Problems on cards MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Problems on cards - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना

दिया गया है:

कुल पत्ते = 52

गिरे हुए पत्ते = 3

3 पत्तों के गिरने के कुल संभावित तरीके: \(^{52}C_ {3} = \frac{52!}{3! \times 49!} = \frac{52 \times 51 \times 50}{3 \times 2 \times 1} = 22100\)

अनुकूल तरीके: सभी 3 पत्ते अलग-अलग प्रकार के हैं।

4 में से 3 सूट चुनने के तरीके: \(^{4} C_{3} = \frac{4!}{3! \times 1!} = 4\)

प्रत्येक प्रकार के लिए, 13 विकल्प हैं।

कुल अनुकूल तरीके: \(4 \times 13 \times 13 \times 13 = 4 \times 13^3 = 8788\)

⇒ प्रायिकता = \(\frac{8788}{22100} = \frac{169}{425}\)

∴ गिरे हुए पत्तों के अलग-अलग प्रकार के होने की प्रायिकता \(\frac{169}{425}\) है।

इसलिए, विकल्प 2 सही है। 

प्रयुक्त सूत्र :

प्रायिकता = अनुकूल परिणामों की संख्या/परिणामों की कुल संख्या

गणना :

प्रश्नानुसार,

प्रायिकता = 4/52 = 1/13

∴ सही उत्तर 1/13 है।

अवधारणा -

Var(X) = E(X2) - [E(X)]2 

स्पष्टीकरण -

माना कि X निकले गए दो पत्तों में बादशाह की संख्या को दर्शाता है

⇒ P ( X = 0 )= P ( बादशाह नहीं ) = \(\frac{48_{C_2}}{52_{C_2}}= \frac{48 \times 47}{52 \times 51} = \frac{188}{221}\)

⇒ P ( X = 1 )= P ( एक बादशाह और एक अन्य ) = \(\frac{4_{C_1} \times 48_{C_1}}{52_{C_2}}= \frac{4 \times 48}{52 \times 51} = \frac{32}{221}\)

⇒ P ( X = 2 )= P ( दो बादशाह ) = \(\frac{4_{C_2}}{52_{C_2}}= \frac{4 \times 3}{52 \times 51} = \frac{1}{221}\)

प्रायिकता बंटन -

⇒ X का माध्य = \(\sum_{i=1}^n Xip(Xi) = 0 \times \frac{188}{221} + 1 \times \frac{32}{221} +2 \times \frac{1}{221} = \frac{34}{221}\)

⇒ E(X²) = \(\sum_{i=1}^n (Xi)^2p(Xi) = 0^2 \times \frac{188}{221} + 1^2 \times \frac{32}{221} +2^2 \times \frac{1}{221} = \frac{36}{221}\)

⇒  Var(X) = E(X²) - [E(X)]² = \(\frac{36}{221}- (\frac{34}{221})^2=\frac{6800}{221^2}\)

अत:, विकल्प (4) सही है।

संकल्पना:

घटना के घटित होने की प्रायिकता:

P(E) =  \(\frac{n(E)}{n(S)}\)

जहाँ,

n(E) = अनुकूल परिणाम की संख्या

n(S) = संभव परिणाम की संख्या

गणना:

ताश की गड्डी से पत्ता निकालते समय परिणामों की कुल संख्या 52 है।

पत्ते के राजा आने के अनुकूल परिणामों की संख्या 4 है।

इसलिए, एक राजा आने की प्रायिकता (P(राजा))

राजाओं की संख्या / कार्डों की कुल संख्या = 4/52 = 1/13

रानी आने की प्रायिकता (P(रानी)) = 4/52 = 1/13

इसलिए,

P(राजा या रानी) = P(राजा) + P(रानी) = 1/13 + 1/13 = 2/13

∴ P(राजा या रानी) = 1/13 + 1/13 = 2/13.

प्रयुक्त सूत्र :

प्रायिकता = अनुकूल परिणामों की संख्या/परिणामों की कुल संख्या

गणना :

प्रश्नानुसार,

प्रायिकता = 4/52 = 1/13

∴ सही उत्तर 1/13 है।

संकल्पना:

• या तो केवल घटना A या केवल घटना B: m + n 
• घटना A और घटना B दोनों एकसाथ: m × n.

गणना:

कुल 52 कार्डो में से 26 कार्ड हैं जिसमें 2 बादशाह भी शामिल है। 

इसलिए लाल कार्ड प्राप्त करने की प्रायिकता (P₁) = \(26\over 52\)

अब 4 बादशाह से चूँकि 2 बादशाह की गणना पहले ही की जा चूँकि है, इसलिए 2 बादशाह शेष हैं। 

इसलिए उनमें से किसी एक को प्राप्त करने की प्रायिकता (P₂) = \(2\over 52\)

∴ कार्ड के लाल रंग या बादशाह होने की प्रायिकता  (P) = P₁ + P₂

P = \(26+2\over 52\)

P = \({28\over 52} = \boldsymbol{7\over 13}\)

अवधारणा:

कुल संभव परिणाम N में से एक परिणाम A आने की प्रायिकता को \(\rm P(A)=\dfrac{n(A)}{N}\)द्वारा ज्ञात किया गया है, जहाँ n(A) उन तरीकों की संख्या है जिसमें घटना A घटित हो सकती है।

गणना:

52 पत्तों के एक पैकेट में 4 राजा होते हैं।

एक राजा को प्राप्त करने के तरीकों की संख्या, यदि एक कार्ड खींचा जाता है, n(A) = 4C1 = 4 होगी।

एक कार्ड खींचने के तरीकों की कुल संख्या N = 52C1 = 52 है।

आवश्यक प्रायिकता = \(\rm \frac{n(A)}{N}=\frac{4}{52}=\frac{1}{13}\)

संकल्पना:

• n = p + q + r + ...वस्तुओं के संग्रह से 'p प्रकार की k वस्तुएँ' खींचने की प्रायिकता \(\rm P =\dfrac{^{p}C_{k}}{^{n}C_{k}}\) द्वारा दी जाती है।

• एक यौगिक घटना [(A और B) या (B और C)] की प्रायिकता की गणना निम्नप्रकार की जाती है:

  P[(A और B) या (B और C)] = [P(A) × P(B)] + [P(C) × P(D)]

  ('और' का अर्थ '×' है और 'या' का अर्थ '+' है)

गणना:

52 कार्ड के एक पैकेट में 26 लाल और 26 काले कार्ड हैं।

∴ एक ही रंग के 2 कार्ड खींचने की प्रायिकता को निम्न प्रकार से लिखा जा सकता है:

= P (दोनों कार्ड लाल हैं) या P (दोनों कार्ड काले हैं)

\(\rm =\dfrac{^{26}C_{2}}{^{52}C_{2}}+\dfrac{^{26}C_{2}}{^{52}C_{2}}\)

\(\rm =\dfrac{\dfrac{26\times25}{2}}{\dfrac{52\times51}{2}}\times2\)

\(\rm =\dfrac{26\times25}{52\times51}\times2=\dfrac{25}{51}\) 

संकल्पना:

• कुल संभव परिणाम N में से एक परिणाम A आने की प्रायिकता को \(\rm P(A)=\dfrac{n(A)}{N}\)द्वारा ज्ञात किया गया है, जहाँ n(A) उन तरीकों की संख्या है जिनमें घटना A घटित हो सकती है।
• दो घटनाओं A और B के लिए हमारे पास P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) है।

गणना:

मान लीजिए कि A, 10 को खींचने की घटना है और B एक हुकुम खींचने की घटना है।

10 को खींचने की प्रायिकता = P(A) = \(\rm \dfrac{4}{52}\)।

हुकुम खींचने की प्रायिकता = P(B) = \(\rm \dfrac{13}{52}\) ।

हुकुम का 10 खींचने की प्रायिकता = P(A ∩ B) = \(\rm \dfrac{1}{52}\) ।

∴ 10 या हुकुम खींचने की प्रायिकता = P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

= \(\rm \dfrac{4}{52}+\dfrac{13}{52}- \dfrac{1}{52}=\dfrac{16}{52}=\dfrac{4}{13}\)

दिया गया है:

ताश के पत्तों के पहले पैक में ताशों की संख्या = 52

ताश के पत्तों में जैक की संख्या = 4

ताश के दूसरे पैक में ताशों की संख्या = 52

ताश के पत्तों में किंग की संख्या = 4

प्रयुक्त सूत्र:

P = P(A) × P(B)

जहाँ, 

P(A) और P(B)  घटना A और घटना B होने की प्रायिकता है (दोनों स्वतंत्र हैं।)

P, घटना A और घटना B होने की अभीष्ट प्रायिकता है। 

गणना:

ताश के पत्तों के पहले पैक से एक जैक चुनने की प्रायिकता \(\frac{4}{52} = \frac{1}{13}\)

ताश के पत्तों के दूसरे पैक से एक किंग चुनने की प्रायिकता \(\frac{4}{52} = \frac{1}{13}\)

चूँकि दोनों घटनाएँ स्वतंत्र हैं,

इसलिए, अभीष्ट प्रायिकता = \(\frac{1}{13}\) × \( \frac{1}{13}\)

∴ ताश के पत्तों के पहले पैक से एक जैक और दूसरे से एक किंग प्राप्त करने की प्रायिकता \(\frac{1}{13 × 13}\) है। 

गणना:

52 कार्ड के एक डेक में राजा के चार कार्ड हैं।

⇒ P (पहला कार्ड राजा है) = 4/52 = 1/13

पहला कार्ड खींचने के बाद, 51 शेष कार्डों में से राजा के 3 कार्ड हैं।

तो, P (दूसरा कार्ड राजा है) = 3/51 = 1/17

इसलिए, विकल्प D सही है ।

गणना:

दिया गया है:

 ताश के 52 पत्तों के एक समूह में से चार पत्ते हैं।

चार इकाइयाँ हैं:- ईंट, हुकुम, पान, चिड़ी 

प्रत्येक इकाई के 13 पत्ते हैं। 

चूंकि वे अलग-अलग मामले हैं।

इसलिए, हम कई तरीके जोड़ते हैं।

तरीकों की अभीष्ट संख्या = ¹³C₄ + 13C4 + 13C4 + 13C4

⇒ 4 × 13C4

⇒ \(4 \times \frac{13!}{4!(13 - 4)}\)

⇒ \(4 \times \frac{13!}{4! \times 9!}\)

⇒ \(4 \times \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9!}{ 4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 9!}\)

⇒ \(4 \times \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10}{4 \times 3 \times 2 \times 1}\)

= 2860

∴ 2860 तरीके हैं।

व्याख्या:

5 अंकों की कुल संख्या जो पांच कार्डों का उपयोग करके बनाई जा सकती है

⇒ 5! = 120

4 की विभाज्यता:

एक संख्या 4 से विभाज्य होती है यदि उसका अंतिम दो अंक 4 से विभाज्य हो

अब, इन 5 अंकों से बनने वाली संख्याओं की संख्या जो 4 से विभाज्य है

स्थिति 1. जब अंतिम दो अंक 16 हो

बनने वाली संख्याओं की संख्या = 3! = 6

स्थिति 2. जब अंतिम दो अंक 36 हो

बनने वाली संख्याओं की संख्या = 3! = 6

स्थिति 3. जब अंतिम दो अंक 56 हो

बनने वाली संख्याओं की संख्या = 3! = 6

स्थिति 4. जब अंतिम दो अंक 96 हो

बनने वाली संख्याओं की संख्या = 3! = 6

तो, इन 5 अंकों से बनने वाली संख्या की कुल संख्या जो 4 से विभाज्य है 24 है

संकल्पना-

\(Probability = {No \ of \ favorable \ outcome \ \over Total \ no\ of \ outcome }\)

गणना​-

कुल 52 पत्ते हैं जिनमें से हुकुम के 13 पत्ते है।

परिणामों की कुल संख्या = 52

अनुकूल परिणाम की संख्या = 13

हुकुम के पत्ते निकालने की प्रायिकता = \({13} \over {52}\)

प्रायिकता = \( {1} \over {4}\)

∴ हुकुम के किसी एक पत्ते के निकालने की प्रायिकता \( {1} \over {4}\) है

अवधारणा:

किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता = \(\rm {(Number\ of\ ways\ it\ can\ happen)}\over {(Total\ number\ of \ outcomes)} \)

52 पत्तों के पैक में 4 खंड हैं जिनमें से प्रत्येक में 13 पत्ते हैं। खंड हैं: काला सूट (हुकुम और चिड़ी), लाल सूट (दिल और ईंट)

गणना:

प्रतिदर्श समष्टि = n(S) = 52 है

∴ परिणामों की कुल संख्या = 52

आवश्यक शर्त है = n(E) = 1 (चिड़ी की रानी वाले पत्तों की संख्या) + 1 (दिल के राजा वाले पत्तों की संख्या)

∴ संभावित तरीकों की संख्या = 1 + 1 = 2

तो, एक अभाज्य संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता P(E) = \(\rm n(E)\over n(S)\) = \(\rm {2\over 52} = {1\over 26}\)