Mean Free Path MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Mean Free Path - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

हमें विभिन्न आदर्श गैसों के लिए अन्य अणुओं के साथ एक अणु के टकराव की दर निर्धारित करने की आवश्यकता है, जो उनकी औसत गति और आणविक व्यास दिए गए हैं।

एक आदर्श गैस में एक अणु के लिए टकराव की दर (Z) सूत्र द्वारा दी गई है:

Z = nσv

जहाँ:

• n प्रति इकाई आयतन में अणुओं की संख्या है,
• σ टकराव का अनुप्रस्थ काट है, जो आणविक व्यास के वर्ग के समानुपाती है (σ ∝ d²),
• v अणुओं की औसत गति है।

यह देखते हुए कि प्रति इकाई आयतन में अणुओं की संख्या (n) सभी गैसों के लिए समान है, हम टकराव की दरों की तुलना करने के लिए टकराव के अनुप्रस्थ काट और औसत गति के उत्पाद पर ध्यान केंद्रित कर सकते हैं।

आइए प्रत्येक विकल्प का विश्लेषण करें:

विकल्प 1: v = v₀ और d = d₀

विकल्प 2: v = 2v₀ और d = d₀/2

विकल्प 3: v = v₀ और d = 2d₀

विकल्प 4: v = 4v₀ और d = d₀/2

प्रत्येक विकल्प के लिए, टकराव दर Z को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

विकल्प 1: Z₁ ∝ v₀ x (d₀)² = v₀d₀²

विकल्प 2: Z₂ ∝ 2v₀ x (d₀/2)² = 2v₀ x (d₀²/4) = (1/2)v₀d₀²

विकल्प 3: Z₃ ∝ v₀ x (2d₀)² = v₀ x 4d₀² = 4v₀d₀²

विकल्प 4: Z₄ ∝ 4v₀ x (d₀/2)² = 4v₀ x (d₀²/4) = v₀d₀²

मानों की तुलना करना:

Z₁ = v₀d₀²

Z₂ = (1/2)v₀d₀²

Z₃ = 4v₀d₀²

Z₄ = v₀d₀²

यह स्पष्ट है कि विकल्प 3 के लिए टकराव की दर सबसे अधिक है, जहाँ Z₃ = 4v₀d₀²।

अंतिम उत्तर: जिस दर से एक अणु अन्य अणुओं से टकराता है वह विकल्प 3 के लिए सबसे अधिक है।

अवधारणा:

माध्य मुक्त पथ (λ):

• माध्य मुक्त पथ (λ): लगातार दो संघट्‍टन के बीच एक गैस अणु द्वारा तय की गई दूरी एक मुक्त पथ के रूप में जानी जाती है ।
• \(\lambda = \frac{{Total\;distance\;travelled\;by\;a\;gas\;molecule\;between\;successive\;collisions\;\;}}{{Total\;number\;of\;collisions}}\)
• लगातार दो संघट्‍टन के दौरान, गैस का एक अणु नियत वेग के साथ एक सरल रेखा में गति करता है, और गैस अणु का माध्य मुक्त मार्ग निम्न द्वारा दिया जाता है
  \(\lambda = \frac{1}{{\sqrt 2 \pi n{d^2}}}\)

जहां n = प्रति इकाई आयतन अणुओं की संख्या और d = एक अणु का व्यास

व्याख्या:

• गैस अणु का माध्य  मुक्त मार्ग निम्न द्वारा दिया जाता है

\(\Rightarrow \lambda = \frac{1}{{\sqrt 2 \pi n{d^2}}}\)

⇒ λ ∝ d-2

अवधारणा:

• मुक्त पथ का माध्य ($\lambda$) दो क्रमिक टक्करों के बीच एक अणु द्वारा तय की गई औसत दूरी है।
• यह अणुओं के संख्या घनत्व (" id="MathJax-Element-31-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0"> n) और अणुओं के व्यास (dUnknown node type: span" id="MathJax-Element-32-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">Unknown node type: span<merror><mtext>Unknown node type: span</mtext></merror> <span style="font-family: var(--bs-body-font-family); font-size: var(--bs-body-font-size); font-weight: var(--bs-body-font-weight); text-align: var(--bs-body-text-align);">) पर निर्भर करता है।</span>
• मुक्त पथ का माध्य निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया गया है
• λ = \(\frac{1}{\sqrt{2} \pi \mathrm{d}^2 n}\)

​गणना:

इस प्रकार अवधारणा द्वारा।

n = प्रति इकाई आयतन में अणुओं की संख्या

d = अणु का व्यास

λ = \(\frac{1}{\sqrt{2} \pi \mathrm{d}^2 n}\)

∴ सही विकल्प 3 है।

संकल्पना:

औसत मुक्त पथ (λ):

दो क्रमागत टकरावों के बीच एक गैस अणु द्वारा तय की गयी दूरी को मुक्त पथ के रूप में जाना जाता है। 
\(\lambda = \frac{{Total\;distance\;travelled\;by\;a\;gas\;molecule\;between\;successive\;collisions\;\;}}{{Total\;number\;of\;collisions}}\)

दो क्रमागत टकरावों के दौरान गैस के अणु स्थिर वेग से एक सीधी रेखा में गतिमान होते हैं, और गैस अणु के औसत मुक्त पथ को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है
\(\lambda = \frac{1}{{\sqrt 2 \pi n{d^2}}}\) -- (1)

n प्रति इकाई आयतन अणुओं की संख्या है। 

\(n = \frac{\rho}{m} = \frac{P}{K_B T}\) --- (2)

यहाँ K_B बोल्ट्ज़मन स्थिरांक है, P दबाव है, T तापमान है। 

गणना:

अब यदि हम (2) को (1) में रखते हैं, तो हमें निम्न प्राप्त होता है

\(\lambda = \frac{1}{{\sqrt 2 \pi n{d^2}}}\)

\(\implies \lambda = \frac{1}{{\sqrt 2 \pi (\frac{P}{K_B T}){d^2}}}\)

\(\implies \lambda = \frac{K_B T}{{\sqrt 2 \pi (P){d^2}}}\)

K स्थिरांक है, T तापमान है जो समतापीय गैस के लिए स्थिरांक होता है। 

\( \lambda ∝ \frac{1}{P}\)

व्याख्या:

माध्य मुक्त पथ:

सामान्य दाब पर गैस में अणुओं की औसत गति कई सौ मीटर प्रति सेकंड होती है, फिर भी यदि आपके कमरे में से कोई व्यक्ति इत्र की बोतल खोलता है, तो आप कई मिनटों तक सुगंध का पता नहीं लगा पाते हैं।

• समय के विलम्ब का कारण यह है कि इत्र के अणु सीधे आपकी ओर नहीं जाते हैं, बल्कि हवा के अणुओं के साथ टकराव के कारण एक टेढ़े-मेढ़े रास्ते की यात्रा करते हैं।
  टक्करों के बीच एक अणु द्वारा तय की गई औसत दूरी को इसका माध्य मुक्त पथ कहा जाता है।

माध्य मुक्त पथ का व्यंजक निम्न द्वारा दिया गया है:

\(λ = \frac{vt}{(N/V) \pi d^{2} vt} = \frac{1}{(N/V) 4\pi r^2}\)

यहाँ, अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल πd2 है।

λ ∝ 1/d2 या d-2

∴ k = -2

अवधारणा:

• माध्य मुक्त पथ (λ): दो अनुक्रमिक टकरावों के बीच गैस के अणु द्वारा तय की गई दूरी मुक्त पथ के रुप में जानी जाती है।

\(\lambda = \frac{{Total\;distance\;travelled\;by\;a\;gas\;molecule\;between\;successive\;collisions\;\;}}{{Total\;number\;of\;collisions}}\)

• दो अनुक्रमिक टकराव के दौरान,गैस के कण निरंतर वेग के साथ सरल रेखा में चलते हैं और गैस के कणों का माध्य मुक्त पथ निम्न द्वारा दिया जाता है

\(\lambda = \frac{1}{{\sqrt 2 π n{d^2}}}\)

जहाँ n = प्रति इकाई आयतन कणों की संख्या और d = अणुओं का व्यास

• माध्य मुक्त पथ निम्न पर निर्भर करता है
  1. घनत्व
  2. 2. अणुओं की संख्या
  3. 3. तापमान और दबाव

व्याख्या:

• मान लीजिए कि d गैस के प्रत्येक अणु का व्यास है ।
• एक विशेष अणु दो अणुओं के केंद्रों के बीच की दूरी d के भीतर आने वाले किसी भी अणु के साथ टकराव का सामना करेगा।
• यदि \(\bar c\) अणुओं की औसत गति है।
• अणुओं द्वारा छोटे समय Δt में निर्धारित आयतन जिसमें अणु इससे टकराते हैं निम्न है

\(\Rightarrow V=\pi d^2̅ v\Delta t\)

अवधारणा :

• माध्य मुक्त पथ (λ): लगातार दो संघट्‍टन के बीच एक गैस अणु द्वारा तय की गई दूरी एक मुक्त पथ है ।

\(\lambda = \frac{{Total\;distance\;travelled\;by\;a\;gas\;molecule\;between\;successive\;collisions\;\;}}{{Total\;number\;of\;collisions}}\)

• लगातार दो संघट्‍टन के दौरान, गैस का एक अणु नियत वेग के साथ एक सरल रेखा में चलता है और एक गैस अणु का मुक्त पथ माध्य निम्न द्वारा दिया जाता है-

\(\lambda = \frac{1}{{\sqrt 2 π n{d^2}}}\)

जहां n = प्रति इकाई आयतन में अणुओं की संख्या और d = एक अणु का व्यास

व्याख्या:

• छोटे समय Δt में अणुओं द्वारा प्रवाहित आयतन, जिसमें अणु संघट्‍टन करते है-

\(\Rightarrow V=\pi d^2\bar v\Delta t\)

जहां d = दो अणुओं के केंद्र के बीच की दूरी है, v = अणुओं की औसत गति है

यदि n गैस के प्रति इकाई आयतन में अणुओं की संख्या है, तो समय Δt में अणु द्वारा अनुभव किया जाने वाला संघट्‍टन \(\pi d^2 v\Delta t\times n\) होगा ।

• प्रति सेकंड संघट्‍टन की संख्या है-

\(\Rightarrow Number\, of \,collisions/sec=\frac{n\pi d^2 v\Delta t}{\Delta t}=n\pi d^2 v\)

•  दो क्रमिक संघट्‍टन के बीच का औसत समय है-

\(\Rightarrow \tau=\frac{1}{n\pi d^2 v}\)

अवधारणा:

• माध्य मुक्त पथ (λ): लगातार दो संघट्‍टन के बीच एक गैस अणु द्वारा तय की गई दूरी एक मुक्त पथ के रूप में जानी जाती है ।

\(\Rightarrow \lambda = \frac{{Total\;distance\;travelled\;by\;a\;gas\;molecule\;between\;successive\;collisions\;\;}}{{Total\;number\;of\;collisions}}\)

• लगातार दो संघट्‍टन के दौरान, गैस का एक अणु नियत वेग के साथ एक सरल रेखा में गति करता है, और गैस अणु का माध्य मुक्त मार्ग निम्न द्वारा दिया जाता है

\(\Rightarrow \lambda = \frac{1}{{\sqrt 2 \pi n{d^2}}}\)

जहां n = प्रति इकाई आयतन अणुओं की संख्या और d = एक अणु का व्यास

व्याख्या:

• उपरोक्त से, यह स्पष्ट है कि गैस अणु का माध्य मुक्त मार्ग प्रति इकाई आयतन अणुओं की संख्या और अणु के व्यास के पर निर्भर करता है। इसलिए विकल्प 3 सही है।

अवधारणा:

माध्य मुक्त पथ (λ):

• माध्य मुक्त पथ (λ): लगातार दो संघट्‍टन के बीच एक गैस अणु द्वारा तय की गई दूरी एक मुक्त पथ के रूप में जानी जाती है ।
• \(\lambda = \frac{{Total\;distance\;travelled\;by\;a\;gas\;molecule\;between\;successive\;collisions\;\;}}{{Total\;number\;of\;collisions}}\)
• लगातार दो संघट्‍टन के दौरान, गैस का एक अणु नियत वेग के साथ एक सरल रेखा में गति करता है, और गैस अणु का माध्य मुक्त मार्ग निम्न द्वारा दिया जाता है
  \(\lambda = \frac{1}{{\sqrt 2 \pi n{d^2}}}\)

जहां n = प्रति इकाई आयतन अणुओं की संख्या और d = एक अणु का व्यास

व्याख्या:

• गैस अणु का माध्य  मुक्त मार्ग निम्न द्वारा दिया जाता है

\(\Rightarrow \lambda = \frac{1}{{\sqrt 2 \pi n{d^2}}}\)

⇒ λ ∝ d-2

अवधारणा:

• माध्य मुक्त पथ (λ): दो अनुक्रमिक टकरावों के बीच गैस के अणु द्वारा तय की गई दूरी मुक्त पथ के रुप में जानी जाती है।

\(\lambda = \frac{{Total\;distance\;travelled\;by\;a\;gas\;molecule\;between\;successive\;collisions\;\;}}{{Total\;number\;of\;collisions}}\)

• दो अनुक्रमिक टकराव के दौरान,गैस के कण निरंतर वेग के साथ सरल रेखा में चलते हैं और गैस के कणों का माध्य मुक्त पथ निम्न द्वारा दिया जाता है

\(\lambda = \frac{1}{{\sqrt 2 π n{d^2}}}\)

जहाँ n = प्रति इकाई आयतन कणों की संख्या और d = अणुओं का व्यास 

व्याख्या:

• अणुओं द्वारा छोटे समय Δt में निर्धारित आयतन जिसमें अणु इससे टकराते हैं निम्न है

\(\Rightarrow V=\pi d^2\bar v\Delta t\)

जहां d = दो अणुओं के केंद्र के बीच की दूरी, c = अणुओं की औसत गति

• यदि n गैस के प्रति इकाई आयतन में अणुओं की संख्या है तो समय Δt में अणु द्वारा भुगता हुआ टकराव है \(\pi d^2\bar v\Delta t\times n\)
• प्रति सेकंड टकराव की संख्या है

\(\Rightarrow Number\, of \,collisions/sec=\frac{n\pi d^2\bar v\Delta t}{\Delta t}=n\pi d^2\bar v\)

संकल्पना:

माध्य मुक्त पथ (λ): दो अनुक्रमिक टकरावों के बीच गैस के अणु द्वारा तय की गई दूरी मुक्त पथ के रुप में जानी जाती है।
\(\lambda = \frac{{Total\;distance\;travelled\;by\;a\;gas\;molecule\;between\;successive\;collisions\;\;}}{{Total\;number\;of\;collisions}}\)

दो अनुक्रमिक टकराव के दौरान,गैस के कण निरंतर वेग के साथ सरल रेखा में चलते हैं और गैस के कणों का माध्य मुक्त पथ निम्न द्वारा दिया जाता है
\(\lambda = \frac{1}{{\sqrt 2 \pi n{d^2}}}\)

जहाँ n = कणों की संख्या प्रति इकाई आयतन और d = अणुओं का व्यास 

स्पष्टीकरण:

उपरोक्त से यह स्पष्ट है कि दो अनुक्रमिक टकरावों के बीच की औसत दूरी को माध्य मुक्त पथ \(\lambda = \frac{1}{{ \pi n{d^2}}}\) कहा जाता है।

अवधारणा:

• माध्य मुक्त पथ (λ): दो क्रमिक संघट्टन के बीच एक गैस अणु द्वारा तय दूरी, एक मुक्त पथ है ।
• \(\lambda = \frac{{Total\;distance\;travelled\;by\;a\;gas\;molecule\;between\;successive\;collisions\;\;}}{{Total\;number\;of\;collisions}}\)

दो क्रमिक संघट्टन के दौरान, गैस का एक अणु नियत वेग के साथ एक सरल रेखा में चलता है, और गैस अणु का माध्य मुक्त पथ निम्न द्वारा दिया जाता है
\(\lambda = \frac{1}{{\sqrt (2 \pi n{a^2})}}\)

जहां n = प्रति इकाई आयतन अणुओं की संख्या और a = एक अणु का व्यास है।

माध्य मुक्त पथ पर निर्भर करता है-

1. घनत्व
2. अणुओं की संख्या
3. तापमान और दबाव

व्याख्या:

 \(\lambda = \frac{1}{{\sqrt (2 \pi n{a^2})}}\) मैक्सवेल द्वारा दिया गया माध्य मुक्त पथ है । इसलिए विकल्प 2 सही है।

दिए गए विकल्पों में, m अणुओं का द्रव्यमान है और T गैस का तापमान है।

अतिरिक्त बिन्दु:

• मान लीजिए कि d गैस के प्रत्येक अणु का व्यास है।
• एक विशेष अणु दो अणुओं के केंद्रों के बीच की दूरी d के भीतर आने वाले किसी भी अणु के साथ संघट्टन का सामना करेगा।
• यदि \(\bar c\) अणुओं की औसत गति है ।
• अणुओं द्वारा छोटे समय Δt में वाहित आयतन, जिसमें अणु आपस में संघट्टन करते हैं-

\(\Rightarrow V=\pi d^2̅ v\Delta t\)

अवधारणा:

गैस अणु का माध्य मुक्त पथ निम्न द्वारा दिया जाता है:

\(λ =\frac{1}{\sqrt{2}\pi d^2n'}\)

जहाँ d गैस के अणु का व्यास है और n' गैस के प्रति इकाई आयतन में अणुओं की संख्या है।

गणना:

दिया गया है:

आदर्श गैस समीकरण से

PV = nRT

जहाँ 'n' मोलों की संख्या है

\(PV=(nN_A)\left(\frac{R}{N_A}\right)T\)

यहाँ nN_A, n मोल में अणुओं की संख्या है।

\(P=\left(\frac{nN_A}{V}\right)\left(\frac{R}{N_A}\right)T\)

यहाँ, \(\left(\frac{nN_A}{V}\right)=n'\;\)गैस के प्रति इकाई आयतन में अणुओं की संख्या

 और \(\left(\frac{R}{N_A}\right)=k\;\)बोल्ट्जमान स्थिरांक।

\(\Rightarrow n'=\frac{P}{kT}\)

गैस अणु का माध्य मुक्त पथ निम्न द्वारा दिया जाता है:

\(λ =\frac{1}{\sqrt{2}\pi d^2n'}\)

∴ λ ∝ (1/n')

∴ प्रति इकाई आयतन में अणुओं की संख्या में वृद्धि के साथ, माध्य मुक्त पथ कम हो जाता है।

∴ λ ∝ (1/d²) (विकल्प 4 सत्य नहीं है)

∴ अणुओं के आकार में कमी के साथ, माध्य मुक्त पथ बढ़ता है। (विकल्प 3 सत्य है)

बदलने पर \(\Rightarrow n'=\frac{P}{kT}\), हमें प्राप्त होगा;

\(λ =\frac{1}{\sqrt{2}\pi d^2n'}\)

\(λ =\frac{kT}{\sqrt{2}\pi d^2P}\)

स्थिर तापमान T पर, P बढ़ने पर माध्य मुक्त पथ घट जाएगा। (विकल्प 1 सत्य नहीं है)

इसी तरह,

स्थिर दाब P पर, T बढ़ने पर माध्य मुक्त पथ बढ़ जाएगा। (विकल्प 4 सत्य नहीं है)

संकल्पना:

औसत मुक्त पथ (λ):

दो क्रमागत टकरावों के बीच एक गैस अणु द्वारा तय की गयी दूरी को मुक्त पथ के रूप में जाना जाता है। 
\(\lambda = \frac{{Total\;distance\;travelled\;by\;a\;gas\;molecule\;between\;successive\;collisions\;\;}}{{Total\;number\;of\;collisions}}\)

दो क्रमागत टकरावों के दौरान गैस के अणु स्थिर वेग से एक सीधी रेखा में गतिमान होते हैं, और गैस अणु के औसत मुक्त पथ को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है
\(\lambda = \frac{1}{{\sqrt 2 \pi n{d^2}}}\) -- (1)

n प्रति इकाई आयतन अणुओं की संख्या है। 

\(n = \frac{\rho}{m} = \frac{P}{K_B T}\) --- (2)

यहाँ K_B बोल्ट्ज़मन स्थिरांक है, P दबाव है, T तापमान है। 

गणना:

अब यदि हम (2) को (1) में रखते हैं, तो हमें निम्न प्राप्त होता है

\(\lambda = \frac{1}{{\sqrt 2 \pi n{d^2}}}\)

\(\implies \lambda = \frac{1}{{\sqrt 2 \pi (\frac{P}{K_B T}){d^2}}}\)

\(\implies \lambda = \frac{K_B T}{{\sqrt 2 \pi (P){d^2}}}\)

K स्थिरांक है, T तापमान है जो समतापीय गैस के लिए स्थिरांक होता है। 

\( \lambda ∝ \frac{1}{P}\)

व्याख्या:

माध्य मुक्त पथ- गैस के लिए माध्य मुक्त पथ को किसी वस्तु की औसत दूरी के रूप में परिभाषित किया जाता है जो टकराव के बीच में गति करेगी और यह तापमान के अनुक्रमानुपाती और दाब और अणु के व्यास के व्युत्क्रमानुपाती होती है। इसे निम्न के रूप में लिखा जाता है;

\(\lambda = \frac{kT}{{\sqrt 2 n\pi {d^2}}}\)

⇒ \(\lambda \propto \frac{1}{{\sqrt 2 n\pi {d^2}}}\)

जहां d व्यास है और n गैस का आणविक घनत्व है।

अत: विकल्प 4) सही उत्तर है।