Exponential Function MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Exponential Function - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

प्रयुक्त अवधारणा:-

e^x के प्रसार को इस प्रकार दिया जा सकता है,

$e^x=(1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\dots .+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}+\frac{x^n}{n!}+\dots )$

साथ ही, (1 - x)-1 के प्रसार को इस प्रकार दिया जा सकता है,​

$(1-x{)}^{-1}=(1+x+x^2+\dots +x^{n-1}+x^n+\dots .\mathrm{\infty })$

व्याख्या:-

दिया गया है, समीकरण इस प्रकार है, 

$\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}{1-\mathrm{x}}$ = B0 + B1x + B2x2 + ……. + Bnxn + ……, 

इसे निम्न रूप में भी लिखा जा सकता है,

e^x(1-x)^-1 = B0 + B1x + B2x2 + ……. + Bnxn + ……, 

उपरोक्त प्रसार का उपयोग करके, हम इस समीकरण को निम्न रूप में फिर से लिख सकते हैं​,

$\Rightarrow (1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\dots .+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}+\frac{x^n}{n!}+\dots )\times (1+x+x^2+\dots +x^{n-1}+x^n+\dots .\mathrm{\infty })$= B0 + B1x + B2x2 + ……. + Bnxn + ……, 

अब मान को प्राप्त करने के लिए दोंनो पक्षों के xⁿ और xⁿ⁻¹ गुणांकों की तुलना करने पर,

$\begin{array}{rl}& \frac{1}{n!}+\frac{1}{(n-1)!}+\dots .+\frac{1}{2!}+\frac{1}{1!}+1=B_n..........(1)\text{ and }\\ & \frac{1}{(n-1)!}+\frac{!}{(n-2)!}+\dots .+\frac{1}{2!}+\frac{1}{1!}+1=B_{n-1}.....(2)\end{array}$

दोनों समीकरणों का योग करने पर, 

$$\begin{gathered} \Rightarrow \frac{1}{n!}+\frac{1}{(n-1)!}+\dots .+\frac{1}{2!}+\frac{1}{1!}+1-(\frac{1}{(n-1)!}+\frac{!}{(n-2)!}+\dots .+\frac{1}{2!}+\frac{1}{1!}+1)=B_n-B_{n-1} \\ \Rightarrow B_n-B_{n-1}=\frac{1}{n!} \end{gathered}$$

इसलिए, (Bn − Bn−1) का मान $\frac{1}{\mathrm{n}!}$ है। 

प्रयुक्त अवधारणा:-

हमें ज्ञात है कि eˣ का अवकलज eˣ है। 

अब जैसा कि लिखा गया है,

eˣ = a₀ + a₁ x + a₂x² + ... + a_nxⁿ

x = 0; a₀ = 1 पर,

उपरोक्त समीकरण का अवकलन करने पर,

eˣ = a₁ + 2a₂x + ...+ na_nx^n-1

अब x = 0; a₁ = 1 रखने पर

इसका पुनः अवकलन करने पर,

eˣ = 2a₂ +... n (n - 1)x^n-2

अब, x = 0, 2a₂ = 1 पर,

जब हम बार-बार इसका अवकलन करते हैं और a_n के मान को हल करने के लिए x = 0 रखते हैं, तो हमें निम्न श्रेणी प्राप्त होती है:

1 + x + x²/2! + x³/3! + ...+ xⁿ/n! अनंत तक 

x = 1 रखने पर, हमें प्राप्त होता है,

e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ...+ 1/n!              .......(1)

व्याख्या:-

दिया गया है कि किसी श्रेणी का nवाँ पद  $\frac{1}{(\mathrm{n}+1)!}$ है। 

$T_n=\frac{1}{(\mathrm{n}+1)!}$

यहाँ, श्रेणी n = 1 से ∞ तक जाती है।​ इसलिए, श्रेणी का मान होगा, 

$S=\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\dots -\mathrm{\infty }$

यहाँ, 1+1/1! को दाईं ओर जोड़ने और घटाने पर,

$$\begin{gathered} \Rightarrow S=(1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+--\mathrm{\infty })-(1+\frac{1}{1!}) \\ \Rightarrow S=(1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+--\mathrm{\infty })-2 \end{gathered}$$

समीकरण (1) से हमें प्राप्त होता है,

⇒ S = e - 2

इसलिए, श्रेणी का योग (e - 2) होगा। 

अवधारणा:

सूत्र:

• log mⁿ =  n.log m
• $\frac{\mathrm{d}(uv)}{\mathrm{d}x}=v\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}+u\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}$
• $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}x}=1$

हल:

माना y = x^x

दोनों पक्षों का लॉग लेते हुए, हम प्राप्त करते हैं

⇒ log y = log(x)^x

⇒ log y = x.log(x)     [∵ log mⁿ = n.log m ]

x के सापेक्ष अवकलज करते हुए, हम प्राप्त करता है

⇒ $\frac{1}{y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(xlog(x))$

⇒ $\frac{1}{y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}log(x)+log(x)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}x}$

⇒ $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=y[x.\frac{1}{x}+1.log(x)]$

⇒ $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=x^x[1+log(x)]$

∴ सही विकल्प (1) है

यदि y = log logx

⇒ e^y = log x

x के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,

⇒ $e^y\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}$

संकल्पना:

$\frac{\mathrm{d}(\log \mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{1}{\mathrm{x}}$

गणना:

दिया गया है:  y = e^{log (log x)}

ज्ञात करना है: $\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$

चूँकि हम जानते हैं कि, e^{log x} = x

∴ e^{log (log x)} = log x

अब, y = log x

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{d}(\log \mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{1}{\mathrm{x}}$

अवधारणा:

• फलन की अवकलनीयता: एक फलन f(x) इसके डोमेन में x = a पर अवकलनीय तब होता है यदि इसका अवकलज a पर निरंतर होता है। 

  इसका अर्थ है कि f'(a) को मौजूद होना चाहिए, या समकक्ष रूप से:

  $\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{a}}^{+}}{lim}{\mathrm{f}}^{\prime }(\mathrm{x})=\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{a}}^{-}}{lim}{\mathrm{f}}^{\prime }(\mathrm{x})=\underset{\mathrm{x}\to \mathrm{a}}{lim}{\mathrm{f}}^{\prime }(\mathrm{x})={\mathrm{f}}^{\prime }(\mathrm{a})$।

• मापांक फलन '| |' को निम्न रूप में परिभाषित किया गया है: $|\mathrm{x}|=\{\begin{array}{cc}\mathrm{x},& \mathrm{x}\ge 0\\ -\mathrm{x},& \mathrm{x}<0\end{array}$

गणना:

मापांक फलन की परिभाषा का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:

f(x) = ex, x ≥ 0

और f(x) = e-x, x < 0

अवकलजों के पहले सिद्धांत का उपयोग करते हुए हम पाते हैं कि:

$\underset{\mathrm{x}\to 0^{+}}{lim}{\mathrm{f}}^{\prime }(\mathrm{x})=\underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}$ = 1

और, $\underset{\mathrm{x}\to 0^{-}}{lim}{\mathrm{f}}^{\prime }(\mathrm{x})=\underset{\mathrm{x}\to 0}{lim}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}$ = -1

चूंकि $\underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{a}}^{+}}{lim}{\mathrm{f}}^{\prime }(\mathrm{x})\ne \underset{\mathrm{x}\to {\mathrm{a}}^{-}}{lim}{\mathrm{f}}^{\prime }(\mathrm{x})$ , दिया गया फलन x = 0 पर अवकलनीय नहीं है, या, f'(0) मौजूद नहीं है।

संकल्पना:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}\mathrm{l}\mathrm{n}[\mathrm{f}(\mathrm{x})]=\frac{1}{\mathrm{f}(\mathrm{x})}{\mathrm{f}}^{\prime }(\mathrm{x})$

गणना:

दिया गया फलन f(x) = 2^{sin x} है। 

अवकलज ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों में लघुगुणक लेने पर,

⇒ ln[f(x)] = sinx. ln 2

दोनों पक्षों में अवकलज लेने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

$\Rightarrow \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}\mathrm{l}\mathrm{n}[\mathrm{f}(\mathrm{x})]=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}.\mathrm{l}\mathrm{n}2$
$\Rightarrow \frac{1}{\mathrm{f}(\mathrm{x})}{\mathrm{f}}^{\prime }(\mathrm{x})=\mathrm{l}\mathrm{n}2\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}$
$\Rightarrow {\mathrm{f}}^{\prime }(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{x}).\mathrm{l}\mathrm{n}2\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}$

$\Rightarrow {\mathrm{f}}^{\prime }(\mathrm{x})=2^{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}}.\mathrm{l}\mathrm{n}2\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}$

यदि f(x) = 2^{sin x}  है,

तो f(x) का अवकलज

 ${\mathrm{f}}^{\prime }(\mathrm{x})=2^{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}}.\mathrm{l}\mathrm{n}2\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{x}$ है।

अवधारणा:

अवकल का भागफल नियम:

$\frac{\mathrm{d}\left(\frac{\mathrm{u}}{\mathrm{v}}\right)}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{\mathrm{v}\frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}-\mathrm{u}\frac{\mathrm{d}\mathrm{v}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}{{\mathrm{v}}^2}$

गणना:

हमारे पास है xy = ex - y 

दोनों पक्षों में log लेने पर

⇒ y log x = (x - y) log e

⇒ y log x = x - y

⇒ (log x + 1)y = x

⇒ y = $\frac{\mathrm{x}}{\log \mathrm{x}+1}$

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें मिलता है

⇒ $\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{(\log \mathrm{x}+1)-\mathrm{x}(\frac{1}{\mathrm{x}})}{(\log \mathrm{x}+1{)}^2}$

⇒ $\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{(\log \mathrm{x}+1-1)}{(\log \mathrm{x}+1{)}^2}$

⇒ $\text{boldsymbol}\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{\log \mathrm{x}}{(\log \mathrm{x}+1{)}^2}$

∴ सही जवाब है​ $\text{boldsymbol}\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{\log \mathrm{x}}{(\log \mathrm{x}+1{)}^2}$.

अवधारणा:

g(x) के संबंध में f(x) का अवकलन = $\frac{{\mathrm{f}}^{\prime }(\mathrm{x})}{{\mathrm{g}}^{\prime }(\mathrm{x})}$

f(x) और g(x), x का फलन है

गणना:

f(x) = ex

f'(x) = $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}={\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}$

g(x) = x^e

g'(x) = $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{x}}^{\mathrm{e}}=\mathrm{e}{\mathrm{x}}^{\mathrm{e}-1}$

आवश्यक व्युत्पन्न D = $\frac{{\mathrm{f}}^{\prime }(\mathrm{x})}{{\mathrm{g}}^{\prime }(\mathrm{x})}$

D = $\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}{\mathrm{e}{\mathrm{x}}^{\mathrm{e}-1}}$ = $\frac{\mathrm{x}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}{\mathrm{e}{\mathrm{x}}^{\mathrm{e}}}$

संकल्पना:

अवकलज नियम:

माना कि y = ef(x) है, तो 

${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}={\mathrm{e}}^{\mathrm{f}(\mathrm{x})}{\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}\mathrm{f}(\mathrm{x})$

गणना:

दिया गया है, f(x) = ecos x

दोनों पक्ष पर x के संबंध में अवकलज लेने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒ f'(x) = ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}$(ecos x)

⇒ f'(x) = ecos x ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}(\cos \mathrm{x})$

⇒ f'(x) = ecos x (- sin x)

⇒ f'(x) = (- sin x)ecos x 

अतः यदि f(x) = ecos x है, तो f(x) का अवकलज (- sin x)ecos x  है। 

इस्तेमाल किया गया सूत्र

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}={\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}$

x के संबंध में y का अवकलन dy/dx द्वारा दिया जाता है।

गणना​:

माना, f(x) = ${\mathrm{e}}^{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}$

d[f(x)] = d[${\mathrm{e}}^{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}$]

⇒ d[f(x)] = ${\mathrm{e}}^{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}$     ----(1)

पुन: माना, g(x) = ${\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}$

⇒  d[g(x)] = d[${\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}$]      -----(2)

इसलिए, आवश्यक अवकलज

 $\frac{\mathrm{d}[\mathrm{f}(\mathrm{x})]}{\mathrm{d}[\mathrm{g}(\mathrm{x})]}$= $\frac{{\mathrm{e}}^{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}$

⇒ $\frac{\mathrm{d}[\mathrm{f}(\mathrm{x})]}{\mathrm{d}[\mathrm{g}(\mathrm{x})]}$ = ${\mathrm{e}}^{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}$

∴ ex के सम्बन्ध में ${\mathrm{e}}^{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}$ का अवकलज ${\mathrm{e}}^{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}$ है

संकल्पना:

सूत्र:

log mn = n log m

$\frac{\mathrm{d}(\mathrm{u}\mathrm{v})}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\mathrm{v}\frac{\mathrm{d}\mathrm{u}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}+\mathrm{u}\frac{\mathrm{d}\mathrm{v}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$

$\frac{\mathrm{d}\log \mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\frac{1}{\mathrm{x}}$

गणना:

माना कि y = 2^-3x है। 

दोनों पक्षों पर log लेने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒ log y = log 2^-3x

⇒ log y = -3x log 2           (∵ log mn = n log m)       

⇒ log y = (-3log 2) x

x के संबंध में अवकलन करने पर

⇒ $\frac{1}{\mathrm{y}}\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ = (-3log 2) × 1

⇒ $\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ = (-3log 2)y

∴  $\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ = (-3log 2)2-3x

अवधारणा:

अवकलज नियम:

माना y = ef(x) हो तो

${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}={\mathrm{e}}^{\mathrm{f}(\mathrm{x})}{\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}\mathrm{f}(\mathrm{x})$

गणना:

दिया गया है, f(x) = e^sin x

x के सबंध में दोनों पक्षों का अवकलज लेने पर, हम निम्न प्राप्त करते हैं

⇒f'(x) = ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}$(esin x)

⇒f'(x) = esin x ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}(\sin \mathrm{x})$

⇒f'(x) = esin x $(\cos \mathrm{x})$

⇒f'(x) = $(\cos \mathrm{x})$esin x 

प्रयुक्त अवधारणा:-

हमें ज्ञात है कि eˣ का अवकलज eˣ है। 

अब जैसा कि लिखा गया है,

eˣ = a₀ + a₁ x + a₂x² + ... + a_nxⁿ

x = 0; a₀ = 1 पर,

उपरोक्त समीकरण का अवकलन करने पर,

eˣ = a₁ + 2a₂x + ...+ na_nx^n-1

अब x = 0; a₁ = 1 रखने पर

इसका पुनः अवकलन करने पर,

eˣ = 2a₂ +... n (n - 1)x^n-2

अब, x = 0, 2a₂ = 1 पर,

जब हम बार-बार इसका अवकलन करते हैं और a_n के मान को हल करने के लिए x = 0 रखते हैं, तो हमें निम्न श्रेणी प्राप्त होती है:

1 + x + x²/2! + x³/3! + ...+ xⁿ/n! अनंत तक 

x = 1 रखने पर, हमें प्राप्त होता है,

e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ...+ 1/n!              .......(1)

व्याख्या:-

दिया गया है कि किसी श्रेणी का nवाँ पद  $\frac{1}{(\mathrm{n}+1)!}$ है। 

$T_n=\frac{1}{(\mathrm{n}+1)!}$

यहाँ, श्रेणी n = 1 से ∞ तक जाती है।​ इसलिए, श्रेणी का मान होगा, 

$S=\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\dots -\mathrm{\infty }$

यहाँ, 1+1/1! को दाईं ओर जोड़ने और घटाने पर,

$$\begin{gathered} \Rightarrow S=(1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+--\mathrm{\infty })-(1+\frac{1}{1!}) \\ \Rightarrow S=(1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+--\mathrm{\infty })-2 \end{gathered}$$

समीकरण (1) से हमें प्राप्त होता है,

⇒ S = e - 2

इसलिए, श्रेणी का योग (e - 2) होगा।