महत्तम समापवर्तक MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for HCF - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

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p(x) = 2x³ – 3x² – 2x + 3 और q(x) = 3x² + 8x + 5

सिद्धांत:

दो या अधिक समीकरणों का महत्तम समापवर्त्य उच्चतम गुणनखंड होता है जो उनमें से प्रत्येक को पूर्णतः विभाजित करता है। 

गणना:

p(x) = 2x³ – 3x² – 2x + 3 के गुणनखंड

⇒ x² × (2x – 3) – 1 × (2x – 3)

⇒ (x² – 1) × (2x – 3)

⇒ (x – 1) × (x + 1) × (2x – 3)

और, q(x) = 3x² + 8x + 5 के गुणनखंड

⇒ 3x² + 5x + 3x + 5

⇒ x × (3x + 5) + 1 × (3x + 5)

⇒ (3x + 5) × (x + 1)

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1120 और 1470 का महत्तम समापवर्तक (HCF) 1120x − 1470 × (3) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

प्रयुक्त सूत्र:

HCF को ax + by के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ a और b पूर्णांक हैं।

गणना:

चरण 1: यूक्लिडीय एल्गोरिथम का उपयोग करके 1120 और 1470 का HCF ज्ञात कीजिए।

1470 ÷ 1120 = 1 शेषफल 350

1120 ÷ 350 = 3 शेषफल 70

350 ÷ 70 = 5 शेषफल 0

HCF = 70

चरण 2: HCF को 1120x − 1470 × 3 के रूप में निरूपित कीजिए।

1120x − 1470 × 3 = 70

⇒ 1120x = 70 + 1470 × 3

⇒ 1120x = 70 + 4410

⇒ 1120x = 4480

⇒ x = 4480 ÷ 1120

⇒ x = 4

x का मान 4 है।

दिया गया है:

संख्याएँ: \(4\frac{1}{5}\), \(5\frac{2}{7}\), \(7\frac{4}{9}\)

प्रयुक्त सूत्र:

भिन्नों का महत्तम समापवर्तक (HCF) = अंशों का महत्तम समापवर्तक / हरों का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM)

गणना:

मिश्र भिन्नों को विषम भिन्नों में बदलें:

\(4\frac{1}{5}\) = (4 × 5 + 1)/5 = 21/5

\(5\frac{2}{7}\) = (5 × 7 + 2)/7 = 37/7

\(7\frac{4}{9}\) = (7 × 9 + 4)/9 = 67/9

अंश और हर निकालें:

अंश: 21, 37, 67

हर: 5, 7, 9

अंशों का महत्तम समापवर्तक ज्ञात करें:

HCF(21, 37, 67) = 1 (चूँकि सभी सह-अभाज्य हैं)

हरों का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करें:

LCM(5, 7, 9):

अभाज्य गुणनखंड:

5 = 5¹

7 = 7¹

9 = 3²

LCM = 5¹ × 7¹ × 3² = 315

HCF = अंशों का HCF / हरों का LCM

HCF = 1 / 315

\(4\frac{1}{5}\), \(5\frac{2}{7}\), और \(7\frac{4}{9}\) का HCF 1/315 है।

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पहली श्रेणी का तेल = 506 लीटर

दूसरी श्रेणी का तेल = 529 लीटर

तीसरी श्रेणी का तेल = 575 लीटर

प्रयुक्त सूत्र:

समान आकार की बोतलों की न्यूनतम संभव संख्या ज्ञात करने के लिए, हम दी गई मात्राओं का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करते हैं।

गणना:

506, 529 और 575 का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करना:

506 का अभाज्य गुणनखंडन: 2 × 11 × 23

529 का अभाज्य गुणनखंडन: 23 × 23

575 का अभाज्य गुणनखंडन: 5 × 5 × 23

सार्व गुणनखंड = 23

महत्तम समापवर्तक (HCF) = 23

अभीष्ट बोतलों की संख्या = कुल मात्रा / महत्तम समापवर्तक (HCF)

पहली श्रेणी के लिए: 506 ÷ 23 = 22 बोतलें

दूसरी श्रेणी के लिए: 529 ÷ 23 = 23 बोतलें

तीसरी श्रेणी के लिए: 575 ÷ 23 = 25 बोतलें

⇒ कुल बोतलें = 22 + 23 + 25 = 70

∴ सही उत्तर विकल्प (2) है।

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नीम के पेड़ = 52

ओक के पेड़ = 78

बरगद के पेड़ = 104

प्रयुक्त सूत्र:

पंक्तियों की संख्या = कुल पेड़ / पेड़ों का महत्तम समापवर्तक (GCD)

गणना:

52, 78 और 104 का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात कीजिए:

52 के अभाज्य गुणनखंड = 2 × 2 × 13

78 के अभाज्य गुणनखंड = 2 × 3 × 13

104 के अभाज्य गुणनखंड = 2 × 2 × 2 × 13

उभयनिष्ठ गुणनखंड = 2 × 13 = 26

⇒ HCF = 26

नीम के पेड़ों की पंक्तियों की संख्या = 52 / 26 = 2

ओक के पेड़ों की पंक्तियों की संख्या = 78 / 26 = 3

बरगद के पेड़ों की पंक्तियों की संख्या = 104 / 26 = 4

कुल पंक्तियाँ = 2 + 3 + 4 = 9

∴ सही उत्तर विकल्प 2 है।

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लकड़ी₁ की लंबाई = 143 मीटर

लकड़ी2 की लंबाई = 78 मीटर

लकड़ी3 की लंबाई = 117 मीटर

गणना:

प्रत्येक तख़्त की अधिकतम संभव लंबाई = 143, 78 और 117 का महत्तम समापवर्तक

143 = 13 × 11

78 = 13 × 2 × 3

117 = 13 × 3 × 3 

महत्तम समापवर्तक 13 है।

∴ प्रत्येक तख़्त की सबसे बड़ी संभव लंबाई 13 मीटर है।

दिया है:

दो संख्याओं का योग 288 है और उनका महत्तम समापवर्त्य 16 है।

गणना:

माना दो संख्याओं का अनुपात x : y है

इसलिए संख्याएँ 16x और 16y होंगी (म.स.प. एक संख्या का अभिन्न अंग है)

प्रश्नानुसार

16x + 16y = 288

⇒ 16(x + y) = 288

⇒ x + y = 18

x, y के जोड़े (1, 17) (5, 13) (7, 11) हो सकते हैं

इसलिए केवल 3 जोड़े हो सकते हैं।

∴ सही चयन विकल्प 1 है।

दिया गया है:

संख्याओं का अनुपात = 7 : 11

महत्तम समापवर्तक = 28

गणना:

माना संख्याएं 7x और 11x हैं

7x और 11x का महत्तम समापवर्तक x है

महत्तम समापवर्तक = x = 28

संख्याएं 7 × 28 और 11 × 28 होगी

⇒ संख्याएं 196 और 308 होगी

संख्याओं का योग = 196 + 308

⇒ संख्याओं का योग = 504

∴ संख्याओं का योग 504 है

Shortcut Trick 

ध्यान दें कि दो संख्याओं का योग पूछा गया है।

माना कि संख्याएँ 7x और 11x हैं।

संख्याएँ का योग कीजिये:

7x + 11x

⇒ 18x

अब देखिए, अंतिम संख्या 18 का गुणज होनी चाहिए, इसलिए विकल्पों में केवल 504, 18 का गुणज है।

∴ दो संख्याओं का योग 504 है।

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(4315 − 1) और (425 − 1)

प्रयुक्त अवधारणा:

(a^m − 1) और (aⁿ − 1) का महत्तम समापवर्तक (a^{म.स.प. (m,n)} − 1) है।

गणनाः

म.स.प (315, 25) = 5

अवधारणा के अनुसार,

म.स.प {(4315 − 1), (425 − 1)} 

= (4^{म.स.प. (315, 25)} − 1)

= (4⁵ − 1)

= 1024 − 1

= 1023

अतः, अभीष्ट मान 1023 है।

दिया गया है:

(x3 + x2 + x + 1) और (x4 - 1) का महत्तम समापवर्तक है।

गणना:

⇒  (x3 + x2 + x + 1) = x2(x + 1) + 1(x + 1)

⇒ (x + 1) (x2 + 1)

⇒ x4 – 1 = (x2 – 1) (x2 + 1)

⇒ (x + 1) (x – 1) (x2 + 1)

∴ अभीष्ट महत्तम समापवर्तक (x + 1) (x2 + 1) है।

दिया गया है:

दो संख्याओं का गुणनफल 1521 है और इन संख्याओं का म.स.प. 13 है।

सिद्धांत:
म.स.प.: महत्तम समापवर्तक (म.स.प.) दो संख्याओं के सभी समापर्वतकों में से सबसे बड़ी संख्या का चयन करके ज्ञात किया जाता है।

गणना:

माना संख्याएँ 13a और 13b हैं जैसा की इन संख्याओं का म.स.प. 13 है।

हम लिख सकते है:

13a × 13b = 1521

⇒ ab = 9

∴ एकमात्र संभव युग्म 13, 117 है

Mistake Pointsयहाँ हम a = 3 और b = 3 पर विचार नहीं करेंगे।

तब संख्या 39 और 39 होगी।

यहां महत्तम समापवर्तक (म.स.प.) 39 होगा जो दी गई शर्त को पूरा नहीं करता है।

दिया गया है: 

दो धनात्मक संख्याओं का योग 240 है और उनका महत्तम समापवर्तक (HCF) 15 है।

गणना: 

मान लीजिए दो धनात्मक संख्याएँ 15x और 15y हैं। जहाँ x और y को अभाज्य होना चाहिए अर्थात x और y का HCH 1 होना चाहिए।

प्रश्न के अनुसार

संख्या का योग इस प्रकार है 

⇒ 15x + 15y = 240

⇒ x + y = 16

अब, हमें उन जोड़ियों की संख्या ज्ञात करनी है जिनमें दो संख्याओं का योग 16 है लेकिन उनके बीच कोई भी समापवर्त्य नहीं है, ऐसे जोड़े हैं

⇒ (1, 15) (3, 13) (5, 11) (7, 9)

∴ कुल संभावित जोड़े 4 हैं।

Confusion Points

हम (2, 14), (4, 12), (6, 10), (8, 8) नहीं ले सकते क्योंकि इन मामलों में जोड़ी सह अभाज्य होना चाहिए।

दिया गया है:

दो संख्याओं का गुणनफल 2160 है और उनका महत्तम समापवर्तक 12 है।

गणना:

मान लीजिये, संख्या x और y है।

प्रश्न के अनुसार,

12x × 12y = 2160

⇒ 144xy = 2160

⇒ xy = \(\dfrac{2160}{144}\) = 15

⇒ xy = 15

संभावित युग्म = (1 × 15) और (3 × 5)

∴ ऐसी संख्याओं के संभावित युग्मों की संख्या 2 है।

दिया है:

दो संख्याओं का म.स.प. 4 है और इन दोनों संख्याओं का योग 36 है।

प्रयुक्त संकल्पना:

म.स.प. की संकल्पना

म.स.प. दो या अधिक संख्याओं में महत्तम समापवर्त्य होता है।

गणना:

दो संख्याओं का म.स.प. 4 है।

माना वे दोनों संख्याएँ 4x और 4y हैं, जहाँ x और y एक दूसरे से अभाज्य हैं।

तदनुसार,

4x + 4y = 36

⇒ 4(x + y) = 36

⇒ (x + y) = 9

अब,

9 = 8 + 1

9 = 7 + 2

9 = 6 + 3

9 = 5 + 4

इन सभी स्थितियों में केवल (8,1); (7,2); और (5,4) एक दूसरे से अभाज्य हैं। इसलिए, ऐसे तीन युग्म संभव हैं।

∴ संख्याओं के ऐसे तीन युग्म संभव हैं।

दिया गया​ है

संख्याओं का अनुपात: 4 : 5 : 6

संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM): 180

अवधारणा:

जब तीन संख्याएँ a:b:c के अनुपात में हैं, और उनका लघुत्तम समापवर्त्य n है, तब उनका महत्तम समापवर्तक n/(abc) है।

हल:

संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (HCF) = 180/(4, 5 और 6) का लघुत्तम समापवर्त्य = 180/60 ⇒ 3

अतः उनका महत्तम समापवर्तक 3 है।
 
Alternate Methodसंख्याओं का अनुपात = 4 : 5 : 6

माना संख्याएँ 4x, 5x और 6x हैं, जहाँ x संख्याओं का HCF है।

इसलिए,

(4x, 5x, 6x) का LCM = 60x

60x = 180

इसलिए

x = 3 = संख्याओं का HCF

अतः 3 सही उत्तर है।