LPP, Simplex Methods, Duality MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for LPP, Simplex Methods, Duality - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

Last updated on Jun 27, 2025

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Latest LPP, Simplex Methods, Duality MCQ Objective Questions

LPP, Simplex Methods, Duality Question 1:

रैखिक प्रोग्रामन समस्या (LPP) पर विचार करें:

निम्नलिखित व्यवरोधों के अंतर्गत:

3x - 7y ≤ 21

y - 2x ≤ 10

x, y ≥ 0

तब z = 2x + y का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए। 

  1. LPP एक अद्वितीय हल रखता है जिसका इष्टतम मान Z है।
  2. LPP अपरिबद्ध है। 
  3. LPP अनंत संख्या में सुसंगत हल रखता है जिनका इष्टतम मान Z समान है।
  4. LPP का कोई सुसंगत हल नहीं है। 
  5. इनमें से कोई नहीं

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : LPP एक अद्वितीय हल रखता है जिसका इष्टतम मान Z है।

LPP, Simplex Methods, Duality Question 1 Detailed Solution

व्याख्या:

हम व्यवरोधों की जाँच करेंगे और सुसंगत क्षेत्र की पहचान करने के लिए उनका आलेख बनाएँगे:

 

1. पहला व्यवरोध: 3x7y21

पुन:लिखने पर: y3x217

2. दूसरा व्यवरोध: y2x10

पुन:लिखने पर: y2x+10

3. ऋणेतर व्यवरोध: x0,y0

यह जाँचने के लिए कि क्या निकाय सुसंगत या अपरिबद्ध है, आइए असमिकाओं के निकाय को हल करें।

3x - 7y = 21 और y - 2x = 10 का प्रतिच्छेदन:

ये दो रेखाएँ प्रथम चतुर्थांश में प्रतिच्छेद नहीं करती हैं, और हमें आगे जाँच करने की आवश्यकता है कि क्या सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है।

यदि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है, तो इसका मतलब है कि उद्देश्य फलन z = 2x + y बिना किसी सीमा के बढ़ता रह सकता है। 

यह निर्धारित करने के लिए, हमें यह जाँचना होगा कि क्या ऐसी दिशाएँ हैं जिनमें सुसंगत क्षेत्र अनंत तक फैला हुआ है। 

व्यवरोध y2x10 x के सापेक्ष y के लिए एक ऊपरी सीमा को परिभाषित करता है,

लेकिन चूँकि क्षेत्र x और y के लिए ऋणेतर द्वारा बाध्य है, सुसंगत क्षेत्र अक्षों के साथ अनंत तक फैल सकता है। 

चूँकि क्षेत्र परिबद्ध नहीं है (अर्थात, यह कुछ दिशा में अनंत तक फैला हुआ है, जैसा कि असमिकाओं द्वारा इंगित किया गया है),

और कोई विशिष्ट बिंदु नहीं है जहाँ क्षेत्र समाप्त होता है, समस्या अपरिबद्ध है।

सही उत्तर LPP अपरिबद्ध है। 

LPP, Simplex Methods, Duality Question 2:

एक आद्य समस्या निम्न द्वारा दी गई है:

Max Z = 12x1 + 8x2

निम्नलिखित व्यवरोधों के अंतर्गत:

4x1 + 8x2 ≤ 56

-2x1 - 5x2 ≤ -20

5x1 + 4x2 ≤ 40

-5x1 - 4x2 ≤ - 60

x1, x2 ≥ 0

निम्नलिखित में से कौन सी इस आद्य समस्या की द्वैत समस्या है?

  1. Max W = 56w1 - 20w2 + 40w3 - 60w4

    निम्नलिखित व्यवरोधों के अंतर्गत:

    4w1 - 2w2 + 5w3 - 5w4 ≥ 12

    8w1 - 5w2 + 4w3 - 4w4 ≥ 8

    wi ≥ 0, i = 1, 2, 3, 4

  2. Min W = 56w1 - 20w2 + 40w3 - 60w4

    निम्नलिखित व्यवरोधों के अंतर्गत:

    4w1 - 2w2 + 5w3 - 5w4 ≥ 12

    8w1 - 5w2 + 4w3 - 4w4 ≥ 8

    wi ≥ 0, i = 1, 2, 3, 4

  3. Min W = 56w1 - 20w2 + 40w3 - 60w4

    निम्नलिखित व्यवरोधों के अंतर्गत:

    4w1 - 2w2 + 5w3 - 5w4 ≤ 12

    8w1 - 5w2 + 4w3 - 4w4 ≤ 8

    wi ≥ 0, i = 1, 2, 3, 4

  4. उपरोक्त में से कोई नहीं

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 :

Min W = 56w1 - 20w2 + 40w3 - 60w4

निम्नलिखित व्यवरोधों के अंतर्गत:

4w1 - 2w2 + 5w3 - 5w4 ≥ 12

8w1 - 5w2 + 4w3 - 4w4 ≥ 8

wi ≥ 0, i = 1, 2, 3, 4

LPP, Simplex Methods, Duality Question 2 Detailed Solution

व्याख्या:

अधिकतम Z = 12x1 + 8x2

निम्नलिखित व्यवरोधों के अंतर्गत:

4x1 + 8x2 ≤ 56

-2x1 - 5x2 ≤ -20

5x1 + 4x2 ≤ 40

-5x1 - 4x2 ≤ - 60

x1, x2 ≥ 0

मान लीजिए w1, w2, w3, w4 द्वैत समस्या के चर हैं, तो द्वैत समस्या इस प्रकार दी गई है:

Min W = 56w1 - 20w2 + 40w3 - 60w4

निम्नलिखित व्यवरोधों के अंतर्गत:

4w1 - 2w2 + 5w3 - 5w4 ≥ 12

8w1 - 5w2 + 4w3 - 4w4 ≥ 8

wi ≥ 0, i = 1, 2, 3, 4

विकल्प (3) सही है।

LPP, Simplex Methods, Duality Question 3:

एक कंपनी शैक्षिक खिलौने बनाती है और एक सप्ताह के लिए उसकी लागत समीकरण C = 300 + 1.5 x है और उसकी राजस्व समीकरण R = 2 x है, जहाँ x एक सप्ताह में बेचे गए खिलौनों की संख्या है। कंपनी को लाभ कमाने के लिए प्रति सप्ताह कितने खिलौने बेचने होंगे?

  1. 750 से अधिक
  2. 900 से अधिक
  3. 600 से अधिक
  4. 825 से अधिक

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 600 से अधिक

LPP, Simplex Methods, Duality Question 3 Detailed Solution

प्रयुक्त सूत्र

लाभ = राजस्व - लागत

स्पष्टीकरण:

दिया गया है

लागत समीकरण, C = 300 + 1.5x

राजस्व समीकरण, R = 2x

लाभ = राजस्व - लागत

⇒ लाभ = 2x - (300 + 1.5x)

लाभ = 0.5x - 300

लाभ कमाने के लिए, लाभ > 0

0.5x - 300 > 0

0.5x > 300

x > 600

इसलिए, कंपनी को लाभ कमाने के लिए प्रति सप्ताह 600 से अधिक खिलौने बेचने होंगे।

विकल्प 3 सही है। 

LPP, Simplex Methods, Duality Question 4:

रैखिक प्रोग्रामन समस्या (LPP) पर विचार करें:

निम्न के अंतर्गत

 3x1 - x2 ≥ -3,

-0.3x1 + 1.2x2 ≤ 3,

x1, x2 ≥ 0

Z = -x1 + 4x2 का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए,
तब निम्नलिखित में से कौन सा सही है?

  1. LPP का एक अपरिबद्ध हल है।
  2. LPP का कोई इष्टतम हल नहीं है।
  3. LPP का कोई सुसंगत क्षेत्र नहीं है।
  4. LPP का परिमित इष्टतम हल है।

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : LPP का परिमित इष्टतम हल है।

LPP, Simplex Methods, Duality Question 4 Detailed Solution

व्याख्या:

व्यवरोधों को फिर से लिखने पर:

 

1. 3x1x23 ⟶ समतुल्य रूप से: 3x1x2+30
2. 0.3x1+1.2x23 (किसी परिवर्तन की आवश्यकता नहीं)
3. x1,x20 (अऋणात्मक व्यवरोध)

यह जाँचने के लिए कि क्या सुसंगत क्षेत्र का अस्तित्व है, हम व्यवरोधों के प्रतिच्छेदन का विश्लेषण करते हैं:

असमिका 3x1x23 को समिका में परिवर्तित करें:

x2=3x1+3 ----------------(1)

यह प्रथम चतुर्थांश में एक रेखा को दर्शाता है

0.3x1+1.2x23 को समिका में परिवर्तित करें:

x2=0.31.2x1+31.2

x2=0.25x1+2.5 --------------(2)

यह एक और रेखा को दर्शाता है।

यह जाँचकर कि क्या ये दो रेखाएँ प्रथम चतुर्थांश में एक परिबद्ध क्षेत्र को घेरती हैं, हम सुसंगतता निर्धारित करते हैं

x1=0 प्रतिस्थापित करने पर:

x2=3x1+3 से, हमें x2=3 प्राप्त होता है

x2=0.25x1+2.5 से, हमें x2=2.5 प्राप्त होता है

चूँकि दोनों व्यवरोध कुछ अऋणात्मक मानों पर संतुष्ट होते हैं, इसलिए सुसंगत क्षेत्र का अस्तित्व है। 

चूँकि व्यवरोध x1 और x2 को एक परिमित क्षेत्र तक सीमित करते हैं, इसलिए LPP परिबद्ध है। 

चूँकि LPP परिबद्ध और सुसंगत है, इसलिए एक इष्टतम हल का अस्तित्व है और वह परिमित है। 

⇒ LPP का एक परिमित इष्टतम हल है। 

अतः विकल्प (4) सही उत्तर है।

LPP, Simplex Methods, Duality Question 5:

निम्नलिखित में से कौन सा/से सही है?

(A). LPP में सभी फलन रैखिक होते हैं।

(B). LPP के सभी इष्टतम हलों का समुच्चय अवतल होना आवश्यक नहीं है।

(C). LPP के दो इष्टतम हलों को मिलाने वाले रेखाखंड पर स्थित प्रत्येक बिंदु भी इष्टतम हल है।

(D). LPP के इष्टतम हल हमेशा अस्तित्व में होते है।

नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:

  1. केवल (A), (B) और (D) 
  2. केवल (A), (B) और (C) 
  3. (A), (B), (C) और (D)
  4. केवल (B), (C) और (D)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : केवल (A), (B) और (C) 

LPP, Simplex Methods, Duality Question 5 Detailed Solution

व्याख्या:

(A) LPP में सभी फलन रैखिक होते हैं।

रैखिक प्रोग्रामन समस्या (LPP) में, उद्देश्य फलन और व्यवरोध सभी रैखिक होते हैं।

यह कथन सही है।

(B) LPP के सभी इष्टतम हलों का समुच्चय अवतल होना आवश्यक नहीं है।

अवधारणा को समझना:

LPP में, सुसंगत हलों का समुच्चय अवतल होता है।

इष्टतम हलों का समुच्चय (यदि अनेक का अस्तित्व होता हैं) आमतौर पर एक अवतल समुच्चय बनाता है क्योंकि दो इष्टतम हलों का कोई भी अवतल संयोजन भी इष्टतम होता है।

हालाँकि, ऐसी स्थितियाँ हैं जहाँ इष्टतम हलों का समुच्चय अवतल नहीं है।

ऐसा तब होता है जब:

1. LPP में कई असंबद्ध इष्टतम बिंदु होते हैं—उदाहरण के लिए, जब उद्देश्य फलन ऐसा होता है कि इष्टतम हल अलग-अलग शीर्षों पर मौजूद होते हैं लेकिन उन्हें जोड़ने वाले किनारे पर नहीं।

2. अपभ्रष्टता या वैकल्पिक इष्टतम हल भिन्न बिंदुओं पर होते हैं जो एक जुड़ा हुआ अवतल समुच्चय नहीं बनाते हैं।

इस प्रकार, जबकि कई स्थितियों में इष्टतम हलों का समुच्चय अवतल होता है, यह एक सख्त नियम नहीं है—अपवाद मौजूद हैं जहाँ इष्टतम हलों का समुच्चय अवतल नहीं है।

⇒ (B) सही है क्योंकि इष्टतम हल समुच्चय हमेशा अवतल होना आवश्यक नहीं है।

(C) LPP के दो इष्टतम हलों को मिलाने वाले रेखाखंड पर स्थित प्रत्येक बिंदु भी एक इष्टतम हल है।

चूँकि LPP का इष्टतम हल समुच्चय अवतल है, इसलिए दो इष्टतम हलों का कोई भी अवतल संयोजन भी इष्टतम होता है।

यह कथन सही है।

(D) LPP के इष्टतम हल हमेशा अस्तित्व में होते हैं।

एक LPP का कोई सुसंगत हल नहीं हो सकता है, जिस स्थिति में एक इष्टतम हल का अस्तित्व नहीं होता है।

यह कथन गलत है।

सही कथन: (A), (B) और (C)

अतः विकल्प (2) सही उत्तर है।

Top LPP, Simplex Methods, Duality MCQ Objective Questions

एक m × n परिवहन समस्या का एक मूल सुसंगत हल अनपभ्र्ष्ट कहा जाता है, यदि मूल सुसंगत हल में ______ स्थितियों में व्यक्तिगत आवंटन की संख्या _______ होती है।

  1. m + n + 1, स्वतंत्र
  2. m + n – 1, स्वतंत्र
  3. m + n – 1, उपयुक्त
  4. m – n + 1, स्वतंत्र

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : m + n – 1, स्वतंत्र

LPP, Simplex Methods, Duality Question 6 Detailed Solution

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संकल्पना:

परिवहन समस्या रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या का महत्वपूर्ण हिस्सा है जिसे आपूर्ति के आवश्यक स्रोतों के लिए मांग के अनुरूप गंतव्य तक जोड़ा जा सकता है, अंतिम लक्ष्य के साथ कि कुल परिवहन लागत सीमित हो।

स्पष्टीकरण:

प्रारंभिक मूल सुसंगत हल के रूप में किसी भी परिवहन समस्या का आवश्यक चरण।

  • प्रारंभिक मूल सुसंगत हल, सुसंगत होना चाहिए यानी इसे सभी आपूर्ति और मांग प्रतिबंधों को पूरा करना चाहिए।
  • धनात्मक आवंटन की संख्या m+n-1 के बराबर होनी चाहिए जहाँ m पंक्तियों की संख्या है और n स्तंभों की संख्या है।


अनपभ्र्ष्ट मूल सुसंगत हल: एक मूल सुसंगत हल अनपभ्र्ष्ट होता है यदि इसमें व्यक्तिगत स्थितियों में बिल्कुल m+n-1 धनात्मक आवंटन होता है। यदि आवंटन आवश्यक संख्या से कम हैं, तो इसे भ्र्ष्ट मूल सुसंगत हल के रूप में जाना जाता है। इस हल को संशोधित करना आसान नहीं है, क्योंकि प्रत्येक भरे हुए सेल के लिए एक बंद लूप बनाना असंभव है।

निम्नलिखित रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या (LPP) पर विचार करें:

z = x1 + x2 को अधिकतम करें

निम्नलिखित प्रतिबंधों के अधीन:

x1 + 2x2 ≤ 2000

x1 + x2 ≤ 1500

x2 ≤ 600

और x1, x2 ≥ 0

उपरोक्त LPP का हल है:

  1. x1 = 750, x2 = 750, z = 1500
  2. x1 = 500, x2 = 1000, z = 1500
  3. x1 = 1000, x2 = 500, z = 1500
  4. x1 = 900, x2 = 600, z = 1500

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : x1 = 1000, x2 = 500, z = 1500

LPP, Simplex Methods, Duality Question 7 Detailed Solution

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विकल्पों के अनुसार जाँच करते हैं:

1) x1 = 750, x2 = 750, z = 1500

z = x1 + x2 को अधिकतम करें

x1 + 2x2 ≤ 2000 -----(1)

x1 + x2 ≤ 1500 -----(2)

x2 ≤ 600 -----(3)

और x1, x2 ≥ 0

जाँचते हैं कि विकल्प में दिए गए मान इन समीकरणों को संतुष्ट करते हैं या नहीं।

750 + 2 × 750 ≤ 2000

2250 ≤ 2000 [गलत]

इसलिए, यह विकल्प सही नहीं है।

2) x1 = 500, x2 = 1000, z = 1500

x1 और x2 के मान समीकरण (1) में रखते हैं।

500 + 2 × 1000 ≤ 2000

2500 ≤ 2000 [गलत]

विकल्प गलत है।

3) x1 = 1000, x2 = 500, z = 1500

x1 और x2 के मान समीकरण (1) में रखते हैं।

1000 + 2 × 500 ≤ 2000

2000 ≤ 2000 [सही]

समीकरण (2) के लिए, 1000 + 500 ≤ 1500 [सही]

समीकरण (3) के लिए, 500 ≤ 600 [सही]

z को अधिकतम करने के लिए = x1 + x2 = 1000 + 500 = 1500 [सही]

यह सभी समीकरणों को संतुष्ट करता है।

4) x1 = 900, x2 = 600, z = 1500

मानों को समीकरण (1) में रखते हैं,

900 + 2 × 600 ≤ 2000

2100 ≤ 2000 [गलत]

विकल्प गलत है।

रैखिक प्रोगामन समरस्या पर विचार करें

x + 3y को अधिकतमीकृत करें यदि A(xy) ≤ b,

जहां A = (1101111201) तथा b = (155140)हैं।

निम्न वक्तव्यों में से कौन-सा सत्य है?

  1. उद्देश्य फलन का सुसंगत क्षेत्र में उच्चतम (05) पर मिलता है।
  2. उद्देश्य फलन का सुसंगत क्षेत्र में उच्चतम (23) पर मिलता है।
  3. उद्देश्य फलन का सुसंगत क्षेत्र में उच्चतम (10) पर मिलता है।
  4. उद्देश्य फलन का सुसंगत क्षेत्र में उच्चतम (140) पर नहीं है।

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : उद्देश्य फलन का सुसंगत क्षेत्र में उच्चतम (140) पर नहीं है।

LPP, Simplex Methods, Duality Question 8 Detailed Solution

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व्याख्या:

x + 3y को अधिकतम करें, A(xy) ≤ b के अधीन,

जहां A = (1101111201) और b = (155140)

इसलिए व्यवरोध हैं

-x - y ≤ -1...(i)

y ≤ 5...(ii)

-x + y ≤ 5...(iii)

x + 2y ≤ 14...(iv)

-y ≤ 0 ...(v)

मान लीजिए z = x + 3y....(vi)

हम जानते हैं कि अधिकतम समाधान हमेशा सभी व्यवरोधों को संतुष्ट करता है।

(1): उद्देश्य फलन संभाव्य क्षेत्र में (05) पर अपना अधिकतम मान प्राप्त करता है।

x = 0, y = 5 रखने पर हम सत्यापित कर सकते हैं कि यह (i) से (v) तक की सभी व्यवरोधों को संतुष्ट करता है

-0 - 5 < -1 इसलिए (i) संतुष्ट होता है। इसी तरह सभी व्यवरोध संतुष्ट होती हैं।

यहां z = 0 + 3 × 5 = 15

इसलिए यह एक अधिकतम समाधान हो सकता है।

(2): उद्देश्य फलन संभाव्य क्षेत्र में (23) पर अपना अधिकतम मान प्राप्त करता है।

x = -2, y = 3 रखने पर हम सत्यापित कर सकते हैं कि यह (i) से (v) तक की सभी व्यवरोधों को संतुष्ट करता है

यहां z = -2 + 3 x 3 = 7, जो अधिकतम समाधान नहीं हो सकता है क्योंकि 15 > 7

इसलिए विकल्प (2) सही नहीं हो सकता है

(3): उद्देश्य फलन संभाव्य क्षेत्र में (10) पर अपना अधिकतम मान प्राप्त करता है।

x = 1, y = 0 रखने पर हम सत्यापित कर सकते हैं कि यह (i) से (v) तक की सभी व्यवरोधों को संतुष्ट करता है

यहां z = 1 + 3 × 0 = 1, जो अधिकतम समाधान नहीं हो सकता है क्योंकि 15 > 1

इसलिए विकल्प (3) सही नहीं हो सकता है

(4): x = 14, y = 0 रखने पर हम सत्यापित कर सकते हैं कि यह (i) से (v) तक की सभी व्यवरोधों को संतुष्ट करता है

यहां z = 14 + 3 × 0 = 14, जो अधिकतम समाधान नहीं हो सकता है क्योंकि 15 > 14

इसलिए उद्देश्य फलन संभाव्य क्षेत्र में (140) पर अपना अधिकतम मान प्राप्त नहीं करता है।

इसलिए विकल्प (4) सही विकल्प है

जब |x| + |y| 1 हो तो 5x + 7y के अधिकतम तथा न्यूनतम मान है

  1. 5 तथा -5
  2. 5 तथा -7
  3. 7 तथा -5
  4. 7 तथा -7

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 7 तथा -7

LPP, Simplex Methods, Duality Question 9 Detailed Solution

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व्याख्या:

F1 Vinanti Teaching 26.04.23 D3

यहाँ कोनों के बिंदु हैं

(1, 0), (0, 1), (-1, 0) & (0, -1)

माना z = 5x + 7y, इसलिए

z(1, 0) = 5, z(0, 1) = 7, z(-1, 0) = - 5, z(0, -1) = -7

इसलिए अधिकतम मान 7 है और न्यूनतम मान -7 है
विकल्प (4) सही है

निम्नलिखित रैखिक अनुकूलन समस्या पर विचार करें:

अधिकतम मान Z = 6x + 5y

2x ‐ 3y <= 5 के अधीन

x + 3y <= 11

4x + y <=15

तथा x>= 0, y >= 0

समस्या का इष्टतम हल है:

  1. 15
  2. 25
  3. 31.72
  4. 41.44

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 31.72

LPP, Simplex Methods, Duality Question 10 Detailed Solution

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  • 2x - 3y <= 5 से, यदि हम x = 0 रखते हैं, तो y = -(5/3) और यदि हम y = 0 रखते हैं, तो x = 5/2 होगा। इसलिए, हमें (0, -1.67) और (2.5, 0) प्राप्त होते हैं।
    नोट - (हम (0, -1.67) को अस्वीकृत कर देंगे क्योंकि यहाँ y < 0 है)।
  • x + 3y <= 11 से, यदि हम x = 0 रखें, तो y = 11/3 और यदि हम y = 0 रखें, तो x = 11 होगा। अतः, हमें (0, 3.67) और (11, 0) प्राप्त होते हैं।
    नोट - (बिंदु (11, 0) को अस्वीकृत कर दिया जाएगा क्योंकि यह नीचे दिए गए ग्राफ में छायांकित क्षेत्र से बाहर है)।
  • 4x + y <= 15 से, यदि हम x = 0 रखते हैं, तो y = 15 और यदि हम y = 0 रखते हैं, तो x = 15/4 होगा। इसलिए, हमें (0, 15) और (3.75, 0) मिलते हैं।
  • अब हम इन बिंदुओं का उपयोग करके ग्राफ तैयार करेंगे।
    Screenshot 2022-12-09 at 2.51.02 PM
  • हमारा अधिकतम मान छायांकित क्षेत्र ABCDE में है।
  • A, B और C कोनीय बिंदु हैं जबकि D और E प्रतिच्छेद बिंदु हैं। हमें प्रतिच्छेद बिंदु खोजने की आवश्यकता है।
  • बिंदु D को खोजने के लिए, हम 4x + y <= 15 और x + 3y <= 11 का उपयोग करेंगे। हम x + 3y <= 11 को 4 से गुणा करेंगे और इसे 4x + y <= 15 से घटाएँगे। हमें y = 29/11 मिलेगा। हम इस y को 4x + y <= 15 में रखने पर और x = 34/11 प्राप्त करेंगे। इसलिए, बिंदु D = (34/11, 29/11) = (3.09, 2.63) है।
  • इसी तरह, बिंदु E के लिए, हमें 4x + y <= 15 और 2x - 3y <= 5 की आवश्यकता है। हमें x = 25/7 और y = 5/7 मिलेगा। इसलिए, बिंदु E = (25/7, 5/7) = (3.57, 0.71) है
  • अब हम बिंदु A, B, C, D और E के सभी मानों को z = 6x + 5y में रखेंगे और z का मान प्राप्त करेंगे:
    • A(0, 3.67) = 18.35
    • B(0, 0) = 0
    • C(2.5, 0) = 15
    • D(3.09, 2.63) = 31.69
    • E(3.57, 0.71) = 24.97
  • हम देख सकते हैं कि बिंदु D(3.09, 2.63) का मान अधिकतम है। इसलिए, 31.69 ~ 31.72 उत्तर है।

निम्नलिखित रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या (LPP) पर विचार कीजिए:

न्यूनतम Z = 2x1 + x2 + 3x3

निम्न के अंर्तगत:

x1 - 2x2 + x3 ≥ 4

2x1 + x2 + x3 ≤ 8

x1 - x3 ≥ 0

x1, x2, x3 ≥ 0

द्वि-संकेतन (सिम्प्लेक्स) विधि का उपयोग करके इस रैखिक प्रोग्रामन समस्या का हल दीजिए। 

  1. x1 = 0, x2 = 0, x3 = 3 और Z = 9 
  2. x1​ = 0, x2 = 6, x3 = 0 और Z = 6
  3. x1​ = 4, x2 = 0, x3 = 0 और Z = 8
  4. x1​ = 2, x2 = 0, x3 = 2 और Z = 10

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : x1​ = 4, x2 = 0, x3 = 0 और Z = 8

LPP, Simplex Methods, Duality Question 11 Detailed Solution

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सही उत्तर विकल्प 3 है।

स्पष्टीकरण:

Z = 2x1 + x2 + 3x3+0s1+0s2+0s3

x1 - 2x2 + x3+s1=-4

2x1 + x2 + x3 +s2=8

x1 - x3+s3= 0


   -2 -1 -3 0 0 0   Xb
--------------------------------
s1  -1 2 -1 1 0 0   -4
s2   2 1 1  0 1 0   8
s3  -1 0 0  0 0 1   0
-------------------------------
zj   0 0 0  0 0 0
----------------------------------
cj-zj -2 -1 -3 0 0 0
अनुपात  2 -1/2 3 0 0 0

---------------------------------------
सबसे छोटा ऋणात्मक छोड़ें, जो कि -4 है, 
अनुपात में सबसे छोटी धनात्मक संख्या 2 है, इसलिए, X1 प्रवेश करता है और s1 निकल जाता है। 

      -2  -1 -3  0  0  0  
-----------------------------------
-2x1  1  -2  1  -1  0   0   4
0S2   0  5   -1  2  1   0   0 
0s3   0  -2   2  -1  0  1   4
------------------------------------
Zj   -2   4  -2  2  0  0
cj-zj 0  -5   -1 -2  0  0
------------------------------------

यदि सभी प्रविष्टियाँ x3> = 0 हैं, तो हम इष्टतम तालिका प्राप्त करते हैं।
अतः x1=4, x2=0, x3=0 

न्यूनतम Z=2x1+x2+3x3
z=8
∴ अतः सही उत्तर x1​ = 4, x2 = 0, x3 = 0 और  Z = 8 है

LPP, Simplex Methods, Duality Question 12:

एक कंपनी शैक्षिक खिलौने बनाती है और एक सप्ताह के लिए उसकी लागत समीकरण C = 300 + 1.5 x है और उसकी राजस्व समीकरण R = 2 x है, जहाँ x एक सप्ताह में बेचे गए खिलौनों की संख्या है। कंपनी को लाभ कमाने के लिए प्रति सप्ताह कितने खिलौने बेचने होंगे?

  1. 750 से अधिक
  2. 900 से अधिक
  3. 600 से अधिक
  4. 825 से अधिक

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 600 से अधिक

LPP, Simplex Methods, Duality Question 12 Detailed Solution

प्रयुक्त सूत्र

लाभ = राजस्व - लागत

स्पष्टीकरण:

दिया गया है

लागत समीकरण, C = 300 + 1.5x

राजस्व समीकरण, R = 2x

लाभ = राजस्व - लागत

⇒ लाभ = 2x - (300 + 1.5x)

लाभ = 0.5x - 300

लाभ कमाने के लिए, लाभ > 0

0.5x - 300 > 0

0.5x > 300

x > 600

इसलिए, कंपनी को लाभ कमाने के लिए प्रति सप्ताह 600 से अधिक खिलौने बेचने होंगे।

विकल्प 3 सही है। 

LPP, Simplex Methods, Duality Question 13:

एक m × n परिवहन समस्या का एक मूल सुसंगत हल अनपभ्र्ष्ट कहा जाता है, यदि मूल सुसंगत हल में ______ स्थितियों में व्यक्तिगत आवंटन की संख्या _______ होती है।

  1. m + n + 1, स्वतंत्र
  2. m + n – 1, स्वतंत्र
  3. m + n – 1, उपयुक्त
  4. m – n + 1, स्वतंत्र

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : m + n – 1, स्वतंत्र

LPP, Simplex Methods, Duality Question 13 Detailed Solution

संकल्पना:

परिवहन समस्या रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या का महत्वपूर्ण हिस्सा है जिसे आपूर्ति के आवश्यक स्रोतों के लिए मांग के अनुरूप गंतव्य तक जोड़ा जा सकता है, अंतिम लक्ष्य के साथ कि कुल परिवहन लागत सीमित हो।

स्पष्टीकरण:

प्रारंभिक मूल सुसंगत हल के रूप में किसी भी परिवहन समस्या का आवश्यक चरण।

  • प्रारंभिक मूल सुसंगत हल, सुसंगत होना चाहिए यानी इसे सभी आपूर्ति और मांग प्रतिबंधों को पूरा करना चाहिए।
  • धनात्मक आवंटन की संख्या m+n-1 के बराबर होनी चाहिए जहाँ m पंक्तियों की संख्या है और n स्तंभों की संख्या है।


अनपभ्र्ष्ट मूल सुसंगत हल: एक मूल सुसंगत हल अनपभ्र्ष्ट होता है यदि इसमें व्यक्तिगत स्थितियों में बिल्कुल m+n-1 धनात्मक आवंटन होता है। यदि आवंटन आवश्यक संख्या से कम हैं, तो इसे भ्र्ष्ट मूल सुसंगत हल के रूप में जाना जाता है। इस हल को संशोधित करना आसान नहीं है, क्योंकि प्रत्येक भरे हुए सेल के लिए एक बंद लूप बनाना असंभव है।

LPP, Simplex Methods, Duality Question 14:

निम्नलिखित रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या (LPP) पर विचार करें:

z = x1 + x2 को अधिकतम करें

निम्नलिखित प्रतिबंधों के अधीन:

x1 + 2x2 ≤ 2000

x1 + x2 ≤ 1500

x2 ≤ 600

और x1, x2 ≥ 0

उपरोक्त LPP का हल है:

  1. x1 = 750, x2 = 750, z = 1500
  2. x1 = 500, x2 = 1000, z = 1500
  3. x1 = 1000, x2 = 500, z = 1500
  4. x1 = 900, x2 = 600, z = 1500

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : x1 = 1000, x2 = 500, z = 1500

LPP, Simplex Methods, Duality Question 14 Detailed Solution

विकल्पों के अनुसार जाँच करते हैं:

1) x1 = 750, x2 = 750, z = 1500

z = x1 + x2 को अधिकतम करें

x1 + 2x2 ≤ 2000 -----(1)

x1 + x2 ≤ 1500 -----(2)

x2 ≤ 600 -----(3)

और x1, x2 ≥ 0

जाँचते हैं कि विकल्प में दिए गए मान इन समीकरणों को संतुष्ट करते हैं या नहीं।

750 + 2 × 750 ≤ 2000

2250 ≤ 2000 [गलत]

इसलिए, यह विकल्प सही नहीं है।

2) x1 = 500, x2 = 1000, z = 1500

x1 और x2 के मान समीकरण (1) में रखते हैं।

500 + 2 × 1000 ≤ 2000

2500 ≤ 2000 [गलत]

विकल्प गलत है।

3) x1 = 1000, x2 = 500, z = 1500

x1 और x2 के मान समीकरण (1) में रखते हैं।

1000 + 2 × 500 ≤ 2000

2000 ≤ 2000 [सही]

समीकरण (2) के लिए, 1000 + 500 ≤ 1500 [सही]

समीकरण (3) के लिए, 500 ≤ 600 [सही]

z को अधिकतम करने के लिए = x1 + x2 = 1000 + 500 = 1500 [सही]

यह सभी समीकरणों को संतुष्ट करता है।

4) x1 = 900, x2 = 600, z = 1500

मानों को समीकरण (1) में रखते हैं,

900 + 2 × 600 ≤ 2000

2100 ≤ 2000 [गलत]

विकल्प गलत है।

LPP, Simplex Methods, Duality Question 15:

रैखिक प्रोगामन समरस्या पर विचार करें

x + 3y को अधिकतमीकृत करें यदि A(xy) ≤ b,

जहां A = (1101111201) तथा b = (155140)हैं।

निम्न वक्तव्यों में से कौन-सा सत्य है?

  1. उद्देश्य फलन का सुसंगत क्षेत्र में उच्चतम (05) पर मिलता है।
  2. उद्देश्य फलन का सुसंगत क्षेत्र में उच्चतम (23) पर मिलता है।
  3. उद्देश्य फलन का सुसंगत क्षेत्र में उच्चतम (10) पर मिलता है।
  4. उद्देश्य फलन का सुसंगत क्षेत्र में उच्चतम (140) पर नहीं है।

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : उद्देश्य फलन का सुसंगत क्षेत्र में उच्चतम (140) पर नहीं है।

LPP, Simplex Methods, Duality Question 15 Detailed Solution

व्याख्या:

x + 3y को अधिकतम करें, A(xy) ≤ b के अधीन,

जहां A = (1101111201) और b = (155140)

इसलिए व्यवरोध हैं

-x - y ≤ -1...(i)

y ≤ 5...(ii)

-x + y ≤ 5...(iii)

x + 2y ≤ 14...(iv)

-y ≤ 0 ...(v)

मान लीजिए z = x + 3y....(vi)

हम जानते हैं कि अधिकतम समाधान हमेशा सभी व्यवरोधों को संतुष्ट करता है।

(1): उद्देश्य फलन संभाव्य क्षेत्र में (05) पर अपना अधिकतम मान प्राप्त करता है।

x = 0, y = 5 रखने पर हम सत्यापित कर सकते हैं कि यह (i) से (v) तक की सभी व्यवरोधों को संतुष्ट करता है

-0 - 5 < -1 इसलिए (i) संतुष्ट होता है। इसी तरह सभी व्यवरोध संतुष्ट होती हैं।

यहां z = 0 + 3 × 5 = 15

इसलिए यह एक अधिकतम समाधान हो सकता है।

(2): उद्देश्य फलन संभाव्य क्षेत्र में (23) पर अपना अधिकतम मान प्राप्त करता है।

x = -2, y = 3 रखने पर हम सत्यापित कर सकते हैं कि यह (i) से (v) तक की सभी व्यवरोधों को संतुष्ट करता है

यहां z = -2 + 3 x 3 = 7, जो अधिकतम समाधान नहीं हो सकता है क्योंकि 15 > 7

इसलिए विकल्प (2) सही नहीं हो सकता है

(3): उद्देश्य फलन संभाव्य क्षेत्र में (10) पर अपना अधिकतम मान प्राप्त करता है।

x = 1, y = 0 रखने पर हम सत्यापित कर सकते हैं कि यह (i) से (v) तक की सभी व्यवरोधों को संतुष्ट करता है

यहां z = 1 + 3 × 0 = 1, जो अधिकतम समाधान नहीं हो सकता है क्योंकि 15 > 1

इसलिए विकल्प (3) सही नहीं हो सकता है

(4): x = 14, y = 0 रखने पर हम सत्यापित कर सकते हैं कि यह (i) से (v) तक की सभी व्यवरोधों को संतुष्ट करता है

यहां z = 14 + 3 × 0 = 14, जो अधिकतम समाधान नहीं हो सकता है क्योंकि 15 > 14

इसलिए उद्देश्य फलन संभाव्य क्षेत्र में (140) पर अपना अधिकतम मान प्राप्त नहीं करता है।

इसलिए विकल्प (4) सही विकल्प है

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