Maximum or Minimum value MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Maximum or Minimum value - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

दिया गया है,

p के लिए व्यंजक है:

\( p = |\sin \alpha - \sin(\alpha - 90^\circ)| \)

\(\sin(\alpha - 90^\circ) \) के लिए सर्वसमिका का उपयोग करने पर,

\( \sin(\alpha - 90^\circ) = \cos \alpha \)

p के व्यंजक में इसे प्रतिस्थापित करने पर:

\( p = |\sin \alpha - \cos \alpha| \)

व्यंजक \(|\sin \alpha - \cos \alpha|\) अपना अधिकतम मान तब प्राप्त करता है जब \(\sin \alpha \) और \(\cos \alpha \) के बीच का अंतर सबसे बड़ा होता है।

हम \(\sin \alpha - \cos \alpha \) को इस प्रकार फिर से लिख सकते हैं:

\( \sin \alpha - \cos \alpha = \sqrt{2} \left( \sin \left( \alpha - 45^\circ \right) \right) \)

चूँकि \(\sin(\alpha - 45^\circ) \) का अधिकतम मान 1 है, \( \sqrt{2} \left( \sin(\alpha - 45^\circ) \right) \) का अधिकतम मान: \( \sqrt{2} \) है। 

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है। 

गणना:

दिया गया है,

हमें व्यंजक दिया गया है:

\( p = | \sin \alpha - \sin(\alpha - 90^\circ) | \)

ज्या अंतर के लिए सर्वसमिका का उपयोग करने पर:

\( \sin(\alpha - 90^\circ) = \cos \alpha \)

p के लिए इस सर्वसमिका को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:

\( p = | \sin \alpha - \cos \alpha | \)

\( | \sin \alpha - \cos \alpha | \) का न्यूनतम मान तब होता है जब \(\sin \alpha = \cos \alpha \) है, जो तब होता है जब \(\alpha = 45^\circ \) है। इस बिंदु पर:

\( \sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} \)

इसलिए, \(\alpha = 45^\circ \) पर, \(\sin \alpha \) और \(\cos \alpha \) के बीच का अंतर 0 है, इसलिए:

\( p = 0 \)

∴ p का न्यूनतम मान 0 है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प (a) 0 है।

\(\mathrm { y } = 3 \cos \theta + 5 \left( \sin \theta \dfrac { \sqrt { 3 } } { 2 } - \cos \theta \dfrac { 1 } { 2 } \right)\)

\(\dfrac { 5 \sqrt { 3 } } { 2 } \sin \theta + \dfrac { 1 } { 2 } \cos \theta\)

\(y _ { \max } = \sqrt { \dfrac { 75 } { 4 } + \dfrac { 1 } { 4 } } = \sqrt { 19 }\)

संकल्पना:

• 1 + 2 + 3 + ... + n = \(n(n+1) \over 2\)
• 12 + 22 + 32 + ...+ n² = \(n(n+1)(2n+1) \over 6\)
• f(x), x = a पर न्यूनतम है यदि f '(a) = 0 और f "(a) > 0

गणना:

दिया गया है, f(x) = \(\displaystyle\sum_{j=1}^7\)(x − j)2 

⇒ f(x) = (x − 1)2 + (x − 2)2 + (x − 3)2 + (x − 4)2 + (x − 5)2 + (x − 6)2 + (x − 7)2 

⇒ f(x) = (x² − 2x + 1²) + (x2 − 4x + 2²) + (x2 − 6x + 3²) + (x2 − 8x + 4²) + (x2 − 10x + 5²) + (x2 − 12x + 6²) +(x2 − 14x + 7²)

⇒ f(x) = 7x² - 2(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7)x + (1² + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72)

⇒ f(x) = 7x2 - 2(\(7(7+1) \over 2\))x + (\(7(7+1)(2(7)+1) \over 6\))

⇒ f(x) = 7x2 - 2(7(4))x + (\(7(8)(15) \over 6\))

⇒ f(x) = 7x2 - 56x + 140

⇒ f '(x) = 14x - 56 

⇒ f "(x) = 14

इसलिए x = 4 पर f '(x) = 0 और f "(4) > 0

⇒ f(x), x = 4 पर न्यूनतम है। 

∴ सही विकल्प (2) है।

संकल्पना:

• 1 + tan²x = sec²
• 1 + cot²x = cosec²x
• f(x), x = a पर न्यूनतम है, यदि f '(a) = 0 और f "(a) > 0
• श्रृंखला नियम: (f(g(x))' = f '(g(x)).g'(x)
• (f(x)g(x))' = f '(x).g(x) + f(x).g'(x)

गणना:

दिया गया है : f(x) = (p sec x)2 + (q cosec x)2 

⇒ f(x) = p² sec²x + q² cosec²x

⇒ f(x) = p2 + p2tan2x + q2 + q2cot2x

⇒ f '(x) = 0 + p2(2tan x sec²x) + q2(2cot x (-cosec²x)

⇒ f '(x) = 2p2tan x sec2x - 2q2cot x cosec2​x __(i)

 (i) को पुनः अवकलित करने पर,

⇒ f ''(x) = 2p2((tan x)' sec2x + tan x (sec²x)') - 2q2((cot x)' cosec2​x + cot x (cosec²x)')

⇒ f ''(x) = 2p2(sec4x + tan x ( 2sec x tan x sec x)) - 2q2(-cosec4​x + cot x (-2cosec x cosec x cot x))

⇒ f ''(x) = 2p2(sec4x + 2tan²x sec²x) + 2q2(cosec4​x + 2cot²x cosec²x )

⇒ f :"(x) > 0 प्रत्येक x के लिए {∵ प्रत्येक पद सम घात का है}
और (i) से,

f ' (x) = 0 जब 2p2tan x sec2x - 2q2cot x cosec2​x = 0

⇒ p2tan x sec2x = q2cot x cosec2​x

⇒ \({\tan x \sec^2 x \over \cot x\ \text {cosec}^2 x} = {q^2 \over p^2}\)

⇒ \({\tan^2 x \sin^2 x \over \text {cos}^2 x} = {q^2 \over p^2}\)

⇒ \({\tan^4 x } = {q^2 \over p^2}\)

⇒ tan2 x = \(\frac{q}{p}\)

इसलिए जब tan2 x = \(\frac{q}{p}\), f "(x) = 0 और f "(x) > 0

⇒ f(x) न्यूनतम होगा जब tan2 x = \(\frac{q}{p}\)

∴ सही विकल्प (1) है।

गणना:

दिया गया है: f(x) = 4 sin² x + 1

निम्न को ज्ञात करने के लिए: f(x) का अधिकतम मान 

हम जानते हैं कि, sin x की परास [-1, 1] है, अर्थात्

-1 ≤ sin x ≤ 1

समिकाओं का वर्ग करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒ 0 ≤ sin² x ≤ 1

⇒ 0 ≤ 4sin² x ≤ 4

⇒ 1 ≤ 4sin² x + 1 ≤ 5

⇒ 1 ≤ f(x) ≤ 5

अतः f(x) का अधिकतम मान 5 है। 

धारणा:

-1 ≤ sin θ ≤ 1

sin 2 θ = 2 sin θ cos θ

गणना

हमें 1 − 4 sin x cos x का न्यूनतम मूल्य ज्ञात करना है

माना कि f(x) = 1 − 4 sin x cos x

= 1 – 2 × (2 sin x cos x)

= 1 – 2 sin 2x                   (∵sin 2θ = 2 sin θ cos θ)

f(x) के न्यूनतम मूल्य के लिए sin 2x अधिकतम होना चाहिए

जैसा कि हम जानते हैं कि,

sin θ का अधिकतम मूल्य 1 है, इसलिए sin 2x का अधिकतम मूल्य 1 है

इसलिए f(x) का न्यूनतम मूल्य = 1 – 2 × 1 = -1

धारणा:

-1 ≤ sin θ ≤ 1

0 ≤ sin² θ ≤ 1

sin 2 θ = 2 sin θ cos θ

गणना

हमें 1 − 4 sin2 x cos2 x का अधिकतम मूल्य ज्ञात करना होगा

माना कि f(x) = 1 − 4 sin² x cos² x

= 1 – (2 sin x cos x)²

= 1 – sin² 2x                   (∵sin 2θ = 2 sin θ cos θ)

f(x) के अधिकतम मूल्य के लिए sin 2x न्यूनतम होना चाहिए

जैसा कि हम जानते हैं कि,

sin2 θ का न्यूनतम मान 0 है

इसलिए, f(x) का अधिकतम मूल्य = 1 - 0 = 1

संकल्पना:

यदि त्रिकोणमितीय अनुपात 'asin θ + bcos θ' के रूप में है।

तो अधिकतम मान = \(\rm \sqrt {a^2+b^2}\)

और न्यूनतम मान = - \(\rm \sqrt {a^2+b^2}\)

गणना:

15sin θ + 20cos θ

यहाँ a = 15 और b = 20

तो अधिकतम मान = \(\rm \sqrt {{15}^2+20^2}\)

= \(\sqrt{225+400}\)

= √(625)

= 25 

∴ 15sin θ + 20cos θ का अधिकतम मान 25 है। 

संकल्पना:

cos θ का न्यूनतम मान -1 होता है जब = 180° होता है। अतः, cos θ के मानों का परिसर – 1 ≤ cos θ ≤ 1 है।

गणना:

चूँकि cosθ का न्यूनतम मान -1 है।

तो, 4 cosθ + 3 का न्यूनतम मान = 4(-1) + 3

⇒ -4 + 3

⇒ -1

अत: 4 cosθ + 3 का न्यूनतम मान -1 है।

अवधारणा:

a² + b² + 2ab = (a + b)²

\(\rm sin^2 x + \cos^2 x =1\)

2 sin x cos x = sin 2x

sin² x, [0, 1] के बीच होता है ⇔ 0 ≤ sin² x ≤ 1

गणना:

ज्ञात करना है: sin⁴ x + cos⁴ x का अधिकतम मान

\(\text {Let f(x)}=\rm \sin^4 x + \cos^4 x\\= (sin^2 x)^2 + (\cos^2 x)^2\\= (sin^2 x)^2 + (\cos^2 x)^2+ 2sin^2 x \cos^2 x- 2sin^2 x \cos^2 x\)

\(\rm =(\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2sin^2 x \cos^2 x\)            (∵ a² + b² + 2ab = (a + b)²)

\(\rm =1 - \frac{1}{2}\times 4sin^2 x \cos^2 x\)                              \(\rm (∵ sin^2 x + \cos^2 x =1)\)

\(\rm =1 - \frac{1}{2}\times (2\sin x \cos x)^2\)

\(\rm =1 - \frac{1}{2}\times \sin^2 2x\)                                        (∵ 2 sin x cos x = sin 2x)

जैसा कि हम जानते हैं sin² x , [0, 1] के बीच होता है

तो 0 ≤ sin² 2x ≤ 1

हमें sin x का न्यूनतम मान लेने की आवश्यकता है क्योंकि साइन पद के सामने ऋण चिह्न है।

इसलिए हमें इसे शून्य के रूप में लेने की आवश्यकता है।

∴ f(x) का अधिकतम मान = 1 - 0 = 1

गणना:

माना कि f(θ) = 7cos2θ + 5sin2θ 

= 2cos2θ + 5cos2θ + 5sin2θ 

= 2cos2θ + 5(cos2θ + sin2θ)

= 2cos2θ + 5                        [∵ cos2θ + sin2θ = 1]

जैसा कि हम जानते हैं कि, 0 ≤ cos2θ ≤ 1

⇒  0 ≤ 2cos2θ ≤ 2

⇒  0 + 5 ≤ 2cos2θ + 5 ≤ 2 + 5

⇒ 5 ≤ 2cos2θ + 5 ≤ 7

⇒ 5 ≤ f(θ) ≤ 7

इस प्रकार,फलन का अधिकतम मान 7 है।

Alternate Method

संकल्पना:

यदि acos2θ + bsin2θ है, जहाँ, a > b

a अधिकतम मान होगा और b न्यूनतम मान होगा।

गणना:

7cos2θ + 5sin2θ 

संकल्पना के अनुसार 

acos2θ + bsin2θ  जहाँ, a > b

तुलना करने पर

⇒ a = 7, b = 5 जहाँ, 7 > 5

∴ 7cos2θ + 5sin2θ का अधिकतम मान 7 है।

संकल्पना:

sin x का अधिकतम मान 1 है। 

cos x का अधिकतम मान 1 है। 

sin 2x = 2 sin x cos x

गणना:

निम्न ज्ञात करने के लिए: sin x ⋅ cos x का अधिकतम मान 

माना कि f(x) = sin x ⋅ cos x है। 

\(\rm = \dfrac{1}{2} \times (2\sin x \times \cos x) \\ = \dfrac{1}{2} \sin 2x\)

चूँकि हम जानते हैं, sin x का अधिकतम मान 1 है। 

इसलिए, sin 2x का अधिकतम मान 1 है। 

अतः f(x) का अधिकतम मान \(\dfrac{1}{2} \times 1 = \dfrac{1}{2}\)  है।  

संकल्पना:

• sin3x = 3sinx - 4sin³x
• cos3x = 4cos³x - 3cosx

गणना:

f(x) = 3(sin x − cos x) + 4(cos3 x − sin3 x)

f(x) = 3sinx - 3cosx + 4cos³x - 4sin³x

f(x) = (3sinx - 4sin³x) + (4cos³x - 3cosx)

f(x) = sin3x + cos3x

f'(x) = 3cos3x - 3sin3x

अब, f'(x) = 0

⇒  3cos3x - 3sin3x = 0

⇒ cos3x - sin3x = 0

⇒ sin3x = cos3x

⇒ tan3x = 1

⇒ \(3x = \frac{\pi }{4}\)

अत: दिए गए फलन का अधिकतम मान है = \(sin\frac{\pi }{4}+cos\frac{\pi }{4}\)

= \(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)

 ∴ सही विकल्प (2) है 

अवधारणा:

sin x का मान [-1, 1] के बीच स्थित है

गणन:

माना कि f(x) = (5 + sin 2x)

जैसा कि हम जानते हैं sin x का मान [-1, 1] के बीच स्थित है

⇒ -1 ≤ sin 2x ≤ 1

उपरोक्त असमिका में 5 जोड़कर हम प्राप्त करते हैं

⇒ 5 -1 ≤ 5 + sin 2x ≤ 5 + 1

⇒ 4 ≤ 5 + sin 2x ≤ 6

इसलिए, 5 + sin 2x का अधिकतम मान 6 है और 5 + sin 2x का न्यूनतम मान 4 है।