Group & Subgroups MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Group & Subgroups - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Apr 7, 2025
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n ≥ 1 के लिए, माना कि Sn, n प्रतीकों पर सभी क्रमचयों के समूह को दर्शाता है। निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Group & Subgroups Question 1 Detailed Solution
Download Solution PDFहल - Sn, n प्रतीकों पर सभी क्रमचयों के समूह को दर्शाता है।
इसलिए, विकल्प 1 गलत है
इसलिए, विकल्प 2) और विकल्प 3) भी गलत है
इसलिए, सही विकल्प (विकल्प 4) है।
X को अरिक्त समुच्चय मानें तथा P(X) को X के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय मानें। P(X) पर दो प्रचालन (ऑपरेशन) ⋆ तथा Δ निम्नवत परिभाषित करें:
A, B ∈ P(X) के लिए A ⋆ B = A ∩ B; AΔB = (A ∪ B)\(A ∩ B).
निम्न कथनों में से कौन-सा सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Group & Subgroups Question 2 Detailed Solution
Download Solution PDFव्याख्या:
मान लीजिये संक्रिया, Δ अर्थात, A, B ∈ P(X) ⇒ A Δ B = (A ∪ B) \ (A ∩ B) इसके लिए,
(i) संवृत: माना A, B ∈ P(x) तब A Δ B = (A ∪ B) \ (A ∩ B) ∈ P(X)
इसलिए, P(x) Δ के अंतर्गत संवृत है।
(ii) साहचर्यता: माना A, B, C ∈ P(x), तब (A Δ B) ΔC = ([(A ∪ B) \ (A ∩ B))] ∪ C) \[([A ∪ B) \ ((A ∩ B))] ∩ C)
A Δ (B Δ C) = (A ∪[(B ∪ C) | (B∩C)]) \ (A∩[(B∪C) | (B∩C)])
आकृतियों से आप देख सकते हैं,
(A Δ B) ΔC = A Δ (B Δ C)
(iii) तत्समक:
AΔϕ = (A ∪ ϕ) \ (A ∩ ϕ) = A \ ϕ = A
इसलिए, ϕ ∈ P(x) ऐसा है कि A Δ ϕ = A
(iv) प्रतिलोम:
A Δ A = (A ∪ A) \ (A ∩ A) = A \ A = ϕ
इसलिए, A ∈ P(x) के लिए, A-1 = A.
∴ P(x) Δ के अंतर्गत समूह है।
अब * संक्रिया के लिए, A * B = A ∩ B, A, B ∈ P(x)
मान लीजिये x = {1, 2, 3} तब P(x) = {ϕ, x, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}}
यहाँ, यदि हम लेते हैं, e = x
(∵ x ∩ A = A, A ∈ P(x))
लेकिन e = x के लिए, किसी भी A का प्रतिलोम, A ∈ P(x)
∵ A ∩ B ≠ x (किसी भी A, B ∈ P(x)A, B ≠ x के लिए)
इसलिए, P(x) (*) के अंतर्गत समूह नहीं है।
विकल्प (3) सही है।
Group & Subgroups Question 3:
क्रम 50 के चक्रीय समूह के उपसमूहों की संख्या ज्ञात कीजिए?
Answer (Detailed Solution Below)
Group & Subgroups Question 3 Detailed Solution
अवधारणा - चक्रीय समूह के क्रम n के उपसमूहों की संख्या
व्याख्या- क्रम 50 के चक्रीय समूह के उपसमूह की संख्या
इसलिए, सही विकल्प विकल्प 1 है।
Group & Subgroups Question 4:
माना कि G कोटि 2020 का एक समूह है। निम्नलिखित में से कौन-सा कथन अनिवार्यतः सत्य है?
Answer (Detailed Solution Below)
Group & Subgroups Question 4 Detailed Solution
Group & Subgroups Question 5:
मान लीजिए कि G एक परिमित समूह है और G के केवल दो प्रसामान्य उपसमूह {e} और G स्वयं हैं तो यह एक ______________ होता है।
Answer (Detailed Solution Below)
Group & Subgroups Question 5 Detailed Solution
व्याख्या:
G एक सरल समूह है।
एक सरल समूह एक अतुच्छ समूह होता है, जिसका एकमात्र प्रसामान्य उपसमूह तुच्छ समूह और स्वयं समूह होता है।
इस परिभाषा के अनुसार, मान लीजिए कि G एक परिमित समूह है और G के केवल दो प्रसामान्य उपसमूह {e} और G स्वयं हैं, तो यह एक सरल समूह होता है।
Group & Subgroups Question 6:
यदि समूह O(G) की कोटि = 45 है, तब निम्नलिखित में से कौन सा विकल्प सत्य नहीं है?
Answer (Detailed Solution Below)
Group & Subgroups Question 6 Detailed Solution
स्पष्टीकरण -
O(G) = 45 = 9.5 = 32.5
स्पष्टत: 3 - SSG और 5 - SSG अद्वितीय है, अतः, प्रसामान्य है।
इसलिए, विकल्प (1) और (2) सत्य है।
कोटि 45 का प्रत्येक समूह, समूह
अतः, सदैव आबेली है लेकिन चक्रीय नहीं है।
इसलिए, विकल्प (3) सत्य है और विकल्प (4) सत्य नहीं है।
Group & Subgroups Question 7:
माना कि G एक परिमित समूह है। तो G अनिवार्यतः एक चक्रीय समूह है यदि G की कोटि है:
Answer (Detailed Solution Below)
Group & Subgroups Question 7 Detailed Solution
अवधारणा:
अभाज्य क्रम का प्रत्येक समूह चक्रीय है
अर्थात यदि G, p कोटि का एक समूह है, जहाँ p अभाज्य है तो G चक्रीय है।
स्पष्टीकरण:
दिए गए विकल्पों में,
7 अभाज्य संख्या है
इसलिए, यदि O(G) = 7 है तो G चक्रीय है।
अतः सही विकल्प, विकल्प (2) है।
Group & Subgroups Question 8:
निम्नलिखित में से कौन सा विकल्प सही नहीं है?
Answer (Detailed Solution Below)
Group & Subgroups Question 8 Detailed Solution
अवधारणा -
यदि
स्पष्टीकरण -
विकल्प (1) -
O(G) = 21 = 3.7 = 3 | 7-1
अतः, यह सत्य है।
विकल्प (2) -
O(G) = 22 = 2.11 = 2 | 11-1
अतः, यह सत्य है।
विकल्प (3) -
O(G) = 55 = 5.11 = 5 | 11-1
अतः, यह सत्य है।
अतः, सही विकल्प (4) है।
Group & Subgroups Question 9:
प्रत्येक चक्रीय समूह है
Answer (Detailed Solution Below)
Group & Subgroups Question 9 Detailed Solution
संकल्पना:
एक समूह (G, ∘) को एबेलियन समूह कहा जाता है यदि सभी a, b ∈ G के लिए a ∘ b = b ∘ a
स्पष्टीकरण:
माना G उत्पाद g ∈ G वाला एक चक्रीय समूह है अर्थात,, G = ⟨g⟩
माना a, b ∈ G है तब m, n ∈
a = gm, b = gn
अब,
ab = gmgn = gm+n = gn+m = gngm = ba
इसलिए, G एक एबेलियन समूह है।
विकल्प (2) सत्य है
Group & Subgroups Question 10:
(1 2 3) और (5 6 4 1) को गुणा कीजिए?
Answer (Detailed Solution Below)
Group & Subgroups Question 10 Detailed Solution
स्पष्टीकरण:
किसी भी समुच्चय पर परिभाषित सममित समूह वह समूह होता है जिसके अवयव समुच्चय से लेकर स्वयं तक सभी पर एकैकी आच्छादक होते हैं और जिसकी समूह संक्रिया फलनों का संयोजन है। विशेष रूप से, प्रतीकों के एक परिमित समुच्चय पर परिभाषित परिमित सममित समूह में वे क्रमचय शामिल होते हैं जिन्हें प्रतीकों पर निष्पादित किया जा सकता है।
ऐसी क्रमचय संक्रिया, सममित समूह की कोटि (अवयवों की संख्या)। है
सममित समूह का गुणन:
(1 2 3)
पहले क्रमचय अवयव के प्रतिबिम्ब
1 --> 2, 2 --> 3, 3 --> 1, 4 --> 4, 5 --> 5, 6 --> 6
(5 6 4 1)
दूसरे क्रमचय अवयव के प्रतिबिम्ब
1 --> 5, 2 --> 2, 3 --> 3, 4 --> 1, 5 --> 6, 6 --> 4
समूह के अवयव को गुणा करने के लिए
हमें पीछे से आगे की ओर प्रक्रिया करनी होगी
1 --> 5, 5 --> 5 इसलिए, क्रमचय के अंतर्गत 1 का प्रतिबिम्ब 5 है।
2 --> 2, 2 --> 3 इसलिए, क्रमचय के अंतर्गत 2 का प्रतिबिम्ब 3 है।
3 --> 3, 3 --> 1 इसलिए, क्रमचय के अंतर्गत 3 का प्रतिबिम्ब 1 है।
4 --> 1, 1 --> 2 इसलिए, क्रमचय के अंतर्गत 4 का प्रतिबिम्ब 2 है।
5 --> 6, 6 --> 6 इसलिए, क्रमचय के अंतर्गत 5 का प्रतिबिम्ब 6 है।
6 --> 4, 4 --> 4 इसलिए, क्रमचय के अंतर्गत 6 का प्रतिबिम्ब 4 है।
इसलिए, (1 2 3)(5 6 4 1) का गुणन = (1 5 6 4 2 3)