Maximum Distortion Energy Theory MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Maximum Distortion Energy Theory - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

अधिकतम अपरुपण विकृति ऊर्जा (विरुपण ऊर्जा सिद्धांत) वोन-मिसेस –हैन्की सिद्धांत

यह बताता है कि निकाय में किसी भी बिंदु पर अतन्यक क्रिया, प्रतिबल बेगिंग के किसी भी संयोजन के तहत, जब बिंदु पर अवशोषित प्रति इकाई मात्रा में विरूपण की तनन ऊर्जा एक सरल तनन / संपीड़न परीक्षण में एकअक्षीय प्रतिबल की स्थिति के अंतर्गत एक बार जिसे प्रत्यास्थ सीमा तक प्रतिबलित किया गया है उसके किसी भी बिंदु पर प्रति इकाई मात्रा में अवशोषित विरूपण की विकृति ऊर्जा के बराबर होती है।

$\frac{1}{2}\left[{\left({\sigma }_1-{\sigma }_2\right)}^2+{\left({\sigma }_2-{\sigma }_3\right)}^2+{\left({\sigma }_3-{\sigma }_1\right)}^2\right]\le {\sigma }_{\mathrm{y}}^2$ शून्य विफलता के लिए$\frac{1}{2}\left[{\left({\sigma }_1-{\sigma }_2\right)}^2+{\left({\sigma }_2-{\sigma }_3\right)}^2+{\left({\sigma }_3-{\sigma }_1\right)}^2\right]\le {\left(\frac{{\sigma }_{\mathrm{y}}}{\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{S}}\right)}^2$ डिजाइन के लिए

• यह नमनीय सामग्री के लिए सबसे उपयुक्त सिद्धांत है।
  इसे जलस्थैतिक दबाव में सामग्री पर लागू नहीं किया जा सकता है।

​Additional Information

अधिकतम अपरुपण प्रतिबल सिद्धांंत (गेस्ट और ट्रेस्का का सिद्धांत)

इस सिद्धांत के अनुसार,भार के किसी भी संयोजन को नमूने की विफलता के अधीन जब किसी भी बिंदु पर अधिकतम अपरुपण प्रतिबल के विफलता का मान पर पहुँचता है तो वह समान सामग्री के एक अक्षीय तनन या संपीड़क परीक्षण में विकसित पराभव के बराबर होता है।

चित्रात्मक निरुपण

${\tau }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\le \frac{{\sigma }_{\mathrm{y}}}{2}$ शून्य विफलता के लिए

${\sigma }_1-{\sigma }_2\le \left(\frac{{\sigma }_{\mathrm{y}}}{\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{S}}\right)$ डिजाइन के लिए

σ1 और σ2 क्रमशः अधिकतम और न्यूनतम मुख्य प्रतिबल हैं.

यहाँ, τmax = अधिकतम अपरूपण प्रतिबल 

σy = अनुमत प्रतिबल

यह सिद्धांत मृदु सामग्रियों के लिए अच्छी तरह से उचित है लेकिन सुरक्षित परिणाम देता है और इसलिए इसे अनौपचारिक सिद्धांत कहा जाता है।

अधिकतम लम्बवत प्रतिबल सिद्धांत (रैंकिन का सिद्धांत)

इस सिद्धांत के अनुसार, स्थायी सेट जटिल तनाव की स्थिति में होता है, जब अधिकतम प्रमुख प्रतिबल का मान उपज बिंदु प्रतिबल के बराबर होता है जैसा कि एक साधारण तन्यता परीक्षण में पाया जाता है।

डिजाइन की मापदंड के लिए, अधिकतम प्रमुख प्रतिबल (σ1) सामग्री के लिए कार्यरत प्रतिबल ‘σy’ से अधिक नहीं होना चाहिए।

${\sigma }_{1,2}\le {\sigma }_{\mathrm{y}}$ शून्य विफलता के लिए

${\sigma }_{1,2}\le \frac{\sigma }{\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{S}}$ डिजाइन के लिए

नोट: किसी अपरूपण विफलता τ ≤ 0.57 σy के लिए 

चित्रात्मक निरुपण:

भंगुर सामग्री के लिए,जो सुनम्यता द्वारा विफल नहीं होती लेकिन भंगुर विभंग द्वारा विफल होता है,यह सिद्धांत संतोषजनक परिणाम देता है।

इसका ग्राफ हमेशा σ1 और σ2 के विभिन्न मान के लिए भी वर्गाकार होता है।

अधिकतम प्रमुख विकृति सिद्धांत (सेंट वीनेंट का सिद्धांत)

इस सिद्धांत के अनुसार, एक नमनीय पदार्थ तब पराभव होना शुरू होता है जब अधिकतम प्रमुख विकृति का मान उस विकृत मान तक पहुँचता है जिसपर पराभव साधारण तनाव में घटित होता है।

${ϵ}_{1,2}\le \frac{{\sigma }_{\mathrm{y}}}{{\mathrm{E}}_1}$ एकाक्षीय भारण में शून्य विफलता के लिए

$\frac{{\sigma }_1}{\mathrm{E}}-\mu \frac{{\sigma }_2}{\mathrm{E}}-\mu \frac{{\sigma }_3}{\mathrm{E}}\le \frac{{\sigma }_{\mathrm{y}}}{\mathrm{E}}$ त्रिअक्षीय भारण में शून्य विफलता के लिए

${\sigma }_1-\mu {\sigma }_2-\mu {\sigma }_3\le \left(\frac{{\sigma }_{\mathrm{y}}}{\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{S}}\right)$डिज़ाइन के लिए यहाँ ϵ = प्रमुख विकृति

σ1, σ2 और σ3 = प्रमुख प्रतिबल

चित्रात्मक प्रतिनिधित्व:

यह सिद्धांत नमनीय पदार्थ की प्रत्यास्थ सीमा का अतिप्राक्कलन करता है।

अधिकतम विकृति ऊर्जा सिद्धांत (हैग का सिद्धांत)

इस सिद्धांत के अनुसार, एक निकाय का जटिल प्रतिबल तब विफल हो जाता है जब साधारण तनाव में प्रत्यास्थ सीमा पर कुल विकृति ऊर्जा होती है।

चित्रात्मक प्रतिनिधित्व:​​

$\left\{{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2+{\sigma }_3^2-2\mu \left({\sigma }_1{\sigma }_2+{\sigma }_2{\sigma }_3+{\sigma }_3{\sigma }_1\right)\right\}\le {\sigma }_{\mathrm{y}}^2$ शून्य विफलता के लिए 

$\left\{{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2+{\sigma }_3^2-2\mu \left({\sigma }_1{\sigma }_2+{\sigma }_2{\sigma }_3+{\sigma }_3{\sigma }_1\right)\right\}\le {\left(\frac{{\sigma }_{\mathrm{y}}}{\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{S}}\right)}^2$ डिज़ाइन के लिए

यह सिद्धांत भंगुर पदार्थ के लिए लागू नहीं होता है जिसके लिए तनाव और संपीड़न में प्रत्यास्थ सीमा पूर्णतया अलग होती है।

Important Points  

• भंगुर पदार्थ के लिए:- अधिकतम प्रमुख प्रतिबल सिद्धांत (रैंकिन मानदंड) का प्रयोग किया जाता है। 
• अधिकतम अपरूपण प्रतिबल सिद्धांत (ट्रेसका सिद्धांत), कुल विकृति ऊर्जा सिद्धांत, अधिकतम विरूपण ऊर्जा सिद्धांत (वॉन मिसेस) नमनीय पदार्थ के लिए उपयोगी है। 
• ट्रेसका सिद्धांत प्रतिबलों की द्रवस्थैतिक अवस्था में विफल हो जाते हैं। 
• यदि लोडिंग एकअक्षीय है तो सभी सिद्धांत समान परिणाम देंगे।

व्याख्या

विरुपण ऊर्जा सिद्धांत या वान मिसेस -हैन्की सिद्धांत:

यह देखा गया है कि द्रव -स्थैतिक बाह्य दाब (जैसे तीन समान सामान्य प्रतिबलों के अधीन आयतन घटक) के अंतर्गत एक ठोस बहुत अधिक प्रतिबलों का सामना कर सकता है। लेकिन जब संग्रहीत करने के लिए विरूपण या अपरुपण ऊर्जा भी होती है, जैसा कि तन्यता परीक्षण में होता है, तो लागू किए जाने वाले प्रतिबल सीमित होते हैं।

चूंकि, यह मान्यता दी गई थी कि इंजीनियरिंग सामग्री बिना नुकसान के बहुत अधिक मात्रा में द्रव -स्थैतिक दाब का सामना कर सकती है, यह माना गया था कि किसी दी गई सामग्री में विरूपण की ऊर्जा को अवशोषित करने की एक निश्चित सीमित क्षमता होती है और सामग्री को अधिक मात्रा में विरूपण ऊर्जा के अधीन करने का कोई भी प्रयास होता है तो परिणामस्वरुप पराभवी विफलता प्राप्त होती है।

यह सिद्धांत कहता है कि ब्लॉक में कहीं भी कोई अपरुपण प्रतिबल और अपरुपण विकृति मौजूद नहीं होगी, लेकिन केवल आयतन में परिवर्तन होता है।

समीकरण और चित्रात्मिक निरुपण:

शून्य विफलता के लिए

इसे द्रव -स्थैतिक दाब के अंतर्गत सामग्री पर लागू नहीं किया जा सकता।

व्याख्या:

प्रति इकाई आयतन में विकृति या विकृति ऊर्जा की विकृति ऊर्जा निम्न द्वारा दी गई है:

प्रति इकाई आयतन विरूपण ऊर्जा = (कुल विकृति ऊर्जा) - (आयतन प्रसार की ऊर्जा)

कुल विकृति ऊर्जा निम्न द्वारा दिया जाता है:

$\mathrm{U}=\frac{1}{2\mathrm{E}}\left\{{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2+{\sigma }_3^2-2\mu \left({\sigma }_1{\sigma }_2+{\sigma }_2{\sigma }_3+{\sigma }_3{\sigma }_1\right)\right\}$

आयतन प्रसार ऊर्जा:

$U_v=\frac{(1-2\mu )}{6E}\times \frac{({\sigma }_1+{\sigma }_2+{\sigma }_3{)}^2}{3}$

विरूपण ऊर्जा प्रति इकाई आयतन = (कुल विकृति ऊर्जा) - (आयतन प्रसार की ऊर्जा)

Ud = $\frac{1+\mu }{6E}[({\sigma }_1-{\sigma }_2{)}^2+({\sigma }_2-{\sigma }_3{)}^2+({\sigma }_3-{\sigma }_1{)}^2]$..... eq (i)

सरल तनन परीक्षण में:

U_d = $\left(\frac{1+\mu }{6E}\right)2{\sigma }_{ym}^2$ .... eq (ii)

अधिकतम विरूपण ऊर्जा सिद्धांत (वॉन मिस्स सिद्धांत)

• इस सिद्धांत के अनुसार, एक सदस्य में एक बिंदु पर विफलता याप राभव तब होता है जब प्रति इकाई आयतन में विरूपण विकृति ऊर्जा एक साधारण तनन परीक्षण से निर्धारित प्रति इकाई आयतन में सीमित विरूपण ऊर्जा (यानी पराभव बिंदु पर विरूपण ऊर्जा) तक पहुंच जाती है।
• त्रिअक्षीय स्थिति के तहत वॉन मिस प्रतिबल निम्न द्वारा दिया जाता है:

${\sigma }_{vm}=\sqrt{\frac{1}{2}\left\{{\left({\sigma }_1-{\sigma }_2\right)}^2+{\left({\sigma }_2-{\sigma }_3\right)}^2+{\left({\sigma }_3-{\sigma }_1\right)}^2\right\}}$

अब अगर हम वॉन मिसेज प्रतिबल और विरूपण ऊर्जा की प्रति इकाई आयतन समीकरण से तुलना करें तो,

Ud =$\frac{1+\mu }{3E}\times {\sigma }_{vm}^2$

U_d ∝ σ²_vm

σ_vm ∝  $\sqrt{U_d}$

बलों के अधीन एक पिंड में एक बिंदु पर वॉन मिज़ प्रतिबल प्रति इकाई आयतन में विरूपण तनाव ऊर्जा के वर्गमूल के समानुपाती होता है।

संकल्पना:

वॉन मिसेस प्रतिबल को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

${({\sigma }_1-{\sigma }_2)}^2+{({\sigma }_2-{\sigma }_3)}^2+{({\sigma }_1-{\sigma }_3)}^2\le 2\cdot {\left({\sigma }_{per}\right)}^2$

σ_per = वॉन मिसेस प्रतिबल

गणना:

σ₁ = 300 N/mm²

σ₂ = 300 N/mm², σ₃ = 0

तो,

$2{\sigma }_{per}^2={(300-300)}^2+{(300-0)}^2+{(300-0)}^2$

$2{\sigma }_{per}^2=2\times {300}^2$

संकल्पना:

विरूपण ऊर्जा सिद्धांत के अनुसार:

$({\sigma }_1-{\sigma }_2{)}^2+({\sigma }_2-{\sigma }_3{)}^2+({\sigma }_3-{\sigma }_1{)}^2=2{\left(\frac{S_{yt}}{fs}\right)}^2$

गणना:

σ₁ = σ₂ = σ₃ = 130 MPa

इसलिए,

संकल्पना:

वॉन मिसेस प्रतिबल को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

${({\sigma }_1-{\sigma }_2)}^2+{({\sigma }_2-{\sigma }_3)}^2+{({\sigma }_1-{\sigma }_3)}^2\le 2\cdot {\left({\sigma }_{per}\right)}^2$

σ_per = वॉन मिसेस प्रतिबल

गणना:

σ₁ = 300 N/mm²

σ₂ = 300 N/mm², σ₃ = 0

तो,

$2{\sigma }_{per}^2={(300-300)}^2+{(300-0)}^2+{(300-0)}^2$

$2{\sigma }_{per}^2=2\times {300}^2$

व्याख्या:

प्रति इकाई आयतन में विकृति या विकृति ऊर्जा की विकृति ऊर्जा निम्न द्वारा दी गई है:

प्रति इकाई आयतन विरूपण ऊर्जा = (कुल विकृति ऊर्जा) - (आयतन प्रसार की ऊर्जा)

कुल विकृति ऊर्जा निम्न द्वारा दिया जाता है:

$\mathrm{U}=\frac{1}{2\mathrm{E}}\left\{{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2+{\sigma }_3^2-2\mu \left({\sigma }_1{\sigma }_2+{\sigma }_2{\sigma }_3+{\sigma }_3{\sigma }_1\right)\right\}$

आयतन प्रसार ऊर्जा:

$U_v=\frac{(1-2\mu )}{6E}\times \frac{({\sigma }_1+{\sigma }_2+{\sigma }_3{)}^2}{3}$

विरूपण ऊर्जा प्रति इकाई आयतन = (कुल विकृति ऊर्जा) - (आयतन प्रसार की ऊर्जा)

Ud = $\frac{1+\mu }{6E}[({\sigma }_1-{\sigma }_2{)}^2+({\sigma }_2-{\sigma }_3{)}^2+({\sigma }_3-{\sigma }_1{)}^2]$..... eq (i)

सरल तनन परीक्षण में:

U_d = $\left(\frac{1+\mu }{6E}\right)2{\sigma }_{ym}^2$ .... eq (ii)

अधिकतम विरूपण ऊर्जा सिद्धांत (वॉन मिस्स सिद्धांत)

• इस सिद्धांत के अनुसार, एक सदस्य में एक बिंदु पर विफलता याप राभव तब होता है जब प्रति इकाई आयतन में विरूपण विकृति ऊर्जा एक साधारण तनन परीक्षण से निर्धारित प्रति इकाई आयतन में सीमित विरूपण ऊर्जा (यानी पराभव बिंदु पर विरूपण ऊर्जा) तक पहुंच जाती है।
• त्रिअक्षीय स्थिति के तहत वॉन मिस प्रतिबल निम्न द्वारा दिया जाता है:

${\sigma }_{vm}=\sqrt{\frac{1}{2}\left\{{\left({\sigma }_1-{\sigma }_2\right)}^2+{\left({\sigma }_2-{\sigma }_3\right)}^2+{\left({\sigma }_3-{\sigma }_1\right)}^2\right\}}$

अब अगर हम वॉन मिसेज प्रतिबल और विरूपण ऊर्जा की प्रति इकाई आयतन समीकरण से तुलना करें तो,

Ud =$\frac{1+\mu }{3E}\times {\sigma }_{vm}^2$

U_d ∝ σ²_vm

σ_vm ∝  $\sqrt{U_d}$

बलों के अधीन एक पिंड में एक बिंदु पर वॉन मिज़ प्रतिबल प्रति इकाई आयतन में विरूपण तनाव ऊर्जा के वर्गमूल के समानुपाती होता है।

व्याख्या:

अधिकतम अपरुपण विकृति ऊर्जा (विरुपण ऊर्जा सिद्धांत) वोन-मिसेस –हैन्की सिद्धांत

यह बताता है कि निकाय में किसी भी बिंदु पर अतन्यक क्रिया, प्रतिबल बेगिंग के किसी भी संयोजन के तहत, जब बिंदु पर अवशोषित प्रति इकाई मात्रा में विरूपण की तनन ऊर्जा एक सरल तनन / संपीड़न परीक्षण में एकअक्षीय प्रतिबल की स्थिति के अंतर्गत एक बार जिसे प्रत्यास्थ सीमा तक प्रतिबलित किया गया है उसके किसी भी बिंदु पर प्रति इकाई मात्रा में अवशोषित विरूपण की विकृति ऊर्जा के बराबर होती है।

$\frac{1}{2}\left[{\left({\sigma }_1-{\sigma }_2\right)}^2+{\left({\sigma }_2-{\sigma }_3\right)}^2+{\left({\sigma }_3-{\sigma }_1\right)}^2\right]\le {\sigma }_{\mathrm{y}}^2$ शून्य विफलता के लिए$\frac{1}{2}\left[{\left({\sigma }_1-{\sigma }_2\right)}^2+{\left({\sigma }_2-{\sigma }_3\right)}^2+{\left({\sigma }_3-{\sigma }_1\right)}^2\right]\le {\left(\frac{{\sigma }_{\mathrm{y}}}{\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{S}}\right)}^2$ डिजाइन के लिए

• यह नमनीय सामग्री के लिए सबसे उपयुक्त सिद्धांत है।
  इसे जलस्थैतिक दबाव में सामग्री पर लागू नहीं किया जा सकता है।

​Additional Information

अधिकतम अपरुपण प्रतिबल सिद्धांंत (गेस्ट और ट्रेस्का का सिद्धांत)

इस सिद्धांत के अनुसार,भार के किसी भी संयोजन को नमूने की विफलता के अधीन जब किसी भी बिंदु पर अधिकतम अपरुपण प्रतिबल के विफलता का मान पर पहुँचता है तो वह समान सामग्री के एक अक्षीय तनन या संपीड़क परीक्षण में विकसित पराभव के बराबर होता है।

चित्रात्मक निरुपण

${\tau }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\le \frac{{\sigma }_{\mathrm{y}}}{2}$ शून्य विफलता के लिए

${\sigma }_1-{\sigma }_2\le \left(\frac{{\sigma }_{\mathrm{y}}}{\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{S}}\right)$ डिजाइन के लिए

σ1 और σ2 क्रमशः अधिकतम और न्यूनतम मुख्य प्रतिबल हैं.

यहाँ, τmax = अधिकतम अपरूपण प्रतिबल 

σy = अनुमत प्रतिबल

यह सिद्धांत मृदु सामग्रियों के लिए अच्छी तरह से उचित है लेकिन सुरक्षित परिणाम देता है और इसलिए इसे अनौपचारिक सिद्धांत कहा जाता है।

अधिकतम लम्बवत प्रतिबल सिद्धांत (रैंकिन का सिद्धांत)

इस सिद्धांत के अनुसार, स्थायी सेट जटिल तनाव की स्थिति में होता है, जब अधिकतम प्रमुख प्रतिबल का मान उपज बिंदु प्रतिबल के बराबर होता है जैसा कि एक साधारण तन्यता परीक्षण में पाया जाता है।

डिजाइन की मापदंड के लिए, अधिकतम प्रमुख प्रतिबल (σ1) सामग्री के लिए कार्यरत प्रतिबल ‘σy’ से अधिक नहीं होना चाहिए।

${\sigma }_{1,2}\le {\sigma }_{\mathrm{y}}$ शून्य विफलता के लिए

${\sigma }_{1,2}\le \frac{\sigma }{\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{S}}$ डिजाइन के लिए

नोट: किसी अपरूपण विफलता τ ≤ 0.57 σy के लिए 

चित्रात्मक निरुपण:

भंगुर सामग्री के लिए,जो सुनम्यता द्वारा विफल नहीं होती लेकिन भंगुर विभंग द्वारा विफल होता है,यह सिद्धांत संतोषजनक परिणाम देता है।

इसका ग्राफ हमेशा σ1 और σ2 के विभिन्न मान के लिए भी वर्गाकार होता है।

अधिकतम प्रमुख विकृति सिद्धांत (सेंट वीनेंट का सिद्धांत)

इस सिद्धांत के अनुसार, एक नमनीय पदार्थ तब पराभव होना शुरू होता है जब अधिकतम प्रमुख विकृति का मान उस विकृत मान तक पहुँचता है जिसपर पराभव साधारण तनाव में घटित होता है।

${ϵ}_{1,2}\le \frac{{\sigma }_{\mathrm{y}}}{{\mathrm{E}}_1}$ एकाक्षीय भारण में शून्य विफलता के लिए

$\frac{{\sigma }_1}{\mathrm{E}}-\mu \frac{{\sigma }_2}{\mathrm{E}}-\mu \frac{{\sigma }_3}{\mathrm{E}}\le \frac{{\sigma }_{\mathrm{y}}}{\mathrm{E}}$ त्रिअक्षीय भारण में शून्य विफलता के लिए

${\sigma }_1-\mu {\sigma }_2-\mu {\sigma }_3\le \left(\frac{{\sigma }_{\mathrm{y}}}{\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{S}}\right)$डिज़ाइन के लिए यहाँ ϵ = प्रमुख विकृति

σ1, σ2 और σ3 = प्रमुख प्रतिबल

चित्रात्मक प्रतिनिधित्व:

यह सिद्धांत नमनीय पदार्थ की प्रत्यास्थ सीमा का अतिप्राक्कलन करता है।

अधिकतम विकृति ऊर्जा सिद्धांत (हैग का सिद्धांत)

इस सिद्धांत के अनुसार, एक निकाय का जटिल प्रतिबल तब विफल हो जाता है जब साधारण तनाव में प्रत्यास्थ सीमा पर कुल विकृति ऊर्जा होती है।

चित्रात्मक प्रतिनिधित्व:​​

$\left\{{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2+{\sigma }_3^2-2\mu \left({\sigma }_1{\sigma }_2+{\sigma }_2{\sigma }_3+{\sigma }_3{\sigma }_1\right)\right\}\le {\sigma }_{\mathrm{y}}^2$ शून्य विफलता के लिए 

$\left\{{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2+{\sigma }_3^2-2\mu \left({\sigma }_1{\sigma }_2+{\sigma }_2{\sigma }_3+{\sigma }_3{\sigma }_1\right)\right\}\le {\left(\frac{{\sigma }_{\mathrm{y}}}{\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{S}}\right)}^2$ डिज़ाइन के लिए

यह सिद्धांत भंगुर पदार्थ के लिए लागू नहीं होता है जिसके लिए तनाव और संपीड़न में प्रत्यास्थ सीमा पूर्णतया अलग होती है।

Important Points  

• भंगुर पदार्थ के लिए:- अधिकतम प्रमुख प्रतिबल सिद्धांत (रैंकिन मानदंड) का प्रयोग किया जाता है। 
• अधिकतम अपरूपण प्रतिबल सिद्धांत (ट्रेसका सिद्धांत), कुल विकृति ऊर्जा सिद्धांत, अधिकतम विरूपण ऊर्जा सिद्धांत (वॉन मिसेस) नमनीय पदार्थ के लिए उपयोगी है। 
• ट्रेसका सिद्धांत प्रतिबलों की द्रवस्थैतिक अवस्था में विफल हो जाते हैं। 
• यदि लोडिंग एकअक्षीय है तो सभी सिद्धांत समान परिणाम देंगे।

संकल्पना:

वॉन मिसेस प्रतिबल को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है

${({\sigma }_1-{\sigma }_2)}^2+{({\sigma }_2-{\sigma }_3)}^2+{({\sigma }_1-{\sigma }_3)}^2\le 2\cdot {\left({\sigma }_{per}\right)}^2$

σ_per = वॉन मिसेस प्रतिबल

गणना:

σ₁ = 300 N/mm²

σ₂ = 300 N/mm², σ₃ = 0

तो,

$2{\sigma }_{per}^2={(300-300)}^2+{(300-0)}^2+{(300-0)}^2$

$2{\sigma }_{per}^2=2\times {300}^2$

व्याख्या:

प्रति इकाई आयतन में विकृति या विकृति ऊर्जा की विकृति ऊर्जा निम्न द्वारा दी गई है:

प्रति इकाई आयतन विरूपण ऊर्जा = (कुल विकृति ऊर्जा) - (आयतन प्रसार की ऊर्जा)

कुल विकृति ऊर्जा निम्न द्वारा दिया जाता है:

$\mathrm{U}=\frac{1}{2\mathrm{E}}\left\{{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2+{\sigma }_3^2-2\mu \left({\sigma }_1{\sigma }_2+{\sigma }_2{\sigma }_3+{\sigma }_3{\sigma }_1\right)\right\}$

आयतन प्रसार ऊर्जा:

$U_v=\frac{(1-2\mu )}{6E}\times \frac{({\sigma }_1+{\sigma }_2+{\sigma }_3{)}^2}{3}$

विरूपण ऊर्जा प्रति इकाई आयतन = (कुल विकृति ऊर्जा) - (आयतन प्रसार की ऊर्जा)

Ud = $\frac{1+\mu }{6E}[({\sigma }_1-{\sigma }_2{)}^2+({\sigma }_2-{\sigma }_3{)}^2+({\sigma }_3-{\sigma }_1{)}^2]$..... eq (i)

सरल तनन परीक्षण में:

U_d = $\left(\frac{1+\mu }{6E}\right)2{\sigma }_{ym}^2$ .... eq (ii)

अधिकतम विरूपण ऊर्जा सिद्धांत (वॉन मिस्स सिद्धांत)

• इस सिद्धांत के अनुसार, एक सदस्य में एक बिंदु पर विफलता याप राभव तब होता है जब प्रति इकाई आयतन में विरूपण विकृति ऊर्जा एक साधारण तनन परीक्षण से निर्धारित प्रति इकाई आयतन में सीमित विरूपण ऊर्जा (यानी पराभव बिंदु पर विरूपण ऊर्जा) तक पहुंच जाती है।
• त्रिअक्षीय स्थिति के तहत वॉन मिस प्रतिबल निम्न द्वारा दिया जाता है:

${\sigma }_{vm}=\sqrt{\frac{1}{2}\left\{{\left({\sigma }_1-{\sigma }_2\right)}^2+{\left({\sigma }_2-{\sigma }_3\right)}^2+{\left({\sigma }_3-{\sigma }_1\right)}^2\right\}}$

अब अगर हम वॉन मिसेज प्रतिबल और विरूपण ऊर्जा की प्रति इकाई आयतन समीकरण से तुलना करें तो,

Ud =$\frac{1+\mu }{3E}\times {\sigma }_{vm}^2$

U_d ∝ σ²_vm

σ_vm ∝  $\sqrt{U_d}$

बलों के अधीन एक पिंड में एक बिंदु पर वॉन मिज़ प्रतिबल प्रति इकाई आयतन में विरूपण तनाव ऊर्जा के वर्गमूल के समानुपाती होता है।

व्याख्या

विरुपण ऊर्जा सिद्धांत या वान मिसेस -हैन्की सिद्धांत:

यह देखा गया है कि द्रव -स्थैतिक बाह्य दाब (जैसे तीन समान सामान्य प्रतिबलों के अधीन आयतन घटक) के अंतर्गत एक ठोस बहुत अधिक प्रतिबलों का सामना कर सकता है। लेकिन जब संग्रहीत करने के लिए विरूपण या अपरुपण ऊर्जा भी होती है, जैसा कि तन्यता परीक्षण में होता है, तो लागू किए जाने वाले प्रतिबल सीमित होते हैं।

चूंकि, यह मान्यता दी गई थी कि इंजीनियरिंग सामग्री बिना नुकसान के बहुत अधिक मात्रा में द्रव -स्थैतिक दाब का सामना कर सकती है, यह माना गया था कि किसी दी गई सामग्री में विरूपण की ऊर्जा को अवशोषित करने की एक निश्चित सीमित क्षमता होती है और सामग्री को अधिक मात्रा में विरूपण ऊर्जा के अधीन करने का कोई भी प्रयास होता है तो परिणामस्वरुप पराभवी विफलता प्राप्त होती है।

यह सिद्धांत कहता है कि ब्लॉक में कहीं भी कोई अपरुपण प्रतिबल और अपरुपण विकृति मौजूद नहीं होगी, लेकिन केवल आयतन में परिवर्तन होता है।

समीकरण और चित्रात्मिक निरुपण:

शून्य विफलता के लिए

इसे द्रव -स्थैतिक दाब के अंतर्गत सामग्री पर लागू नहीं किया जा सकता।

व्याख्या:

अधिकतम अपरुपण विकृति ऊर्जा (विरुपण ऊर्जा सिद्धांत) वोन-मिसेस –हैन्की सिद्धांत

यह बताता है कि निकाय में किसी भी बिंदु पर अतन्यक क्रिया, प्रतिबल बेगिंग के किसी भी संयोजन के तहत, जब बिंदु पर अवशोषित प्रति इकाई मात्रा में विरूपण की तनन ऊर्जा एक सरल तनन / संपीड़न परीक्षण में एकअक्षीय प्रतिबल की स्थिति के अंतर्गत एक बार जिसे प्रत्यास्थ सीमा तक प्रतिबलित किया गया है उसके किसी भी बिंदु पर प्रति इकाई मात्रा में अवशोषित विरूपण की विकृति ऊर्जा के बराबर होती है।

$\frac{1}{2}\left[{\left({\sigma }_1-{\sigma }_2\right)}^2+{\left({\sigma }_2-{\sigma }_3\right)}^2+{\left({\sigma }_3-{\sigma }_1\right)}^2\right]\le {\sigma }_{\mathrm{y}}^2$ शून्य विफलता के लिए$\frac{1}{2}\left[{\left({\sigma }_1-{\sigma }_2\right)}^2+{\left({\sigma }_2-{\sigma }_3\right)}^2+{\left({\sigma }_3-{\sigma }_1\right)}^2\right]\le {\left(\frac{{\sigma }_{\mathrm{y}}}{\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{S}}\right)}^2$ डिजाइन के लिए

• यह नमनीय सामग्री के लिए सबसे उपयुक्त सिद्धांत है।
  इसे जलस्थैतिक दबाव में सामग्री पर लागू नहीं किया जा सकता है।

​Additional Information

अधिकतम अपरुपण प्रतिबल सिद्धांंत (गेस्ट और ट्रेस्का का सिद्धांत)

इस सिद्धांत के अनुसार,भार के किसी भी संयोजन को नमूने की विफलता के अधीन जब किसी भी बिंदु पर अधिकतम अपरुपण प्रतिबल के विफलता का मान पर पहुँचता है तो वह समान सामग्री के एक अक्षीय तनन या संपीड़क परीक्षण में विकसित पराभव के बराबर होता है।

चित्रात्मक निरुपण

${\tau }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\le \frac{{\sigma }_{\mathrm{y}}}{2}$ शून्य विफलता के लिए

${\sigma }_1-{\sigma }_2\le \left(\frac{{\sigma }_{\mathrm{y}}}{\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{S}}\right)$ डिजाइन के लिए

σ1 और σ2 क्रमशः अधिकतम और न्यूनतम मुख्य प्रतिबल हैं.

यहाँ, τmax = अधिकतम अपरूपण प्रतिबल 

σy = अनुमत प्रतिबल

यह सिद्धांत मृदु सामग्रियों के लिए अच्छी तरह से उचित है लेकिन सुरक्षित परिणाम देता है और इसलिए इसे अनौपचारिक सिद्धांत कहा जाता है।

अधिकतम लम्बवत प्रतिबल सिद्धांत (रैंकिन का सिद्धांत)

इस सिद्धांत के अनुसार, स्थायी सेट जटिल तनाव की स्थिति में होता है, जब अधिकतम प्रमुख प्रतिबल का मान उपज बिंदु प्रतिबल के बराबर होता है जैसा कि एक साधारण तन्यता परीक्षण में पाया जाता है।

डिजाइन की मापदंड के लिए, अधिकतम प्रमुख प्रतिबल (σ1) सामग्री के लिए कार्यरत प्रतिबल ‘σy’ से अधिक नहीं होना चाहिए।

${\sigma }_{1,2}\le {\sigma }_{\mathrm{y}}$ शून्य विफलता के लिए

${\sigma }_{1,2}\le \frac{\sigma }{\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{S}}$ डिजाइन के लिए

नोट: किसी अपरूपण विफलता τ ≤ 0.57 σy के लिए 

चित्रात्मक निरुपण:

भंगुर सामग्री के लिए,जो सुनम्यता द्वारा विफल नहीं होती लेकिन भंगुर विभंग द्वारा विफल होता है,यह सिद्धांत संतोषजनक परिणाम देता है।

इसका ग्राफ हमेशा σ1 और σ2 के विभिन्न मान के लिए भी वर्गाकार होता है।

अधिकतम प्रमुख विकृति सिद्धांत (सेंट वीनेंट का सिद्धांत)

इस सिद्धांत के अनुसार, एक नमनीय पदार्थ तब पराभव होना शुरू होता है जब अधिकतम प्रमुख विकृति का मान उस विकृत मान तक पहुँचता है जिसपर पराभव साधारण तनाव में घटित होता है।

${ϵ}_{1,2}\le \frac{{\sigma }_{\mathrm{y}}}{{\mathrm{E}}_1}$ एकाक्षीय भारण में शून्य विफलता के लिए

$\frac{{\sigma }_1}{\mathrm{E}}-\mu \frac{{\sigma }_2}{\mathrm{E}}-\mu \frac{{\sigma }_3}{\mathrm{E}}\le \frac{{\sigma }_{\mathrm{y}}}{\mathrm{E}}$ त्रिअक्षीय भारण में शून्य विफलता के लिए

${\sigma }_1-\mu {\sigma }_2-\mu {\sigma }_3\le \left(\frac{{\sigma }_{\mathrm{y}}}{\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{S}}\right)$डिज़ाइन के लिए यहाँ ϵ = प्रमुख विकृति

σ1, σ2 और σ3 = प्रमुख प्रतिबल

चित्रात्मक प्रतिनिधित्व:

यह सिद्धांत नमनीय पदार्थ की प्रत्यास्थ सीमा का अतिप्राक्कलन करता है।

अधिकतम विकृति ऊर्जा सिद्धांत (हैग का सिद्धांत)

इस सिद्धांत के अनुसार, एक निकाय का जटिल प्रतिबल तब विफल हो जाता है जब साधारण तनाव में प्रत्यास्थ सीमा पर कुल विकृति ऊर्जा होती है।

चित्रात्मक प्रतिनिधित्व:​​

$\left\{{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2+{\sigma }_3^2-2\mu \left({\sigma }_1{\sigma }_2+{\sigma }_2{\sigma }_3+{\sigma }_3{\sigma }_1\right)\right\}\le {\sigma }_{\mathrm{y}}^2$ शून्य विफलता के लिए 

$\left\{{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2+{\sigma }_3^2-2\mu \left({\sigma }_1{\sigma }_2+{\sigma }_2{\sigma }_3+{\sigma }_3{\sigma }_1\right)\right\}\le {\left(\frac{{\sigma }_{\mathrm{y}}}{\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{S}}\right)}^2$ डिज़ाइन के लिए

यह सिद्धांत भंगुर पदार्थ के लिए लागू नहीं होता है जिसके लिए तनाव और संपीड़न में प्रत्यास्थ सीमा पूर्णतया अलग होती है।

Important Points  

• भंगुर पदार्थ के लिए:- अधिकतम प्रमुख प्रतिबल सिद्धांत (रैंकिन मानदंड) का प्रयोग किया जाता है। 
• अधिकतम अपरूपण प्रतिबल सिद्धांत (ट्रेसका सिद्धांत), कुल विकृति ऊर्जा सिद्धांत, अधिकतम विरूपण ऊर्जा सिद्धांत (वॉन मिसेस) नमनीय पदार्थ के लिए उपयोगी है। 
• ट्रेसका सिद्धांत प्रतिबलों की द्रवस्थैतिक अवस्था में विफल हो जाते हैं। 
• यदि लोडिंग एकअक्षीय है तो सभी सिद्धांत समान परिणाम देंगे।

स्पष्टीकरण:

दिया गया है कि, ${\sigma }_1=100MPa,{\sigma }_2=-100MPa$

वॉन मिसस सिद्धांत के अनुसार,

${\left({\sigma }_1-{\sigma }_2\right)}^2+{\left({\sigma }_2-{\sigma }_3\right)}^2+{\left({\sigma }_1-{\sigma }_3\right)}^2\le \frac{2{\sigma }_y^2}{{FOS}^2}$

इस स्थिति में, σ₃ = 0

${\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2-{\sigma }_1{\sigma }_2\le \frac{{\sigma }_y^2}{{FOS}^2}$

${100}^2+{100}^2+100\times 100\le \frac{{300}^2}{{FOS}^2}\Rightarrow FO{S}^2=\frac{{300}^2}{3\times {100}^2}=\frac{3^2\times {100}^2}{3\times {100}^2}=3$

तो, FOS = 1.732

संकल्पना:

विरूपण ऊर्जा सिद्धांत के अनुसार:

$({\sigma }_1-{\sigma }_2{)}^2+({\sigma }_2-{\sigma }_3{)}^2+({\sigma }_3-{\sigma }_1{)}^2=2{\left(\frac{S_{yt}}{fs}\right)}^2$

गणना:

σ₁ = σ₂ = σ₃ = 130 MPa

इसलिए,

संकल्पना:

वाॅन मिसेस विरुपण ऊर्जा सिद्धांत के अनुसार

 विरुपण ऊर्जा सिद्धांत के दीर्घवृत्त के अर्ध मुख्य और लघु अक्ष निम्न हैः

$a=\sqrt{\frac{2}{3}}{\sigma }_{yt},b=\sqrt{2}{\sigma }_{yt}$

गणना:

दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल $A=\pi ab=\frac{2\pi }{\sqrt{3}}{{\sigma }_{yt}}^2$