Fourier Transform MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Fourier Transform - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

एक फूरियर श्रेणी आवर्ती फलन f(x) का साइन और कोसाइन के अनंत योग के पदों में प्रसार है।

व्याख्या:

\(F(k) = \int_{ - \infty }^{+\infty}exp\, ({ikx})f(x) dx\)

∵ f(x) = exp (-x²)

\(F(k) = \int_{ - \infty }^{+\infty}exp (-x^2)exp\, ({ikx}) dx\)

\(= \int_{ - \infty }^{+\infty}exp (-x^2+{ikx}) dx\)

\(= \int_{ - \infty }^{+\infty}exp \left[-x^2+ikx-\frac{i^2k^2}{4}+\frac{i^2k^2}{4}\right] dx\)

= \(= \int_{ - \infty }^{+\infty}exp \left(\frac{i^2k^2}{4}\right) exp \left\{-\left(x-\frac{ik}{2}\right)^2 \right\}dx\)

= \(exp \left[i^2\frac{k^2}{4} \right] \int_{ - \infty }^{+\infty} exp \left\{-\left(x-\frac{ik}{2}\right)^2 \right\}dx\)

मान लीजिये, x - \(\frac{ik}{2}\) = y ⇒ dy = dx

∴ \(F(k)=exp \left(\frac{-k^2}{4}\right)\int_{ - \infty }^{+\infty} exp\left\{-y^2\right\}dy\)

∵ \(\int_{ - \infty }^{+\infty} exp\left\{-x^2\right\}dx=\sqrt{\pi}\)

इसलिए, F(k) = \(\sqrt{\pi}\,\,\,exp \left(-\frac{k^2}{4}\right) \)

सही उत्तर विकल्प (2) है।

संप्रत्यय:

एक फूरियर श्रेणी त्रिकोणमितीय फलनों के योग में एक आवर्त फलन का प्रसार है। फूरियर श्रेणी त्रिकोणमितीय श्रेणी का एक उदाहरण है, लेकिन सभी फूरियर श्रेणी त्रिकोणमितीय श्रेणी नहीं हैं

गणना:

f(t) = e^-t -π

f(t) = ∑ c_ne^int

∑ |c_n|² = \({1 \over 2 \pi} \int^{\pi}_{-\pi} e^{-2t} dt\)

= \({1 \over 2\pi}{e^{-2t} \over -2}|^{\pi}_{-\pi}\)

= \({1 \over 2\pi}\) sinh (2π)

सही उत्तर विकल्प (4) है।

• वृत्तीय संवलन, जिसे चक्रीय संवलन के रूप में भी जाना जाता है, आवर्ती सवलन की एक विशेष स्थिति है, जो दो आवर्ती फलनों का संवलन है जिनका आवर्त समान होता है
• काल क्षेत्र में संवलन आवृत्ति क्षेत्र में गुणन के बराबर है और इसके विपरीत आवृत्ति क्षेत्र में संवलन काल क्षेत्र में गुणन के बराबर है।
• यदि X(ω) और Y(ω), x(t) और y(t) के फूरियर रूपांतरण है तब

x(t) * y(t) = X(ω) × Y(ω)

• यदि X(s) और Y(s), x(t) और y(t) के लाप्लास रूपांतरण है, तब x(t) * y(t) = X(s) × Y(s)

• इसलिए दो असतत फूरियर रूपांतरण (DFTs) का गुणन काल-क्षेत्र में दो अनुक्रमों के सवलन के बराबर है।

फूरिये रूपांतरण:

इसका उपयोग किसी भी परिबन्धित निवेश और परिबन्धित उत्पाद ( BIBO ) सिग्नल के आवृत्ति विश्लेषण के लिए किया जाता है।

दिया गया है किसी फलन x(t) के लिए फूरिये रूपांतरण 

\(X\left( w \right) = \mathop \smallint \limits_{ - \infty }^{ + \infty } x\left( t \right){e^{ - jwt}}dt\)

दिया गया है किसी फलन X(w) के लिए व्युत्क्रम फूरिये रूपांतरण

\(x\left( t \right) = \frac{1}{{2\pi }}\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^{ + \infty } X\left( w \right){e^{jwt}}dw\)

गणना :

δ (w) का केवल t = 0 पर उपस्थित आवेग फलन  

तब इसका प्रतिलोम फूरिये रूपांतरण होगा

\(x\left( t \right) = \frac{1}{{2\pi }}\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^{ + \infty } \delta \left( w \right){e^{jwt}}dw\)

\(x\left( t \right) = \frac{1}{{2\pi }}{e^{jw0}}dw = \frac{1}{{2\pi }}\)

Important Points 

डेल्टा फलन एक सामान्यीकृत आवेग है, अर्थात, प्रतिदर्श संख्या में शून्य का मान एक होता है, जबकि अन्य सभी प्रतिदर्शों का मान शून्य होता है।

इसके कारण, डेल्टा फलन को सामान्यतः इकाई आवेग कहा जाता है।  

δ (t) का फूरिये रूपांतरण 1 है।  

संकल्पना:

हम जानते हैं कि

L{f(t)} = F(s) है, तो f(t) = L^-1F(s) है। 

गणना:

\({\rm{L}}\left( {\sin {\rm{at}}} \right) = \frac{{\rm{a}}}{{{{\rm{s}}^2} + {{\rm{a}}^2}}}\)

उसीप्रकार,

\({\rm{L}}\left( {\sin {\rm{\omega t}}} \right) = \frac{{\rm{\omega }}}{{{{\rm{s}}^2} + {{\rm{\omega }}^2}}}\)

∴ \({L^{ - 1}}\left( {\frac{1}{{{s^2} + {\omega ^2}}}} \right) = \frac{{\sin\omega t}}{\omega } = f\left( t \right)\) 

संकल्पना:

हम जानते हैं कि

L{f(t)} = F(s) है, तो f(t) = L^-1F(s) है। 

गणना:

\({\rm{L}}\left( {\sin {\rm{at}}} \right) = \frac{{\rm{a}}}{{{{\rm{s}}^2} + {{\rm{a}}^2}}}\)

उसीप्रकार,

\({\rm{L}}\left( {\sin {\rm{\omega t}}} \right) = \frac{{\rm{\omega }}}{{{{\rm{s}}^2} + {{\rm{\omega }}^2}}}\)

∴ \({L^{ - 1}}\left( {\frac{1}{{{s^2} + {\omega ^2}}}} \right) = \frac{{\sin\omega t}}{\omega } = f\left( t \right)\) 

• वृत्तीय संवलन, जिसे चक्रीय संवलन के रूप में भी जाना जाता है, आवर्ती सवलन की एक विशेष स्थिति है, जो दो आवर्ती फलनों का संवलन है जिनका आवर्त समान होता है
• काल क्षेत्र में संवलन आवृत्ति क्षेत्र में गुणन के बराबर है और इसके विपरीत आवृत्ति क्षेत्र में संवलन काल क्षेत्र में गुणन के बराबर है।
• यदि X(ω) और Y(ω), x(t) और y(t) के फूरियर रूपांतरण है तब

x(t) * y(t) = X(ω) × Y(ω)

• यदि X(s) और Y(s), x(t) और y(t) के लाप्लास रूपांतरण है, तब x(t) * y(t) = X(s) × Y(s)

• इसलिए दो असतत फूरियर रूपांतरण (DFTs) का गुणन काल-क्षेत्र में दो अनुक्रमों के सवलन के बराबर है।

फूरिये रूपांतरण:

इसका उपयोग किसी भी परिबन्धित निवेश और परिबन्धित उत्पाद ( BIBO ) सिग्नल के आवृत्ति विश्लेषण के लिए किया जाता है।

दिया गया है किसी फलन x(t) के लिए फूरिये रूपांतरण 

\(X\left( w \right) = \mathop \smallint \limits_{ - \infty }^{ + \infty } x\left( t \right){e^{ - jwt}}dt\)

दिया गया है किसी फलन X(w) के लिए व्युत्क्रम फूरिये रूपांतरण

\(x\left( t \right) = \frac{1}{{2\pi }}\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^{ + \infty } X\left( w \right){e^{jwt}}dw\)

गणना :

δ (w) का केवल t = 0 पर उपस्थित आवेग फलन  

तब इसका प्रतिलोम फूरिये रूपांतरण होगा

\(x\left( t \right) = \frac{1}{{2\pi }}\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^{ + \infty } \delta \left( w \right){e^{jwt}}dw\)

\(x\left( t \right) = \frac{1}{{2\pi }}{e^{jw0}}dw = \frac{1}{{2\pi }}\)

Important Points 

डेल्टा फलन एक सामान्यीकृत आवेग है, अर्थात, प्रतिदर्श संख्या में शून्य का मान एक होता है, जबकि अन्य सभी प्रतिदर्शों का मान शून्य होता है।

इसके कारण, डेल्टा फलन को सामान्यतः इकाई आवेग कहा जाता है।  

δ (t) का फूरिये रूपांतरण 1 है।  

संप्रत्यय:

एक फूरियर श्रेणी त्रिकोणमितीय फलनों के योग में एक आवर्त फलन का प्रसार है। फूरियर श्रेणी त्रिकोणमितीय श्रेणी का एक उदाहरण है, लेकिन सभी फूरियर श्रेणी त्रिकोणमितीय श्रेणी नहीं हैं

गणना:

f(t) = e^-t -π

f(t) = ∑ c_ne^int

∑ |c_n|² = \({1 \over 2 \pi} \int^{\pi}_{-\pi} e^{-2t} dt\)

= \({1 \over 2\pi}{e^{-2t} \over -2}|^{\pi}_{-\pi}\)

= \({1 \over 2\pi}\) sinh (2π)

सही उत्तर विकल्प (4) है।

संकल्पना:

हम जानते हैं कि

L{f(t)} = F(s) है, तो f(t) = L^-1F(s) है। 

गणना:

\({\rm{L}}\left( {\sin {\rm{at}}} \right) = \frac{{\rm{a}}}{{{{\rm{s}}^2} + {{\rm{a}}^2}}}\)

उसीप्रकार,

\({\rm{L}}\left( {\sin {\rm{\omega t}}} \right) = \frac{{\rm{\omega }}}{{{{\rm{s}}^2} + {{\rm{\omega }}^2}}}\)

∴ \({L^{ - 1}}\left( {\frac{1}{{{s^2} + {\omega ^2}}}} \right) = \frac{{\sin\omega t}}{\omega } = f\left( t \right)\) 

• वृत्तीय संवलन, जिसे चक्रीय संवलन के रूप में भी जाना जाता है, आवर्ती सवलन की एक विशेष स्थिति है, जो दो आवर्ती फलनों का संवलन है जिनका आवर्त समान होता है
• काल क्षेत्र में संवलन आवृत्ति क्षेत्र में गुणन के बराबर है और इसके विपरीत आवृत्ति क्षेत्र में संवलन काल क्षेत्र में गुणन के बराबर है।
• यदि X(ω) और Y(ω), x(t) और y(t) के फूरियर रूपांतरण है तब

x(t) * y(t) = X(ω) × Y(ω)

• यदि X(s) और Y(s), x(t) और y(t) के लाप्लास रूपांतरण है, तब x(t) * y(t) = X(s) × Y(s)

• इसलिए दो असतत फूरियर रूपांतरण (DFTs) का गुणन काल-क्षेत्र में दो अनुक्रमों के सवलन के बराबर है।

फूरिये रूपांतरण:

इसका उपयोग किसी भी परिबन्धित निवेश और परिबन्धित उत्पाद ( BIBO ) सिग्नल के आवृत्ति विश्लेषण के लिए किया जाता है।

दिया गया है किसी फलन x(t) के लिए फूरिये रूपांतरण 

\(X\left( w \right) = \mathop \smallint \limits_{ - \infty }^{ + \infty } x\left( t \right){e^{ - jwt}}dt\)

दिया गया है किसी फलन X(w) के लिए व्युत्क्रम फूरिये रूपांतरण

\(x\left( t \right) = \frac{1}{{2\pi }}\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^{ + \infty } X\left( w \right){e^{jwt}}dw\)

गणना :

δ (w) का केवल t = 0 पर उपस्थित आवेग फलन  

तब इसका प्रतिलोम फूरिये रूपांतरण होगा

\(x\left( t \right) = \frac{1}{{2\pi }}\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^{ + \infty } \delta \left( w \right){e^{jwt}}dw\)

\(x\left( t \right) = \frac{1}{{2\pi }}{e^{jw0}}dw = \frac{1}{{2\pi }}\)

Important Points 

डेल्टा फलन एक सामान्यीकृत आवेग है, अर्थात, प्रतिदर्श संख्या में शून्य का मान एक होता है, जबकि अन्य सभी प्रतिदर्शों का मान शून्य होता है।

इसके कारण, डेल्टा फलन को सामान्यतः इकाई आवेग कहा जाता है।  

δ (t) का फूरिये रूपांतरण 1 है।  

संप्रत्यय:

एक फूरियर श्रेणी आवर्ती फलन f(x) का साइन और कोसाइन के अनंत योग के पदों में प्रसार है।

व्याख्या:

\(F(k) = \int_{ - \infty }^{+\infty}exp\, ({ikx})f(x) dx\)

∵ f(x) = exp (-x²)

\(F(k) = \int_{ - \infty }^{+\infty}exp (-x^2)exp\, ({ikx}) dx\)

\(= \int_{ - \infty }^{+\infty}exp (-x^2+{ikx}) dx\)

\(= \int_{ - \infty }^{+\infty}exp \left[-x^2+ikx-\frac{i^2k^2}{4}+\frac{i^2k^2}{4}\right] dx\)

= \(= \int_{ - \infty }^{+\infty}exp \left(\frac{i^2k^2}{4}\right) exp \left\{-\left(x-\frac{ik}{2}\right)^2 \right\}dx\)

= \(exp \left[i^2\frac{k^2}{4} \right] \int_{ - \infty }^{+\infty} exp \left\{-\left(x-\frac{ik}{2}\right)^2 \right\}dx\)

मान लीजिये, x - \(\frac{ik}{2}\) = y ⇒ dy = dx

∴ \(F(k)=exp \left(\frac{-k^2}{4}\right)\int_{ - \infty }^{+\infty} exp\left\{-y^2\right\}dy\)

∵ \(\int_{ - \infty }^{+\infty} exp\left\{-x^2\right\}dx=\sqrt{\pi}\)

इसलिए, F(k) = \(\sqrt{\pi}\,\,\,exp \left(-\frac{k^2}{4}\right) \)

सही उत्तर विकल्प (2) है।

संप्रत्यय:

एक फूरियर श्रेणी त्रिकोणमितीय फलनों के योग में एक आवर्त फलन का प्रसार है। फूरियर श्रेणी त्रिकोणमितीय श्रेणी का एक उदाहरण है, लेकिन सभी फूरियर श्रेणी त्रिकोणमितीय श्रेणी नहीं हैं

गणना:

f(t) = e^-t -π

f(t) = ∑ c_ne^int

∑ |c_n|² = \({1 \over 2 \pi} \int^{\pi}_{-\pi} e^{-2t} dt\)

= \({1 \over 2\pi}{e^{-2t} \over -2}|^{\pi}_{-\pi}\)

= \({1 \over 2\pi}\) sinh (2π)

सही उत्तर विकल्प (4) है।

इकाई चरण सिग्नल को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

\(u(t) = \begin{cases} 1 &{for~t\ge0}\\ 0&{for~t<0} \end{cases}\)

\(\int_{-\infty}^{\infty} |u(t)|~dt=\infty \)

चूंकि इकाई चरण सिग्नल पूरी तरह से समाकलनीय नहीं है, हम मानक सूत्र का उपयोग करके फूरियर रूपांतरण नहीं प्राप्त कर सकते हैं।

इसलिए, हम चिह्न फलन के फूरियर रूपांतरण से शुरू होने वाले इकाई चरण सिग्नल के फूरियर रूपांतरण  को प्राप्त करेंगे।

चिह्न फलन को निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है:

\(\) \(sgn(t) = \begin{cases} 1 &{for~t>0}\\ 0&{for~t=0}\\ -1&{for~t<0} \end{cases}\)

\(\int_{-\infty}^{\infty} |sgn(t)|~dt=\infty \)

∴ हम देख सकते हैं कि चिह्न फलन भी पूरी तरह से समाकलनीय नहीं है।

चिह्न फलन के साथ गुणा करके चिह्न फलन को पूरी तरह से समाकलनीय किया जा सकता है।

\(sgn(t)= \mathop {\lim }\limits_{a \to 0 }~[e^{-at}u(t) - e^{at}u(-t)]\)

फूरियर रूपांतरण लेने पर हमें प्राप्त होता है:

\(F[sgn(t)]=\mathop {\lim }\limits_{a \to 0 }~[\frac{1}{a+j\omega}-\frac{1}{a-j\omega}]\)

\(F[sgn(t)]=\mathop {\lim }\limits_{a \to 0 }~[\frac{-2j\omega}{a^2+\omega^2}]\)

\(F[sgn(t)]=\frac{2}{j\omega}\)

अब, इकाई चरण सिग्नल को चिह्न फलन के रूप में निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

\(u(t)=\frac{1+sgn(t)}{2}\)

फूरियर रूपांतरण लेने पर हमें प्राप्त होता है:

\(F[u(t)]=F[\frac{1}{2}]+\frac{1}{2}F[sgn(t)]\)

हम जानते हैं, DC सिग्नल 'A' का फूरियर रूपांतरण इस प्रकार दिया गया है:

\(A \mathop \leftrightarrow \limits^{\;F.T\;} 2\pi A ~\delta(\omega)\)

∴ \(F[u(t)]=2\pi \times \frac{1}{2}\times\delta(\omega)+\frac{1}{2}\times \frac{2}{j\omega}\)

\(F[u(t)]=\pi~ \delta(\omega)+ \frac{1}{j\omega}\)