Theory of Failure MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Theory of Failure - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

अधिकतम अपरूपण प्रतिबल सिद्धांत (गेस्ट या ट्रेकस सिद्धांत):

• इस सिद्धांत के अनुसार, प्रतिरूप की विफलता भार के किसी भी संयोजन के अधीन तब होती है जब किसी बिंदु पर अधिकतम अपरूपण प्रतिबल समान पदार्थ के अक्षीय तन्य या सम्पीड़क परिक्षण में पराभव पर विकसित मान के बराबर विफलता मान तक पहुंच जाता है।

सचित्र प्रदर्शन:

• ${\tau }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\le \frac{{\sigma }_{\mathrm{y}}}{2}$ बिना किसी असफलता के
• ${\sigma }_1-{\sigma }_2\le \left(\frac{{\sigma }_{\mathrm{y}}}{\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{S}}\right)$ डिजाइन के लिए
• σ1 और σ2 क्रमशः अधिकतम और न्यूनतम प्रमुख प्रतिबल हैं।
• यहाँ,  τअधिकतम = अधिकतम अपरूपण प्रतिबल
• σy = अनुमेय प्रतिबल
• यह सिद्धांत उचित है लेकिन नमनीय सामग्री के लिए एक रूढ़िवादी सिद्धांत है। यह एक गैर-आर्थिक सिद्धांत है।

अतिरिक्त जानकारी

मैक्सिमम शीयर स्ट्रेन एनर्जी / डिस्टॉर्शन एनर्जी थ्योरी / माइस - हेंकी थ्योरी:

• इसमें कहा गया है कि शरीर के किसी भी बिंदु पर, भीख मांगने के तनाव के किसी भी संयोजन के तहत, जब बिंदु पर अवशोषित प्रति इकाई मात्रा में विकृति की तनाव ऊर्जा एक बार में किसी भी बिंदु पर प्रति इकाई मात्रा में अवशोषित विकृति की तनाव ऊर्जा के बराबर होती है। एक अक्षीय तनाव की स्थिति के तहत लोचदार सीमा तक जैसा कि एक साधारण तनाव/संपीड़न परीक्षण में होता है।
• $\frac{1}{2}\left[{\left({\sigma }_1-{\sigma }_2\right)}^2+{\left({\sigma }_2-{\sigma }_3\right)}^2+{\left({\sigma }_3-{\sigma }_1\right)}^2\right]\le {\sigma }_{\mathrm{y}}^2$ बिना किसी असफलता के
• $\frac{1}{2}\left[{\left({\sigma }_1-{\sigma }_2\right)}^2+{\left({\sigma }_2-{\sigma }_3\right)}^2+{\left({\sigma }_3-{\sigma }_1\right)}^2\right]\le {\left(\frac{{\sigma }_{\mathrm{y}}}{\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{S}}\right)}^2$ डिजाइन के लिए

• यह तन्य सामग्री के लिए सबसे उपयुक्त सिद्धांत है।
• यह हीड्रास्टाटिक दबाव में सामग्री के लिए लागू नहीं किया जा सकता।

अधिकतम प्रमुख प्रतिबल सिद्धांत (रैंकिन का सिद्धांत)

• इस सिद्धांत के अनुसार, स्थायी सेट जटिल प्रतिबल की अवस्था के तहत तब होता है, जब अधिकतम प्रमुख प्रतिबल का मान सरल तन्य परिक्षण में प्राप्त मान के रूप में, प्रतिफल बिंदु प्रतिबल के मान के बराबर होता है।

• डिज़ाइन मानदंड के लिए अधिकतम प्रमुख प्रतिबल (σ1) को पदार्थ के लिए कार्यरत प्रतिबल ‘σy’ से अधिक नहीं होना चाहिए।

• शून्य विफलता के लिए ${\sigma }_{1,2}\le {\sigma }_{\mathrm{y}}$

• डिज़ाइन के लिए ${\sigma }_{1,2}\le \frac{\sigma }{\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{S}}$
• नोट: शून्य अपरूपण विफलता के लिए τ ≤ 0.57 σy

चित्रात्मक वर्णन

• भंगुर पदार्थ के लिए, जो पराभव द्वारा विफल नहीं होता है लेकिन भंगुर भंजन द्वारा विफल हो जाता है, यह सिद्धांत संतोषजनक परिणाम प्रदान करता है।
• σ₁ और σ₂ के अलग-अलग मानों के लिए भी आलेख हमेशा वर्गाकार होता है।

अधिकतम प्रमुख विकृति सिद्धांत (सेंट वीनेंट का सिद्धांत)

• इस सिद्धांत के अनुसार, एक नमनीय पदार्थ तब पराभव होना शुरू होता है जब अधिकतम प्रमुख विकृति का मान उस विकृत मान तक पहुँचता है जिसपर पराभव साधारण तनाव में घटित होता है।
• एकाक्षीय भारण में शून्य विफलता के लिए ${ϵ}_{1,2}\le \frac{{\sigma }_{\mathrm{y}}}{{\mathrm{E}}_1}$
• त्रिअक्षीय भारण में शून्य विफलता के लिए $\frac{{\sigma }_1}{\mathrm{E}}-\mu \frac{{\sigma }_2}{\mathrm{E}}-\mu \frac{{\sigma }_3}{\mathrm{E}}\le \frac{{\sigma }_{\mathrm{y}}}{\mathrm{E}}$
• डिज़ाइन के लिए यहाँ, ϵ = प्रमुख विकृति ${\sigma }_1-\mu {\sigma }_2-\mu {\sigma }_3\le \left(\frac{{\sigma }_{\mathrm{y}}}{\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{S}}\right)$
• σ1, σ2 और σ3 = प्रमुख प्रतिबल

चित्रात्मक प्रतिनिधित्व

यह सिद्धांत तन्य सामग्री की प्रत्यास्थ सामर्थ्य को कम करके आंकता है।

अधिकतम विकृति ऊर्जा सिद्धांत (हैग का सिद्धांत)

• इस सिद्धांत के अनुसार, एक निकाय का जटिल प्रतिबल तब विफल हो जाता है जब साधारण तनाव में प्रत्यास्थ सीमा पर कुल विकृति ऊर्जा होती है।
• चित्रात्मक प्रतिनिधित्व:
• $\left\{{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2+{\sigma }_3^2-2\mu \left({\sigma }_1{\sigma }_2+{\sigma }_2{\sigma }_3+{\sigma }_3{\sigma }_1\right)\right\}\le {\sigma }_{\mathrm{y}}^2$ बिना किसी असफलता के
• $\left\{{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2+{\sigma }_3^2-2\mu \left({\sigma }_1{\sigma }_2+{\sigma }_2{\sigma }_3+{\sigma }_3{\sigma }_1\right)\right\}\le {\left(\frac{{\sigma }_{\mathrm{y}}}{\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{S}}\right)}^2$ डिजाइन के लिए
• यह सिद्धांत भंगुर पदार्थ के लिए लागू नहीं होता है जिसके लिए तनाव और संपीड़न में प्रत्यास्थ सीमा पूर्णतया अलग होती है।

महत्वपूर्ण बिंदु

• भंगुर सामग्री के लिए:- अधिकतम प्रधान तनाव सिद्धांत (रैंकिन मानदंड) का उपयोग किया जाता है।
• अधिकतम ​अपरूपण प्रतिबल सिद्धांत (ट्रेस्का सिद्धांत), कुल विकृति ऊर्जा सिद्धांत, अधिकतम विरूपण ऊर्जा सिद्धांत (वॉन माइस) एक डक्टाइल सामग्री के लिए उपयोगी है।
• प्रतिबल की हाइड्रोस्टेटिक अवस्था में ट्रेसका का सिद्धांत विफल हो जाता है।
• यदि भारण एकअक्षीय है तो सभी सिद्धांत समान परिणाम देंगे।

सिद्धांत:

अधिकतम अपरूपण प्रतिबल सिद्धांत (गेस्ट या ट्रेसका सिद्धांत) के अनुसार, संयुक्त बंकन और मरोड़ के अधीन एक शाफ्ट में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल इस प्रकार दिया गया है:

${\tau }_{max}=\frac{1}{2}\sqrt{{\sigma }_b^2+4{\tau }^2}$

सुरक्षा सुनिश्चित करने के लिए, इसे साधारण तनाव में उपज शक्ति के आधे के बराबर सेट किया गया है:

${\tau }_{max}=\frac{{\sigma }_y}{2}$

गणना:

दिया गया है:

बंकन आघूर्ण, $M=16kN\cdot m=16\times {10}^{3}N\cdot m$

टॉर्क, T = $12kN\cdot m=12\times {10}^{3}N\cdot m$

तनाव में प्रत्यास्थ सीमा, ${\sigma }_y=160MPa=160\times {10}^{6}Pa$

संयुक्त समतुल्य आघूर्ण की गणना इस प्रकार की जाती है:

$M_e=\sqrt{M^2+T^2}=\sqrt{(16{)}^2+(12{)}^2}\times {10}^3=\sqrt{256+144}\times {10}^3=20\times {10}^{3}N\cdot m$

सूत्र का उपयोग करते हुए:

$\frac{32M_e}{\pi d^3}={\sigma }_y\Rightarrow d^3=\frac{32M_e}{\pi {\sigma }_y}$

$d^3=\frac{32\cdot 20\times {10}^3}{\pi \cdot 160\times {10}^6}=\frac{640\times {10}^3}{502.65\times {10}^6}=1.273\times {10}^{-3}{m}^3$

$d=(1.273\times {10}^{-3}{)}^{1/3}=0.108m=108mm$

सिद्धांत:

**अपरूपण विकृति ऊर्जा सिद्धांत (वॉन माइसेस और हेन्की के सिद्धांत)** के अनुसार, विफलता मानदंड विकृति ऊर्जा पर आधारित होता है। तुल्य प्रतिबल इस प्रकार दिया जाता है:

${\sigma }_{eq}=\sqrt{\frac{({\sigma }_1-{\sigma }_2{)}^2+({\sigma }_2-{\sigma }_3{)}^2+({\sigma }_3-{\sigma }_1{)}^2}{2}}$

जहाँ:

• ${\sigma }_1=2x(तनन)$
• ${\sigma }_2=x(तनन)$
• ${\sigma }_3=\frac{x}{2}(संपीडन)$

जब तुल्य प्रतिबल **प्रत्यास्थ सीमा प्रतिबल** के बराबर होता है, तो पदार्थ विफल हो जाएगा:

${\sigma }_{eq}={\sigma }_y$

जहाँ ${\sigma }_y=200$ N/mm².

गणना:

चरण 1: तुल्य प्रतिबल की गणना

${\sigma }_{eq}=\sqrt{\frac{(2x-x{)}^2+(x-(-x/2){)}^2+(-x/2-2x{)}^2}{2}}$

${\sigma }_{eq}=\sqrt{\frac{(x{)}^2+(3x/2{)}^2+(5x/2{)}^2}{2}}$

${\sigma }_{eq}=\sqrt{\frac{x^2+9x^2/4+25x^2/4}{2}}$

${\sigma }_{eq}=\sqrt{\frac{4x^2+9x^2+25x^2}{8}}$

${\sigma }_{eq}=\sqrt{\frac{38x^2}{8}}=\sqrt{\frac{19x^2}{4}}=\frac{x\sqrt{19}}{2}$

चरण 2: प्रत्यास्थ सीमा के साथ तुलना

$\frac{x\sqrt{19}}{2}=200$

$x=\frac{400}{\sqrt{19}}$

संकल्पना:

दिया है:

वृत्ताकार शाफ्ट केवल मरोड़ आघूर्ण के अधीन होता है जिसके परिणामस्वरूप अधिकतम अपरूपण प्रतिबल 90MPa होता है।

अधिकतम अपरूपण प्रतिबल निम्न द्वारा दिया जाता है:

${\tau }_{max}=\frac{16T}{\pi d^3}$

∴ यह शुद्ध अपरूपण की स्थिति है। और शुद्ध अपरूपण के लिए मोहर वृत्त निम्न द्वारा दर्शाया गया है:

• यहां, संपीडक प्रतिबल अधिकतम अपरूपण प्रतिबल के बराबर होगा।
• शुद्ध अपरूपण की स्थिति में, τ_xy = τ और σ_x = σ_y = 0

σ₁ = τ , σ2 = -τ

मोहर वृत्त का केंद्र= 0

त्रिज्या = $\frac{{\sigma }_1-{\sigma }_2}{2}$ = $\frac{\tau -\left(-\tau \right)}{2}=\tau$

इसलिए, सामग्री में अधिकतम संपीडक प्रतिबल 90MPa है।

अवधारणा:

स्तंभ के आंतरिक व्यास के वर्ग को निर्धारित करने के लिए, हम अक्षीय प्रतिबल सूत्र और खोखले स्तंभ के क्षेत्रफल का उपयोग करते हैं।

गणना:

दिया गया है:

स्तंभ का बाहरी व्यास, $D=220$ मिमी, अक्षीय भार, $P=2.4$ MN = $2.4\times {10}^6$ N, परम प्रतिबल, ${\sigma }_u=500$ N/mm², सुरक्षा कारक (FOS) = 5$\pi =3.14$

गणना:

अनुमेय प्रतिबल की गणना इस प्रकार की जाती है:

${\sigma }_{\text{allowable}}=\frac{{\sigma }_u}{\text{FOS}}=\frac{500}{5}=100N/m{m}^2$

अक्षीय प्रतिबल सूत्र का उपयोग करते हुए:

${\sigma }_{\text{allowable}}=\frac{P}{A}$

जहाँ $A$ खोखले स्तंभ का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है:

$A=\frac{\pi }{4}(D^2-d^2)$

मान प्रतिस्थापित करने पर:

$100=\frac{2.4\times {10}^6}{\frac{3.14}{4}({220}^2-d^2)}$

पुनर्व्यवस्थित करने पर:

$A=\frac{2.4\times {10}^6}{100}=24000$ mm²

$\frac{3.14}{4}(48400-d^2)=24000$

$3.14(48400-d^2)=96000$

$48400-d^2=\frac{96000}{3.14}=30573.88$

$d^2=48400-30573.88=17826.12\approx 17826.75$ mm²

संकल्पना:

1) अधिकतम प्रमुख प्रतिबल सिद्धांत (रैन्की सिद्धांत/ लेम का सिद्धांत):-

इस सिद्धांत के अनुसार,शून्य विफलता के लिए अधिकतम प्रमुख प्रतिबल एकअक्षीय भारण के अंतर्गत विफलता प्रतिबल से कम होना चाहिए।

अर्थात् σmaj < fy

डिजाइन के लिए, ${\sigma }_{maj}<\frac{f_y}{F.O.S}$

यह सिद्धांत भंगुर सामग्री के लिए सबसे उपयुक्त होती है, लेकिन लचीली सामग्रियों पर लागू नहीं होता है, शुद्ध अपरुपण मामले में लागू नहीं होता है क्योंकि इस सिद्धांत के अनुसार τ , fy से कम होना चाहिए ।

2) अधिकतम प्रमुख विकृति सिद्धांत(सेंन्ट-वेनेन्ट सिद्धांत):-

इस सिद्धांत के अनुसार,शून्य विफलता के लिए अधिकतम प्रमुख विकृति एकअक्षीय भारण के अंतर्गत विकृति से कम होना चाहिए जब प्रतिबल fy है। 

$i.e{\epsilon }_{maj}<\frac{f_y}{E}$

डिजाइन के लिए, ${\epsilon }_{maj}<\frac{\left(f_y/FOS\right)}{E}$

यह सिद्धांत भंगुर सामग्री के लिए संतोषजनक है,लेकिन द्रवस्थैतिक प्रतिबल की स्थिति के लिए उपयुक्त नहीं है।

यह सिद्धांत शुद्ध अपरुपण मामले के लिए उपयुक्त नहीं है।

3) अधिकतम अपरुपण प्रतिबल सिद्धांत (ट्रैस्का सिद्धांत/ गेस्ट सिद्धांत/कूलम्ब सिद्धांत):-

इस सिद्धांत के अनुसार,शून्य विफलता के लिए परिशुद्ध अधिकतम अपरुपण प्रतिबल, एकअक्षीय भारण के अंतर्गत अधिकतम अपरुपण प्रतिबल से कम होना चाहिए, जब प्रतिबल  fy है। 

एकअक्षीय भारण के अंतर्गत अधिकतम अपरुपण प्रतिबल जब प्रतिबल fy है जिसे fy/2 के रुप में दिया गया है

$\therefore {\tau }_{abs}max<\frac{f_y}{2}$

डिजाइन के लिए,

${\tau }_{abs}max<\frac{\left(f_y/FOS\right)}{2}$

4) अधिकतम विकृति ऊर्जा सिद्धांत (बेल्टरामी-हेग सिद्धांत):-

इस सिद्धांत के अनुसार, शून्य विफलता के लिए अधिकतम विकृति ऊर्जा प्रति इकाई आयतन एकअक्षीय भारण के अंतर्गत विकृति ऊर्जा प्रति इकाई आयतन से कम होना चाहिए जब प्रतिबल  fy है। $\frac{1}{2E}\left[{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2+{\sigma }_3^2-2\mu \left({\sigma }_1{\sigma }_2+{\sigma }_2{\sigma }_3+{\sigma }_3{\sigma }_1\right)\right]<\frac{f_y^2}{2E}$

जहाँ, σ1, σ2, σ3 प्रमुख प्रतिबल है।.

यह सिद्धांत लचीली सामग्री के लिए लागू होता है,लेकिन भंगुर सामग्री के लिए उपयुक्त नहीं है, और शुद्ध अपरुपण मामले के लिए उपयुक्त नहीं है।

5) अधिकतम अपरुपण विकृति ऊर्जा सिद्धांत (वान मिसेस/ विरुपण ऊर्जा सिद्धांत):-

इस सिद्धांत के अनुसार, शून्य विफलता के लिए, अधिकतम अपरुपण विकृति ऊर्जा प्रति इकाई आयतन एकअक्षीय भारण के अंतर्गत अधिकतम अपरुपण विकृति ऊर्जा प्रति इकाई आयतन से कम होना चाहिए।$\frac{1}{12G}\left[{\left({\sigma }_1-{\sigma }_2\right)}^2+{\left({\sigma }_2-{\sigma }_3\right)}^2+{\left({\sigma }_3-{\sigma }_1\right)}^2\right]<\frac{f_y^2}{6G}$

यह सिद्धांत शुद्ध अपरुपण के मामले में परीक्षण के परिणाम के साथ सही अनुबंध है।

यह सिद्धांत लचीली सामग्री के लिए विफलता का सबसे उपयुक्त सिद्धांत है।

निष्कर्ष:

• असफलता के सभी सिद्धांत एकअक्षीय भारण के मामले में समान परिणाम देते हैं।

स्पष्टीकरण:

वॉन मीसेस और ट्रेस्का मानदंड के अनुसार समतल प्रतिबल में दो पराभव मानदंड के लिए पराभव लोकाई निम्नवत है:

∴ ट्रेसका के अनुसार, पराभव एक षट्कोण है।

​

भंगुर पदार्थ के लिए

तन्य सामग्री के लिए

संकल्पना:

अधिकतम प्रमुख प्रतिबल सिद्धांत (रैन्की सिद्धांत)

इस सिद्धांत के अनुसार, स्थायी सेट जटिल प्रतिबल की स्थिति में होता है, जब अधिकतम प्रमुख प्रतिबल का मान विफलता बिंदु प्रतिबल के बराबर होता है जैसा कि एक साधारण विकृति परीक्षण में पाया जाता है।

डिजाइन मानदण्ड के लिए, अधिकतम प्रमुख प्रतिबल (σ1) सामग्री के कार्यकारी प्रतिबल ‘σy’ से अधिक नहीं होना चाहिए।

शून्य विफलता के लिए ${\sigma }_{1,2}\le {\sigma }_{\mathrm{y}}$

डिजाइन के लिए ${\sigma }_{1,2}\le \frac{\sigma }{\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{S}}$

टिप्पणी: शून्य अपरुपण विफलता के लिए τ ≤ 0.57 σy

ग्राफिकल निरुपण

भंगुर सामग्री के लिए,जो सुनम्यता द्वारा विफल नहीं होती लेकिन भंगुर विभंग द्वारा विफल होता है,यह सिद्धांत संतोषजनक परिणाम देता है।

इसका ग्राफ हमेशा σ1 और σ2 के  विभिन्न मान के लिए भी वर्गाकार होता है।

अधिकतम प्रमुख विकृति सिद्धांत​ (ST. वेनान्ट सिद्धांत)

इस सिद्धांत के अनुसार, एक तन्य सामग्री की विफलता तब शुरू होती है जब अधिकतम प्रमुख विकृति वहाँ तक पहुंच जाता है जहाँ पर सरल विकृति होता है।

${ϵ}_{1,2}\le \frac{{\sigma }_{\mathrm{y}}}{{\mathrm{E}}_1}$ एकअक्षीय भारण में शून्य विफलता के लिए

$\frac{{\sigma }_1}{\mathrm{E}}-\mu \frac{{\sigma }_2}{\mathrm{E}}-\mu \frac{{\sigma }_3}{\mathrm{E}}\le \frac{{\sigma }_{\mathrm{y}}}{\mathrm{E}}$ त्रिअक्षीय भारण में शून्य विफलता के लिए

${\sigma }_1-\mu {\sigma }_2-\mu {\sigma }_3\le \left(\frac{{\sigma }_{\mathrm{y}}}{\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{S}}\right)$ डिजाइन के लिए,यहाँ, ϵ = प्रमुख विकृति

σ1, σ2, and σ3 = प्रमुख प्रतिबल

ग्राफिकल निरुपण

अधिकतम अपरुपण प्रतिबल सिद्धांत

(गेस्ट और ट्रेस्का सिद्धांत)

इस सिद्धांत के अनुसार,भार के किसी संयोजन के अधीन नमूने की विफलता जब किसी भी बिंदु पर अधिकतम अपरुपण प्रतिबल विफलता के मान पर पहुँचती है तो समान सामग्री के अक्षीय विकृति या संपीडक परीक्षण में विफलता पर विकसित मान के बराबर होती है। 

ग्राफिकल निरुपण

${\tau }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\le \frac{{\sigma }_{\mathrm{y}}}{2}$  शून्य विफलता के लिए

${\sigma }_1-{\sigma }_2\le \left(\frac{{\sigma }_{\mathrm{y}}}{\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{S}}\right)$ डिजाइन के लिए

σ1 और σ2 क्रमशः अधिकतम और न्यूनतम प्रमुख प्रतिबल हैं।

यहाँ, τmax = अधिकतम अपरुपण प्रतिबल

σy = अनुमत प्रतिबल

यह सिद्धांत तन्य सामग्री के लिए पूर्ण रुप से तर्कसंगत है।

अधिकतम विकृति ऊर्जा सिद्धांत (हैग्स सिद्धांत)

इस सिद्धांत के अनुसार, एक निकाय जटिल प्रतिबल तब विफल हो जाता है जब साधारण विकृति में प्रत्यास्थ सीमा पर कुल विकृति ऊर्जा होती है।

ग्राफिकल निरुपण

$\left\{{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2+{\sigma }_3^2-2\mu \left({\sigma }_1{\sigma }_2+{\sigma }_2{\sigma }_3+{\sigma }_3{\sigma }_1\right)\right\}\le {\sigma }_{\mathrm{y}}^2$   शून्य विफलता के लिए

$\left\{{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2+{\sigma }_3^2-2\mu \left({\sigma }_1{\sigma }_2+{\sigma }_2{\sigma }_3+{\sigma }_3{\sigma }_1\right)\right\}\le {\left(\frac{{\sigma }_{\mathrm{y}}}{\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{S}}\right)}^2$डिजाइन के लिए

यह सिद्धांत भंगुर सामग्री पर लागू नहीं होता है जिसके लिए विकृति और संपीड़न में प्रत्यास्थ सीमा प्रतिबल काफी भिन्न होता है।

अधिकतम अपरुपण विकृति ऊर्जा / विरुपण ऊर्जा सिद्धांत /मिसेस –हैन्की सिद्धांत

यह बताता है कि निकाय में किसी भी बिंदु पर अतन्यक क्रिया, प्रतिबल बेगिंग के किसी भी संयोजन के तहत, जब बिंदु पर अवशोषित प्रति इकाई मात्रा में विरूपण की विकृति ऊर्जा एक सरल विकृति / संपीड़न परीक्षण में एकअक्षीय प्रतिबल की स्थिति के अंतर्गत  एक बार जिसे प्रत्यास्थ सीमा तक प्रतिबलित किया गया है उसके किसी भी बिंदु पर प्रति इकाई मात्रा में अवशोषित विरूपण की विकृति ऊर्जा के बराबर होती है। $\frac{1}{2}\left[{\left({\sigma }_1-{\sigma }_2\right)}^2+{\left({\sigma }_2-{\sigma }_3\right)}^2+{\left({\sigma }_3-{\sigma }_1\right)}^2\right]\le {\sigma }_{\mathrm{y}}^2$  शून्य विफलता के लिए

$\frac{1}{2}\left[{\left({\sigma }_1-{\sigma }_2\right)}^2+{\left({\sigma }_2-{\sigma }_3\right)}^2+{\left({\sigma }_3-{\sigma }_1\right)}^2\right]\le {\left(\frac{{\sigma }_{\mathrm{y}}}{\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{S}}\right)}^2$  डिजाइन के लिए 

इसे द्रवस्थैतिक दाब के लिए लागू नहीं किया जा सकता। 

यदि भारण एकअक्षीय होगा तो सभी सिद्धांत समान परिणाम देगें।

Mistake Point:

अधिकतम अपरूपण प्रतिबल सिद्धांत गैर-आर्थिक डिजाइन देता है जबकि मैक्सिमम अधिकतम विकृति ऊर्जा सिद्धांत आर्थिक डिजाइन देता है। इसलिए, अधिकतम अपरूपण प्रतिबल ऊर्जा सिद्धांत सबसे उपयुक्त है।

व्याख्या:

विफलता सिद्धांत:

निम्नलिखित विफलता सिद्धांत नीचे दिए गए हैं:

(1) अधिकतम मुख्य प्रतिबल सिद्धांत (रेन्काइन का सिद्धांत):

• इसके अनुसार, पदार्थ विफल तब होता है जब अधिकतम प्रतिबल साधारण तनाव में पदार्थ की प्रत्यास्थ सीमा प्रतिबल तक पहुँच जाता है।

(2) अधिकतम मुख्य विकृति सिद्धांत (सेंट वेनेंट का सिद्धांत)

(3) अधिकतम अपरूपण प्रतिबल सिद्धांत (गेस्ट और ट्रेस्का का सिद्धांत)

(4) अधिकतम विकृति ऊर्जा सिद्धांत (हेग का सिद्धांत)

(5) अधिकतम अपरूपण विकृति ऊर्जा सिद्धांत (मिसेस-हेनकी सिद्धांत)

व्याकुंचन:

व्याकुंचन को अक्षीय भार के तहत एक संरचनात्मक घटक (अवयव) के आकार (पार्श्व विरूपण) में अचानक परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया गया है।

मुख्य तल:

• प्रतिबलित पिंड के भीतर किसी भी बिंदु पर, हमेशा तीन परस्पर लंबवत तल मौजूद होते हैं जिनमें से प्रत्येक पर परिणामी प्रतिबल लम्बवत प्रतिबल होता है।
• इन पारस्परिक रूप से लंबवत तलो को मुख्य तल कहा जाता है, और परिणामी लम्बवत प्रतिबल उन पर कार्य करते हैं जिन्हें मुख्य प्रतिबल कहा जाता है।
• मुख्य तल शून्य अपरूपण​ प्रतिबल के अधीन है यह केवल लम्बवत प्रतिबल के अधीन है।

पट्टिका:

• पट्टिका मुख्य रूप से बंकन के लिए डिजाइन किए गए हैं (आनमन और ऊत्तल बंकन आघूर्ण ) और विक्षेपण ऐंठन के लिए नहीं।

स्पष्टीकरण:

अधिकतम अपरुपण प्रतिबल सिद्धान्त: 

• तन्य सामग्री के लिए संतोषजनक रूप से लागू होता है।
• यह सिद्धांत कहता है कि विफलता प्राप्त होना तब माना जा सकता है जब जटिल प्रतिबल प्रणाली में अधिकतम अपरुपण प्रतिबल सरल तनाव में अधिकतम अपरुपण प्रतिबल के मान के बराबर हो।
• विफलता के सिद्धांतों, उनकी उपयुक्त सामग्री और चित्रात्मक निरुपण के बीच का संबंध नीचे दिया गया है।

वर्णन:

अधिकतम प्रमुख विकृति सिद्धांत (सेंट वेन्ट का सिद्धांत)

• इस सिद्धांत के अनुसार एक नमनीय पदार्थ तब उत्पन्न होना शुरू हो जाता है जब अधिकतम प्रमुख विकृति उस विकृति तक पहुंच जाती है जिसपर सुनम्य साधारण तनाव में होता है। 

एकाक्षीय भारण में बिना किसी विफलता के लिए ${ϵ}_{1,2}\le \frac{{\sigma }_{\mathrm{y}}}{{\mathrm{E}}_1}$

त्रिअक्षीय भारण में बिना किसी विफलता के लिए $\frac{{\sigma }_1}{\mathrm{E}}-\mu \frac{{\sigma }_2}{\mathrm{E}}-\mu \frac{{\sigma }_3}{\mathrm{E}}\le \frac{{\sigma }_{\mathrm{y}}}{\mathrm{E}}$

डिज़ाइन के लिए, ${\sigma }_1-\mu {\sigma }_2-\mu {\sigma }_3\le \left(\frac{{\sigma }_{\mathrm{y}}}{\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{S}}\right)$ यहाँ, ϵ = प्रमुख विकृति 

जहाँ σ1, σ2, और σ3 = प्रमुख प्रतिबल    

चित्रात्मक प्रतिनिधित्व

• यह सिद्धांत नम्य पदार्थ की प्रत्यास्थ दृढ़ता का अधिमूल्यांकन करता है। 

Additional Information

अधिकतम प्रमुख प्रतिबल सिद्धांत (रैंकिन का सिद्धांत)

• इस सिद्धांत के अनुसार स्थायी समूह जटिल प्रतिबल की अवस्था के तहत तब होता है जब अधिकतम प्रमुख प्रतिबल का मान साधारण तन्य परिक्षण में पाए गए प्रतिफल बिंदु प्रतिबल के मान के बराबर होता है।
• डिज़ाइन मानदंड के लिए अधिकतम प्रमुख प्रतिबल (σ1) को पदार्थ के लिए कार्यरत प्रतिबल ‘σy’  से अधिक नहीं होना चाहिए। 

बिना किसी विफलता के लिए ${\sigma }_{1,2}\le {\sigma }_{\mathrm{y}}$

डिज़ाइन के लिए ${\sigma }_{1,2}\le \frac{\sigma }{\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{S}}$

• सूचना: बिना किसी अपरूपण विफलता के लिए τ ≤ 0.57 σy

चित्रात्मक प्रतिनिधित्व

• भंगुर पदार्थ के लिए जो सुनम्य द्वारा विफल नहीं होता है लेकिन भंगुर भंजन द्वारा विफल हो जाता है, यह सिद्धांत एक संतोषजनक परिणाम प्रदान करता है।
• आलेख सदैव σ1 और σ2 के अलग-अलग मानों के लिए भी वर्गाकार होता है। 

अधिकतम अपरूपण प्रतिबल सिद्धांत (गेस्ट और ट्रेसका का सिद्धांत)

• इस सिद्धांत के अनुसार प्रतिरूप की विफलता भार के किसी भी संयोजन के अधीन तब होती है जब किसी बिंदु पर अधिकतम अपरूपण प्रतिबल समान पदार्थ के अक्षीय तन्य या संपीडक परिक्षण में सुनम्य पर विकसित अधिकतम अपरूपण प्रतिबल के बराबर विफलता मान तक पहुँचता है। 

चित्रात्मक प्रतिनिधित्व

बिना किसी विफलता के लिए ${\tau }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\le \frac{{\sigma }_{\mathrm{y}}}{2}$

डिज़ाइन के लिए ${\sigma }_1-{\sigma }_2\le \left(\frac{{\sigma }_{\mathrm{y}}}{\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{S}}\right)$

जहाँ σ1 और σ2 क्रमशः अधिकतम और न्यूनतम प्रमुख प्रतिबल हैं, τmax = अधिकतम अपरूपण प्रतिबल और σy = अनुमत प्रतिबल 

• यह सिद्धांत नम्य पदार्थो के लिए अच्छी तरह से तर्कसंगत हैं। 

अधिकतम विकृति ऊर्जा सिद्धांत (हाघ का सिद्धांत)

• इस सिद्धांत के अनुसार एक निकाय का जटिल प्रतिबल तब विफल हो जाता है जब साधारण तनाव में प्रत्यास्थ सीमा पर कुल विकृति ऊर्जा होती है। 
• चित्रात्मक प्रतिनिधित्व

 बिना किसी विफलता के लिए $\left\{{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2+{\sigma }_3^2-2\mu \left({\sigma }_1{\sigma }_2+{\sigma }_2{\sigma }_3+{\sigma }_3{\sigma }_1\right)\right\}\le {\sigma }_{\mathrm{y}}^2$

डिज़ाइन के लिए $\left\{{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2+{\sigma }_3^2-2\mu \left({\sigma }_1{\sigma }_2+{\sigma }_2{\sigma }_3+{\sigma }_3{\sigma }_1\right)\right\}\le {\left(\frac{{\sigma }_{\mathrm{y}}}{\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{S}}\right)}^2$

• इस सिद्धांत को भंगुर पदार्थ के लिए लागू नहीं किया जाता है जिसके लिए तनाव और संपीडन में प्रत्यास्थ सीमा प्रतिबल एक-दूसरे से काफी अलग हैं। 

अधिकतम अपरूपण विकृति ऊर्जा/विरूपण ऊर्जा सिद्धांत/मिसेस हेनकी सिद्धांत

• यह बताता है कि निकाय में किसी बिंदु पर लोचहीन क्रिया प्रतिबल के प्रारंभिक किसी संयोजन के तहत तब होती है, जब बिंदु पर अवशोषित प्रति इकाई आयतन विरूपण की विकृति ऊर्जा साधारण तनाव/संपीडन परिक्षण में होने वाले एकाक्षीय प्रतिबल की अवस्था के तहत प्रत्यास्थ  सीमा के लिए प्रतिबलित एक बार में किसी बिंदु पर प्रति इकाई आयतन अवशोषित विरूपण की विकृति ऊर्जा के बराबर होती है। 

बिना किसी विफलता के लिए $\frac{1}{2}\left[{\left({\sigma }_1-{\sigma }_2\right)}^2+{\left({\sigma }_2-{\sigma }_3\right)}^2+{\left({\sigma }_3-{\sigma }_1\right)}^2\right]\le {\sigma }_{\mathrm{y}}^2$

डिज़ाइन के लिए $\frac{1}{2}\left[{\left({\sigma }_1-{\sigma }_2\right)}^2+{\left({\sigma }_2-{\sigma }_3\right)}^2+{\left({\sigma }_3-{\sigma }_1\right)}^2\right]\le {\left(\frac{{\sigma }_{\mathrm{y}}}{\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{S}}\right)}^2$

• 
• इसे द्रवस्थैतिक दबाव के तहत पदार्थ के लिए लागू किया जा सकता है। 
• यदि भारण एकाक्षीय होता है, तो सभी सिद्धांत समान परिणाम प्रदान करेंगे। 

निष्कर्ष:

• भंगुर पदार्थ के लिए:- अधिकतम प्रमुख प्रतिबल सिद्धांत (रैंकिन मानदंड) का प्रयोग किया जाता है। 
• अधिकतम अपरूपण प्रतिबल सिद्धांत (ट्रेसका सिद्धांत), कुल विकृति ऊर्जा सिद्धांत, अधिकतम विरूपण ऊर्जा सिद्धांत (वॉन मिसेस) भंगुर पदार्थ के लिए उपयोगी है। 
• ट्रेसका सिद्धांत प्रतिबलों की द्रवस्थैतिक अवस्था में विफल हो जाते हैं। 

व्याख्या:

अधिकतम अपरुपण प्रतिबल सिद्धांंत (गेस्ट और ट्रेस्का का सिद्धांत)

इस सिद्धांत के अनुसार,भार के किसी भी संयोजन को नमूने की विफलता के अधीन जब किसी भी बिंदु पर अधिकतम अपरुपण प्रतिबल के विफलता का मान पर पहुँचता है तो वह समान सामग्री के एक अक्षीय तनन या संपीड़क परीक्षण में विकसित पराभव के बराबर होता है।

ग्राफिकल निरुपण

${\tau }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\le \frac{{\sigma }_{\mathrm{y}}}{2}$ शून्य विफलता के लिए

${\sigma }_1-{\sigma }_2\le \left(\frac{{\sigma }_{\mathrm{y}}}{\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{S}}\right)$डिजाइन के लिए

σ1 और σ2 क्रमशः अधिकतम और न्यूनतम मुख्य प्रतिबल हैं.

यहाँ, τmax = अधिकतम अपरूपण प्रतिबल 

σy = अनुमत प्रतिबल

यह सिद्धांत मृदु सामग्रियों के लिए अच्छी तरह से उचित है लेकिन सुरक्षित परिणाम देता है और इसलिए इसे अनौपचारिक सिद्धांत कहा जाता है।

अधिकतम विकृति ऊर्जा सिद्धांत (हैग्स सिद्धांत)

इस सिद्धांत के अनुसार, एक निकाय जटिल प्रतिबल तब विफल हो जाता है जब साधारण तनन में प्रत्यास्थ सीमा पर कुल विकृति ऊर्जा होती है।

ग्राफिकल निरुपण

$\left\{{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2+{\sigma }_3^2-2\mu \left({\sigma }_1{\sigma }_2+{\sigma }_2{\sigma }_3+{\sigma }_3{\sigma }_1\right)\right\}\le {\sigma }_{\mathrm{y}}^2$ शून्य विफलता के लिए

$\left\{{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2+{\sigma }_3^2-2\mu \left({\sigma }_1{\sigma }_2+{\sigma }_2{\sigma }_3+{\sigma }_3{\sigma }_1\right)\right\}\le {\left(\frac{{\sigma }_{\mathrm{y}}}{\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{S}}\right)}^2$ डिजाइन के लिए

यह सिद्धांत भंगुर सामग्री पर लागू नहीं होता है जिसके लिए तनन और संपीड़न में प्रत्यास्थ सीमा प्रतिबल काफी भिन्न होता है।

अधिकतम सामान्य प्रतिबल सिद्धांत (रैंकिन का सिद्धांत)

इस सिद्धांत के अनुसार, स्थायी सेट जटिल तनाव की स्थिति में होता है, जब अधिकतम प्रमुख प्रतिबल का मान उपज बिंदु प्रतिबल के बराबर होता है जैसा कि एक साधारण तन्यता परीक्षण में पाया जाता है।

डिजाइन की मापदंड के लिए, अधिकतम प्रमुख प्रतिबल (σ1) सामग्री के लिए कार्यरत प्रतिबल ‘σy’ से अधिक नहीं होना चाहिए।

${\sigma }_{1,2}\le {\sigma }_{\mathrm{y}}$ शून्य विफलता के लिए

${\sigma }_{1,2}\le \frac{\sigma }{\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{S}}$डिजाइन के लिए

नोट: किसी अपरूपण विफलता τ ≤ 0.57 σy के लिए 

ग्राफिकल निरुपण

भंगुर सामग्री के लिए,जो सुनम्यता द्वारा विफल नहीं होती लेकिन भंगुर विभंग द्वारा विफल होता है,यह सिद्धांत संतोषजनक परिणाम देता है।

इसका ग्राफ हमेशा σ1 और σ2 के विभिन्न मान के लिए भी वर्गाकार होता है।

अधिकतम अपरुपण तनन ऊर्जा (विरुपण ऊर्जा सिद्धांत) वोन-मिसेस –हैन्की सिद्धांत

यह बताता है कि निकाय में किसी भी बिंदु पर अतन्यक क्रिया, प्रतिबल बेगिंग के किसी भी संयोजन के तहत, जब बिंदु पर अवशोषित प्रति इकाई मात्रा में विरूपण की तनन ऊर्जा एक सरल तनन / संपीड़न परीक्षण में एकअक्षीय प्रतिबल की स्थिति के अंतर्गत एक बार जिसे प्रत्यास्थ सीमा तक प्रतिबलित किया गया है उसके किसी भी बिंदु पर प्रति इकाई मात्रा में अवशोषित विरूपण की तनन ऊर्जा के बराबर होती है।

$\frac{1}{2}\left[{\left({\sigma }_1-{\sigma }_2\right)}^2+{\left({\sigma }_2-{\sigma }_3\right)}^2+{\left({\sigma }_3-{\sigma }_1\right)}^2\right]\le {\sigma }_{\mathrm{y}}^2$ शून्य विफलता के लिए

$\frac{1}{2}\left[{\left({\sigma }_1-{\sigma }_2\right)}^2+{\left({\sigma }_2-{\sigma }_3\right)}^2+{\left({\sigma }_3-{\sigma }_1\right)}^2\right]\le {\left(\frac{{\sigma }_{\mathrm{y}}}{\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{S}}\right)}^2$ डिजाइन के लिए

यह मृदु सामग्री के लिए सबसे उपयुक्त सिद्धांत है

संकल्पना:

हुक का नियम : हुक के नियम के अनुसार प्रतिबल विकृति के समानुपाती होता है

यानी σ ∝ ϵ या σ = ϵ × E

जहां, E = प्रत्यास्थता का मापांक

हुक का नियम मान्य होने के लिए:

(ए) सामग्री सजातीय होनी चाहिए ।

(b) सामग्री समदैशिक होनी चाहिए ।

(c) सामग्री को रैखिक रूप से प्रत्यास्थ तरीके से व्यवहार करना चाहिए ।

इस प्रकार क्षेत्रफल 'A', लंबाई 'L' और प्रत्यास्थता के मापांक ‘E’ के साथ एक प्लेन बार के लिए

$\sigma =\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{A}}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}ϵ=\frac{\delta \mathrm{L}}{L}$

सामान्यीकृत हुक का नियम:

${ϵ}_1=\frac{{\sigma }_1}{\mathrm{E}}-\mu \frac{{\sigma }_2}{\mathrm{E}}-\mu \frac{{\sigma }_3}{\mathrm{E}}$

${ϵ}_2=\frac{{\sigma }_2}{\mathrm{E}}-\mu \frac{{\sigma }_1}{\mathrm{E}}-\mu \frac{{\sigma }_3}{\mathrm{E}}$

${ϵ}_3=\frac{{\sigma }_3}{\mathrm{E}}-\mu \frac{{\sigma }_1}{\mathrm{E}}-\mu \frac{{\sigma }_2}{\mathrm{E}}$

ϵequ = ϵ1 + ϵ2 + ϵ3

गणना:

दिया हुआ:

दो लंबवत तन्य प्रतिबल

σ1 = 80 N/mm2, σ2 = 20 N/mm2, μ = 0.25

दो प्रतिबलों के लिए सामान्यीकृत हुक नियम

ϵequ = ϵ1

$\frac{{\sigma }_{equ}}{E}=\frac{{\sigma }_1}{\mathrm{E}}-\mu \frac{{\sigma }_2}{\mathrm{E}}$

${\sigma }_{\mathrm{e}\mathrm{q}\mathrm{u}}={\sigma }_1-\mu {\sigma }_2$

${\sigma }_{\mathrm{e}\mathrm{q}\mathrm{u}}=80-0.25\times 20=75\mathrm{N}/\mathrm{m}{\mathrm{m}}^2$

वर्णन:

अधिकतम अपरूपण प्रतिबल सिद्धांत (MSST)

• इस सिद्धांत के अनुसार विफलता तब होती है जब किसी बिंदु पर अधिकतम अपरूपण प्रतिबल प्रतिफल दृढ़ता तक पहुँचता है। 
• सुरक्षित डिज़ाइन के लिए स्थिति:

${\tau }_{max}\le \frac{S_{ys}}{N}=\frac{S_{yt}}{2N}$

प्रतिबल के त्रिअक्षीय अवस्था के लिए,

$Max\left\{\left|\frac{{\sigma }_1-{\sigma }_2}{2}\right|,\left|\frac{{\sigma }_2-{\sigma }_3}{2}\right|,\left|\frac{{\sigma }_3-{\sigma }_1}{2}\right|\right\}\le \frac{S_{yt}}{2N}$

प्रतिबल के द्विअक्षीय अवस्था के लिए,

$Max\left\{\left|\frac{{\sigma }_1-{\sigma }_2}{2}\right|,\left|\frac{{\sigma }_2}{2}\right|,\left|\frac{{\sigma }_3}{2}\right|\right\}\le \frac{S_{yt}}{2N}$

• यह सिद्धांत नम्य पदार्थो के लिए अच्छी तरह से उपयुक्त है। 
• MSST द्रवस्थैतिक भारण के लिए उपयुक्त नहीं है। 

Important Points

भंगुर पदार्थ के लिए

नम्य पदार्थ के लिए