण, क्षैतिज दूरी में अधिकतम अंतराल होता है।

\({\rm{R}} = \frac{{{{\rm{u}}^2}\sin 2{\rm{\theta }}}}{{\rm{g}}}\)

प्रक्षेप्य द्वारा तय किए गए अधिकतम ऊर्ध्वाधर अंतराल की ऊँचाई।

\({\rm{h}} = \frac{{{{\rm{v}}^2}{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}{\rm{\theta }}}}{{2{\rm{g}}}}\)

गणना:

दो कणों को एक ही बिंदु से समान गति से, समान परास और भिन्न ऊँचाई में प्रक्षेपित किया जाता है।

माना दोनों कण p₁ और p₂ हैं।

तो, कण p1 के प्रक्षेप्य का कोण θ है और कण p2 का 90 - θ है

प्रक्षेप्य गति का परास निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

\({\rm{R}} = \frac{{{{\rm{u}}^2}\sin 2{\rm{\theta }}}}{{\rm{g}}}\)

∵ [sin 2θ = 2 sin θ cos θ]

\({\rm{R}} = \frac{{2{{\rm{u}}^2}{\rm{sin\theta cos\theta }}}}{{\rm{g}}}\)

प्रक्षेप्य गति की ऊँचाई निम्न सूत्र द्वारा दिया जाती है:

\({\rm{h}} = \frac{{{{\rm{v}}^2}{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}{\rm{\theta }}}}{{2{\rm{g}}}}\)

कण p1: (गति ‘u’)

अब, कण p₁ की प्रक्षेप्य गति का परास है:

\( \Rightarrow {{\rm{R}}_1} = \frac{{2{{\rm{u}}^2}{\rm{sin\theta cos\theta }}}}{{\rm{g}}}\)

अब, कण p1 की प्रक्षेप्य गति की ऊँचाई है:

\( \Rightarrow {{\rm{h}}_1} = \frac{{{{\rm{u}}^2}{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}{\rm{\theta }}}}{{2{\rm{g}}}}\)

\( \Rightarrow 2{{\rm{h}}_1} = \frac{{{{\rm{u}}^2}{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}{\rm{\theta }}}}{{\rm{g}}}\) (1)

कण p2: (गति ‘u’)

अब, कण p2 की प्रक्षेप्य गति का परास है:

\( \Rightarrow {{\rm{R}}_2} = \frac{{2{{\rm{u}}^2}{\rm{sin\theta cos\theta }}}}{{\rm{g}}}\)

अब, कण p2 की प्रक्षेप्य गति की ऊँचाई है:

\( \Rightarrow {{\rm{h}}_2} = \frac{{{{\rm{u}}^2}{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\left( {90 - {\rm{\theta }}} \right)}}{{2{\rm{g}}}}\)

\( \Rightarrow {{\rm{h}}_2} = \frac{{{{\rm{u}}^2}{{\cos }^2}{\rm{\theta }}}}{{2{\rm{g}}}}\)

\( \Rightarrow 2{{\rm{h}}_2} = \frac{{{{\rm{u}}^2}{{\cos }^2}{\rm{\theta }}}}{{\rm{g}}}\) ---- (2)

दोनों कणों का परास समान है।

अब, विकल्पों से, R2, h₁ और h₂ से संबंधित है।

इसलिए,

\( \Rightarrow {{\rm{R}}^2} = \frac{{4{{\rm{u}}^4}{{\sin }^2}{\rm{\theta }}{{\cos }^2}{\rm{\theta }}}}{{{{\rm{g}}^2}}}\)

\( \Rightarrow {{\rm{R}}^2} = 4\left( {\frac{{{{\rm{u}}^2}{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}{\rm{\theta }}}}{{\rm{g}}}} \right) \times \left( {\frac{{{{\rm{u}}^2}{{\cos }^2}{\rm{\theta }}}}{{\rm{g}}}} \right)\)

उपर्युक्त समीकरण में समीकरण (1) और (2) प्रतिस्थापित करने पर,

⇒ R2 = 4(2h1)(2h2)

अवधारणा:

• प्रक्षेप्य गति

​

• प्रक्षेप्य गति केवल गुरुत्वीय त्वरण के अधीन हवा में प्रक्षेपित निकाय की गति है। निकाय को प्रक्षेप्य कहा जाता है और इसके मार्ग को उसका प्रक्षेप पथ कहा जाता है।

  • प्रारंभिक वेग: प्रारंभिक वेग x घटकों और y घटकों के रूप में दिया जा सकता है।

ux = u cosθ

uy = u sinθ

जहां u प्रारंभिक वेग परिमाण है और θ प्रक्षेप्य कोण को संदर्भित करता है ।

व्याख्या:

• अधिकतम ऊंचाई तक पहुंचने के लिए लिया गया समय: यह उड़ान के कुल समय का आधा है।

\(\Rightarrow {{\rm{T}}_{1/2}} = \frac{{{\rm{v\;sin\theta }}}}{{\rm{g}}}\)

जहां T_1/2 = प्रक्षेप्य द्वारा अधिकतम ऊंचाई तक पहुंचने में लगने वाला समय, g=गुरुत्वीय त्वरण और v = वेग

• उड़ान का समय: प्रक्षेप्य गति की उड़ान का समय, वह समय है जब निकाय को सतह तक पहुंचने के समय तक प्रक्षेपित किया जाता है।

\(\Rightarrow {\rm{T}} = \frac{{2{\rm{\;v\;sin\theta }}}}{{\rm{g}}}\)

जहां T प्रक्षेप्य द्वारा लिया गया कुल समय है, g गुरुत्वीय त्वरण है।

• परास: गति का परास स्थिति y = 0 द्वारा तय किया जाता है। 

\(\Rightarrow R = \frac{{{v^2}sin2\theta }}{g}\)

जहां R प्रक्षेप्य द्वारा तय की गई कुल दूरी है।

• अधिकतम ऊंचाई: यह प्रक्षेपण के बिंदु से अधिकतम ऊंचाई है, जहां तक एक प्रक्षेप्य पहुंच सकता है
• अधिकतम ऊंचाई की गणितीय अभिव्यक्ति है

\(\Rightarrow H = \frac{{{v^2}{{\sin }^2}\theta }}{{2g}}\)

धारणा:

• जब किसी वस्तु को कुछ प्रारंभिक वेग के साथ कोण θ पर फेंका जाता है तो यह जमीन से टकराने से पहले प्रक्षेप्य गति में जाती है।

प्रक्षेप्य गति में क्षैतिज सीमा को निम्न द्वारा दिया जाता है:

R = \( \frac{u^2 sin2θ}{g} \)

जहाँ u प्रारंभिक वेग है θ क्षैतिज के साथ प्रक्षेपण का कोण है और g गुरुत्वाकर्षण त्वरण है।

• α = 90° पर sin α का अधिकतम मान '1' है

व्याख्या:

• क्षैतिज सीमा R = \( \frac{u^2 sin2θ}{g} \) प्रक्षेपण की गति और कोण θ के अनुसार बदल जाएगी। 
• प्रश्न में यह दिया गया है कि गति सभी के लिए समान है। तो सीमा θ के अनुसार बदल जाएगी।

सीमा R = \( \frac{u^2 sin2θ}{g} \) को अधिकतम होने के लिए sin 2θ अधिकतम होना चाहिए।

sin 2θ = 1 ⇒ sin 2θ = sin 90° 

2θ = 90

θ = 45° 

तो 45° के कोण पर पत्थर क्षैतिज रूप से अधिकतम कवर करेगा।

• उत्तर विकल्प 2 यानी 45° है

• θ = 45° के लिए क्षैतिज सीमा हमेशा अधिकतम होती है।
• सीमा का अधिकतम मूल्य होगा R_max = \( \frac{u^2}{g} \)

सही उत्तर त्वरण स्थिर है, है।

अवधारणा:

• किसी निकाय के वेग के परिवर्तन की दर को उस निकाय का त्वरण कहा जाता है।
• यह एक सदिश मात्रा है जिसमें दिशा के साथ-साथ परिमाण दोनों होते हैं। 

\(acceleration\left( a \right) = \frac{{Change\;in\;velocity}}{{time\;taken}} = \frac{{{v_2} - {v_1}}}{{{t_2} - {t_1}}}or\frac{{dv}}{{dt}}\)

• किसी बिंदु पर विस्थापन-समय आलेख की ढलान (m) उस बिंदु पर तात्कालिक वेग प्रदान करेगी।
• एक बिंदु पर किसी भी आलेख के ढलान को निम्न द्वारा ज्ञात किया जाता है: ढलान (m) = tanθ
• जहाँ θ, x - अक्ष के साथ बिंदु द्वारा बनाया गया कोण है।

वर्णन:

• दिया गया आलेख त्वरण बनाम समय आलेख को दर्शाता है।
• हमारे मामले में दिए गए आलेख की ढलान शून्य है क्योंकि हमारे मामले में कोण (θ) शून्य है
• अर्थात, \(\tan \theta = \frac{{da}}{{dt}} \Rightarrow \frac{{da}}{{dt}} = 0\)
• इससे हम देख सकते हैं कि त्वरण के परिवर्तन की दर शून्य है इसलिए गति के माध्यम से त्वरण स्थिर रहना चाहिए।
• अतः विकल्प 2 सही है।

अवधारणा:

प्रक्षेप्य गति

• यदि किसी वस्तु को किसी भी दिशा में प्रारंभिक वेग दिया जाता है और फिर गुरुत्वाकर्षण के तहत स्वतंत्र रूप से यात्रा करने की अनुमति दी जाती है, तो वस्तु को प्रक्षेप्य कहा जाता है और प्रक्षेप्य की गति को प्रक्षेप्य गति कहा जाता है।
• उड़ान के दौरान प्रक्षेप्य पर गुरुत्वाकर्षण कार्यों के अलावा कोई बल नहीं है।
   

व्याख्या:

• जब किसी वस्तु को पृथ्वी की सतह से एक कोण पर प्रक्षेपित किया जाता है, तो वेग के दो घटक होंगे।
• वेग का एक घटक क्षैतिज दिशा में कार्य करेगा और दूसरा ऊर्ध्वाधर दिशा में कार्य करेगा।
• उड़ान के दौरान प्रक्षेप्य पर गुरुत्वाकर्षण कार्यों के अलावा कोई बल नहीं है। तो केवल एक त्वरण, नीचे की दिशा में गुरुत्वाकर्षण के कारण वस्तु पर कार्य करेगा।
• चूंकि क्षैतिज दिशा में कोई त्वरण नहीं है, इसलिए पूरी उड़ान के दौरान क्षैतिज वेग स्थिर रहेगा।
• उच्चतम बिंदु पर, वस्तु का ऊर्ध्वाधर वेग शून्य होगा और कण का पूरा वेग क्षैतिज दिशा के साथ होगा।
• उड़ान के दौरान कण पर त्वरण गुरुत्वाकर्षण के कारण होगा, इसलिए त्वरण की दिशा उच्चतम बिंदु पर लंबवत होगी।
• तो उच्चतम बिंदु पर, वेग की दिशा क्षैतिज होती है और त्वरण की दिशा लंबवत होती है, इसलिए प्रक्षेप्य पथ के उच्चतम बिंदु पर वेग और त्वरण की दिशा के बीच का कोण 90° होता है। इसलिए, विकल्प 3 सही है।

अवधारणा:

प्रक्षेप्य गति:

प्रक्षेप्य गति केवल गुरुत्वीय त्वरण के अधीन हवा में प्रक्षेपित निकाय की गति है। निकाय को प्रक्षेप्य कहा जाता है और इसके मार्ग को उसका प्रक्षेप पथ कहा जाता है।

प्रारंभिक वेग: प्रारंभिक वेग x घटकों और y घटकों के रूप में दिया जा सकता है।

ux = u cosθ

uy = u sinθ

जहां u प्रारंभिक वेग परिमाण है और θ प्रक्षेप्य कोण को संदर्भित करता है।

व्याख्या:

अधिकतम ऊंचाई: यह प्रक्षेपण के बिंदु से अधिकतम ऊंचाई है, जहां तक एक प्रक्षेप्य पहुंच सकता है

अधिकतम ऊंचाई की गणितीय अभिव्यक्ति है

\(⇒ H = \frac{{{v^2}{{\sin }^2}\theta }}{{2g}}\)      ------- (1)

उड़ान का समय: प्रक्षेप्य गति की उड़ान का समय, वह समय है जब निकाय को सतह तक पहुंचने के समय तक प्रक्षेपित किया जाता है।

\(⇒ {{T}} = \frac{{2{{v\;sin\theta }}}}{{{g}}}\)  

दोनों तरफ वर्ग करने पर,

\(⇒ {{T^2}} = \frac{{4{{\;v^2\;sin^2\theta }}}}{{{g^2}}}\)     ------ (2)

समीकरण 1 और 2 विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है-

\(⇒ \frac{H}{T^2} = \frac{\frac{{{v^2}{{\sin }^2}\theta }}{{2g}}}{\frac{{{4v^2}{{\sin }^2}\theta }}{{g^2}}}=\frac{g}{8}\)

\(\Rightarrow H =\frac{gT^2}{8}\)

Important Points ​

अधिकतम ऊंचाई तक पहुंचने के लिए लिया गया समय: यह उड़ान के कुल समय का आधा है।

\(⇒ {{\rm{T}}_{1/2}} = \frac{{{\rm{v\;sin\theta }}}}{{\rm{g}}}\)

परास: गति का परास स्थिति y = 0 द्वारा तय किया जाता है। 

\(⇒ R = \frac{{{v^2}sin2\theta }}{g}\)

जहाँ R प्रक्षेप्य द्वारा तय की गई कुल दूरी है।

अवधारणा:

प्रक्षेप्य गति: जब कोई कण पृथ्वी की सतह के पास से तिर्यक रूप से प्रक्षेपित होता है, तो यह क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर दिशाओं में एक साथ चलता है। इस प्रकार की गति को प्रक्षेप्य गति कहते हैं।

\(Total\;time\;of\;flight = \frac{{2\;u\;sinθ }}{g}\)

\(Range\;of\;projectile = \frac{{{u^2}\sin 2θ }}{g}\)

\(Maximum\;Height = \frac{{{u^2}{{\sin }^2}θ }}{{2g}}\)

जहाँ, u = प्रक्षेपित गति, θ = वह कोण जिस पर किसी वस्तु को जमीन से फेंका जाता है, g = गुरुत्वीय त्वरण = 9.8 m/s2, 

व्याख्या:

माना कि उस समय प्रक्षेप्य की गति v है जब यह क्षैतिज के साथ α कोण बनाता है।

हम जानते हैं कि क्षैतिज दिशा में त्वरण की अनुपस्थिति के कारण प्रक्षेप्य की क्षैतिज गति स्थिर रहती है।

∴ v cos α = u cos θ 

⇒ v = u cos θ sec α