Evaluation of Determinants MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Evaluation of Determinants - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना:

कथन I

$|M^2|=|M\times M|=|M|\cdot |M|=|M{|}^2$

⇒ कथन I सही है।

कथन II

एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह के लिए, $M\times M^{-1}=I$, जहाँ $I$ इकाई आव्यूह है।

$|M|\cdot |M^{-1}|=|I|=1$

⇒ कथन II गलत है जब तक कि $|M|=\pm 1$ न हो।

कथन III

एक आव्यूह का सारणिक उसके परिवर्त आव्यूह के सारणिक के बराबर होता है:

$|M|=|M^T|$

⇒ कथन III सही है।

तीनों कथनों में से, दो सही हैं: I और III

गणना:

दिया गया है,

मान लीजिए ω एक इकाई का अवास्तविक घनमूल है, इसलिए ${\omega }^3=1$ और $1+\omega +{\omega }^2=0$.

सारणिक पर विचार करें

$\mathrm{\Delta }(x)=\left|\begin{array}{ccc}x+1& \omega & {\omega }^2\\ \omega & x+{\omega }^2& 1\\ {\omega }^2& 1& x+\omega \end{array}\right|=0.$

चरण 1 — स्तंभ संक्रिया: पहले स्तंभ को $C_1-C_2$ से बदलें:

$\mathrm{\Delta }(x)=\left|\begin{array}{ccc}x+1-\omega & \omega & {\omega }^2\\ \omega -{\omega }^2-x& x+{\omega }^2& 1\\ {\omega }^2-1& 1& x+\omega \end{array}\right|$

चरण 2 — तीसरी पंक्ति के साथ प्रसार:
$\mathrm{\Delta }(x)=-3\left|\begin{array}{cc}{k}^2-1& 1\\ k-1& 1\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}{k}^2-1& 2k+1\\ k-1& k+2\end{array}\right|,$

जो सरलीकृत हो जाता है,

$\mathrm{\Delta }(x)=x(x^2-1)-x(\omega +{\omega }^2)=x(x^2-1)+x=x^3.$

चरण 3 — शून्य के बराबर करें:

$\mathrm{\Delta }(x)=0⟹x^3=0⟹x=0.$

∴ समीकरण का मूल $x=0$ है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।

संप्रत्यय:

जब A² + B² + C² = 0 है, इसका अर्थ A = B = C = 0 (चूँकि वास्तविक संख्याओं के वर्ग ऋणात्मक नहीं होते हैं) है। 

सारणिक की गणना के लिए आव्यूह में A, B और C के मान प्रतिस्थापित करें

गणना:

$\left|\begin{array}{ccc}1& cos0& cos0\\ cos0& 1& cos0\\ cos0& cos0& 1\end{array}\right|$

चूँकि, Cos0 =1

इस प्रकार आव्यूह बन जाता है

$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right|$

अब सारणिक = 1[(1×1 - 1×1)] - 1[(1×1 - 1×1)] + 1[(1×1 - 1×1)]

= 1(0) - 1(0) + 1(0) = 0

∴ सारणिक का मान 0 है।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

गणना:

सारणिक Δ = $a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)$

अब, हमारे आव्यूह के लिए,

$a=2,b=3+i,c=-1,d=3-i,e=0,f=i,g=-1,h=-i,i=1$

उपसारणिकों की गणना करें

⇒ $ei-fh=(0)(1)-(i)(-i)=0-(-1)=1$

⇒ $di-fg=(3-i)(1)-(i)(-1)=3-i+i=3$

⇒ $dh-eg=(3-i)(-i)-(0)(-1)=-3i+i2=-3i-1=-1-3i$

⇒ Δ = $2(1)-(3+i)(3)+(-1)(-1-3i)$

⇒ Δ = $2-9-3i+1+3i$

⇒ $\Delta =-6+0i$

चूँकि हमें दिया गया है कि $\Delta =A+iB$ वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर, हम पाते हैं:

A = -6 और B = 0

इस प्रकार A + B = -6 + 0 = - 6

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 2 है।

गणना:

दिया गया है,

Δ = $\left|\begin{array}{ccc}k(k+2)& 2k+1& 1\\ 2k+1& k+2& 1\\ 3& 3& 1\end{array}\right|$

स्तंभ संक्रिया $C_1\to C_1-C_2$ द्वारा सारणिक को सरल करने पर:

$\mathrm{\Delta }=\left|\begin{array}{ccc}{k}^2-1& 2k+1& 1\\ k-1& k+2& 1\\ 0& 3& 1\end{array}\right|$

तीसरी पंक्ति के अनुदिश प्रसारित करने पर,

$\mathrm{\Delta }=-3\left|\begin{array}{cc}{k}^2-1& 1\\ k-1& 1\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}{k}^2-1& 2k+1\\ k-1& k+2\end{array}\right|=(k-1{)}^3.$

इस प्रकार $\mathrm{\Delta }=(k-1{)}^3$ है। 

चिह्न विश्लेषण

• $k>0$: यदि \(0, Δ < 0; यदि $k>1$, Δ > 0 ⇒ कथन I असत्य है।
• $k<0$: $\mathrm{\Delta }<0$ ⇒ कथन II सत्य है।
• $k=0$: $\mathrm{\Delta }=(-1{)}^3=-1\ne 0$ ⇒ कथन III असत्य है।

∴ केवल कथन II सही है ⇒ ठीक एक कथन सत्य है।

अतः सही उत्तर विकल्प 2 है।

संकल्पना:

एक आव्यूह की सारणिक के गुण:

• यदि एक सारणिक के किसी भी पंक्ति या स्तंभ में प्रत्येक प्रविष्टि 0 है, तो सारणिक का मान शून्य होता है। 
• किसी वर्ग आव्यूह अर्थात् A के लिए, |A| = |AT|.
• यदि हम एक आव्यूह के किसी दो पंक्तियों (स्तंभों) को एक-दूसरे से परिवर्तित करते हैं, तो सारणिक को -1 से गुणा किया जाता है। 
• यदि एक आव्यूह की कोई भी दो पंक्तियां (स्तंभ) समान होती है, तो सारणिक का मान शून्य होता है। 

गणना:

$\left|\begin{array}{ccc}\mathrm{x}-\mathrm{a}& \mathrm{y}-\mathrm{b}& \mathrm{z}-\mathrm{c}\\ \mathrm{a}& \mathrm{b}& \mathrm{c}\\ \mathrm{x}& \mathrm{y}& \mathrm{z}\end{array}\right|$

R3 → R3 - R2 लागू करने पर

= $\left|\begin{array}{ccc}\mathrm{x}-\mathrm{a}& \mathrm{y}-\mathrm{b}& \mathrm{z}-\mathrm{c}\\ \mathrm{a}& \mathrm{b}& \mathrm{c}\\ \mathrm{x}-\mathrm{a}& \mathrm{y}-\mathrm{b}& \mathrm{z}-\mathrm{c}\end{array}\right|$

चूँकि हम देख सकते हैं कि दिए गए आव्यूह की पहली और तीसरी पंक्ति बराबर हैं। 

हम जानते हैं कि, यदि एक आव्यूह की कोई भी दो पंक्तियां (स्तंभ) समान होती है, तो सारणिक का मान शून्य होता है। 

$\left|\begin{array}{ccc}\mathrm{x}-\mathrm{a}& \mathrm{y}-\mathrm{b}& \mathrm{z}-\mathrm{c}\\ \mathrm{a}& \mathrm{b}& \mathrm{c}\\ \mathrm{x}& \mathrm{y}& \mathrm{z}\end{array}\right|$ = 0

संकल्पना:

$\mathrm{i}=\sqrt{-1}$

i² = -1 , i³ = - i, i⁴ = 1, i⁶ = - 1 , i⁸ = 1 , i⁹ = i, i ¹² = 1, और i¹⁵ = - i

गणना:

दी गयी सारणिक $\left|\begin{array}{ccc}\mathrm{i}& {\mathrm{i}}^2& {\mathrm{i}}^3\\ {\mathrm{i}}^4& {\mathrm{i}}^6& {\mathrm{i}}^8\\ {\mathrm{i}}^9& {\mathrm{i}}^{12}& {\mathrm{i}}^{15}\end{array}\right|$ है। 

 चूंकि हमारे पास निम्न है, 

$\mathrm{i}=\sqrt{-1}$

i2 = -1 , i3 = - i, i4 = 1, i6 = - 1 , i8 = 1 , i9 = i, i 12 = 1, और i15 = - i

=$\left|\begin{array}{ccc}\mathrm{i}& -1& -\mathrm{i}\\ 1& -1& 1\\ \mathrm{i}& 1& -\mathrm{i}\end{array}\right|$

=i(i - 1) + 1(-i - i) - i (1 + i)

= i² - i - 2i - i - i²

= - 4i

संकल्पना:

यदि $\mathrm{A}=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{a}}_{11}& {\mathrm{a}}_{12}\\ {\mathrm{a}}_{21}& {\mathrm{a}}_{22}\end{array}\right]$ है, तो A की सारणिक को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

|A| = a11 × a22 – a21 × a12

|An| = |A|n

गणना:

दिया गया है कि,

$\mathrm{A}=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{x}& 2\\ 4& \mathrm{x}\end{array}\right]$ और  |A2​| = 64

⇒ |A| = x2 - 8          .... (1)

दिया गया है |A2| = 64

⇒ |A|2 = 64         [∵ |An| = |A|n]

⇒ |A| = (64)1/2 = 8         ....(2)

समीकरण 1 और 2 से 

⇒ x2 - 8 = 8

⇒ x2 = 16

संकल्पना:

सारणिक के गुण:

यदि A और B दो वर्ग आव्यूह हैं, तो |AB| = |A||B| है। 

गणना:

दिया गया है: A = $\left[\begin{array}{cc}2& 5\\ 2& 1\end{array}\right]$ और B = $\left[\begin{array}{cc}4& -3\\ 1& 5\end{array}\right]$

अब,

|A| = 2 × 1 - 5 × 2 = 2 - 10 = -8

|B| = 4 × 5 - (-3 × 1) = 20 + 3 = 23

चूँकि हम जानते हैं कि, |AB| = |A||B|

= -8 × 23 = -184

धारणा:

प्राथमिक पंक्ति या स्तंभ रूपांतरण आव्यूह के सारणिक के मूल्य को नहीं बदलते हैं।

गणना:

$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1+\mathrm{a}& 1\\ 1+\mathrm{b}& 1& 1\end{array}\right|$

R₂ → R₂ – R₁, R₃ → R₃ – R₁ लागू करके हमें मिलता है

= $\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& \mathrm{a}& 0\\ \mathrm{b}& 0& 0\end{array}\right|$

अब C₃ के साथ विस्तार करके

= 1 (0 – ab) – 0 + 0 = -ab

धारणा:

प्राथमिक पंक्ति या स्तंभ रूपांतरण आव्यूह के सारणिक के मूल्य को नहीं बदलते हैं।

गणना:

$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1+\mathrm{x}& 1\\ 1& 1& 1+\mathrm{y}\end{array}\right|$

R₂ → R₂ – R₁, R₃ → R₃ – R₁ लागू करके हमें मिलता है

$=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& \mathrm{x}& 0\\ 0& 0& \mathrm{y}\end{array}\right|$

अब C1 के साथ विस्तार करके

= 1 (xy – 0) – 0 + 0 = xy

संकल्पना:

आव्यूह के सारणिक के गुण:

• यदि एक सारणिक की किसी पंक्ति या स्तंभ में प्रत्येक प्रविष्टि 0 है, तो सारणिक का मान शून्य है। 
• किसी वर्ग आव्यूह अर्थात् A के लिए, |A| = |AT|
• यदि हम एक आव्यूह की किसी दो पंक्तियों (स्तंभों) को एक-दूसरे से परिवर्तित करते हैं, तो सारणिक को -1 से गुणा किया जाता है। 
• यदि एक आव्यूह की कोई दो पंक्तियाँ (स्तंभ) समान हैं, तो सारणिक का मान शून्य है। 

गणना:

$\left|\begin{array}{ccc}2& 7& 37\\ 3& 6& 33\\ 4& 5& 29\end{array}\right|$

C2 → 5C2 + C₁ लागू करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

= $\left|\begin{array}{ccc}2& 37& 37\\ 3& 33& 33\\ 4& 29& 29\end{array}\right|$

चूँकि हम देख सकते हैं कि दिए गए आव्यूह की दूसरी और तीसरी पंक्ति बराबर हैं। 

हम जानते हैं कि, यदि एक आव्यूह की कोई दो पंक्तियाँ (स्तंभ) समान हैं, तो सारणिक का मान शून्य है। 

∴$\left|\begin{array}{ccc}2& 7& 37\\ 3& 6& 33\\ 4& 5& 29\end{array}\right|$ = 0

संकल्पना:

• यदि $A=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]$ कोटि 2 वाली एक वर्ग आव्यूह है, तो A की सारणिक को |A| = a₁₁ × {(a₂₂ × a₃₃) – (a₂₃ × a₃₂)} - a₁₂ × {(a₂₁ × a₃₃) – (a₂₃ × a₃₁)} + a₁₃ × {(a₂₁ × a₃₂) – (a₂₂ × a₃₁)} द्वारा ज्ञात किया जाता है।  
• यदि A आव्यूह n वाली एक आव्यूह है, तो |k ⋅ A| = kn ⋅ |A| है, जहाँ k ∈ R है। 

गणना:

दिया गया है: $A=\left[\begin{array}{ccc}3& 4& 9\\ 11& 6& 7\\ 8& 9& 5\end{array}\right]$ और |2A| = k

⇒ |A| = 3 × (30 - 63) - 4 × (55 - 56) + 9 × (99 - 48)

⇒ |A| = - 99 + 4 + 459 = 364

चूँकि हम जानते हैं कि, यदि A आव्यूह n वाली एक आव्यूह है, तो |k ⋅ A| = kn ⋅ |A| है, जहाँ k ∈ R है। 

⇒ |2A| = 2³ ⋅ 364 = 2912

अतः सही विकल्प 3 है।

गणना:

दिया गया है $\left|\begin{array}{ccc}\mathrm{x}& 2& 3\\ 1& \mathrm{x}& 1\\ 3& 2& \mathrm{x}\end{array}\right|$ = 0

⇒ x(x² - 2) - 2(x - 3) + 3(2 - 3x) = 0

अब, x³ - 2x - 2x + 6 + 6 - 9x = 0

⇒ x³ - 13x + 12 = 0

∵ x = 3 समीकरण का एक मूल है, ∴ (x - 3) = 0

If we divide (x3 - 13x + 12) from (x - 3) we will get (x2 + 3x - 4)

⇒ (x - 3)(x² + 3x - 4) = 0

⇒ x2 + 3x - 4 = 0

⇒ (x + 4)(x - 1) = 0

⇒ x = 1, -4

धारणा:

यदि $A=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]$ तो A का सारणिक निम्न द्वारा दिया जाता है: |A| = (a­₁₁ × a₂₂) – (a₁₂ – a₂₁).

गणना:

माना कि, $\mathrm{A}=\left|\begin{array}{cc}2+i& 2-i\\ 1+i& i-1\end{array}\right|$

⇒ |A| = (2 + i) (i – 1) – (2 – i) (1 + i)

= 2i + i² – 2 – i – (2 – i + 2i – i²)

= i – 1 – 2 – (2 + i + 1)                   (∵ i² = -1)

= i – 3 – 2 – i – 1

= -6

∴ |A| वास्तविक संख्या है।