Differentiation by taking log MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Differentiation by taking log - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संकल्पना:

गणना को सरल बनाने के लिए लॉग लें और अवकलन करें।

गणना:

दिया है:

$\frac{dy}{dx}=y\left[\frac{1}{1+x}+\frac{2x}{1+x^2}+...\right]$

x = 0 रखने पर, $\frac{dy}{dx}$ = 1

प्रयुक्त सूत्र:

1. $\int \frac{dy}{y}=lny+C$
2. log m + log n = log mn
3. log mⁿ = n log m  

गणना:

दिया गया है कि, $\frac{dy}{dx}=(\ln 5)y$

⇒ $\frac{dy}{y}=(\ln 5)dx$

दोनों पक्षों पर समाकलन करने पर

⇒ $\int \frac{dy}{y}=\int (\ln 5)dx$

चूँकि, $\int \frac{dy}{y}=lny+C$ है,

⇒ ln y = x ln 5 + ln C

लघुगणक गुण (2) और (3) का प्रयोग करने पर

⇒ ln y = ln 5^x + ln C

⇒ ln y = ln C5^x

⇒ y = C ×  5x          ------(1)

प्रश्नानुसार, y(0) = ln 5

ln 5 = C ×  5⁰ 

⇒ C = ln 5

समीकरण (1) में इस मान को रखने पर

⇒ y =  5x ln 5 

x = 1 रखने पर

∴ y(1) = 5 ln 5

अवधारणा:

$\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}=\mathrm{n}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{x}$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}[\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{x}]=\frac{1}{\mathrm{x}}$

गुणनफल नियम: 

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}[\mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{g}(\mathrm{x})]=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}[\mathrm{f}(\mathrm{x})]\mathrm{g}(\mathrm{x})+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}[\mathrm{g}(\mathrm{x})]\mathrm{f}(\mathrm{x})$

गणना:

माना कि y = x^2x 

दोनों पक्षों पर लॉग लेते हुए हम प्राप्त करते हैं

log y = log( x2x ) = 2x logx                 

(∵ $\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}=\mathrm{n}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{x}$)

अब, अवकलज लेते हुए,

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}[\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{y}]$ = 2{ $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}[\mathrm{x}]\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{x}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}[\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{x}]\mathrm{x}$ }

$\frac{1}{\mathrm{y}}\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ = 2[log x + x. $\frac{1}{\mathrm{x}}$]                       

(∵ $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}[\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{x}]=\frac{1}{\mathrm{x}}$)

⇒ $\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ = 2y [1 + log x]

⇒ $\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ = 2x2x [1 + log x]                     

(∵ y = x2x )

इसलिए, विकल्प (4) सही है।

संकल्पना:

• $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$xn = nxn-1
• $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$sin x = cos x
• $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$cos x = -sin x
• $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ex = ex
• $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ln x = $\frac{1}{\mathrm{x}}$
• $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$(ax + b) = a
• $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$tan x = sec2 x
• $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$f(x)g(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

गणना:

माना कि y = f(x) = x^x है। 

दोनों पक्षों में log लेने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

ln y = ln xx

ln y = x ln x              (log mⁿ = n log m)

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

$\frac{1}{\mathrm{y}}\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\ln \mathrm{x}+\mathrm{x}\left(\frac{1}{\mathrm{x}}\right)$

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\mathrm{y}[\ln \mathrm{x}+1]$

फिर से, x के संबंध में अवकलन करने पर, 

$\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{y}}{\mathrm{d}{\mathrm{x}}^2}=[\ln \mathrm{x}+1]\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}+\mathrm{y}\left(\frac{1}{\mathrm{x}}\right)$

$\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{y}}{\mathrm{d}{\mathrm{x}}^2}=\mathrm{y}[\ln \mathrm{x}+1{]}^2+\mathrm{y}\left(\frac{1}{\mathrm{x}}\right)$

$\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{y}}{\mathrm{d}{\mathrm{x}}^2}={\mathrm{x}}^{\mathrm{x}}[[\ln \mathrm{x}+1{]}^2+\frac{1}{\mathrm{x}}]$

$\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{y}}{\mathrm{d}{\mathrm{x}}^2}={\mathrm{x}}^{\mathrm{x}}[\ln \mathrm{x}+1{]}^2+{\mathrm{x}}^{\mathrm{x}-1}$

इसलिए  f''(x) = $\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{y}}{\mathrm{d}{\mathrm{x}}^2}={\mathrm{x}}^{\mathrm{x}}[\ln \mathrm{x}+1{]}^2+{\mathrm{x}}^{\mathrm{x}-1}$

संकल्पना:

प्राचलिक रूप:

यदि f(x) और g(x), x में फलन है, तो

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{f}(\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{g}(\mathrm{x})}$ = $\frac{\frac{\mathrm{d}\mathrm{f}(\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}{\frac{\mathrm{d}\mathrm{g}(\mathrm{x})}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}$ 

गणना:

माना कि z = x^{-ln x} है

दोनों पक्षों में log लेने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

ln z = ln x-ln x

ln z = - (ln x)²                       (∵ ln mⁿ = n ln m)

x के संबंध में अवकलन करने पर

$\frac{1}{\mathrm{z}}\frac{\mathrm{d}\mathrm{z}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ = -2 ln x$\left(\frac{1}{\mathrm{x}}\right)$

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{z}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\mathrm{z}\left[\frac{-2\ln \mathrm{x}}{\mathrm{x}}\right]$

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{z}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}={\mathrm{x}}^{-\ln \mathrm{x}}\left[\frac{-2\ln \mathrm{x}}{\mathrm{x}}\right]$

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{z}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=-2{\mathrm{x}}^{-\ln \mathrm{x}}\left[\frac{\ln \mathrm{x}}{\mathrm{x}}\right]$

साथ ही y = ${\mathrm{e}}^{{\mathrm{x}}^2}$

दोनों पक्षों में log लेने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

ln y = ln ${\mathrm{e}}^{{\mathrm{x}}^2}$        

ln y = x² ln e               (∵ ln mn = n ln m)

ln y = x²                      (∵ ln e = 1)

x के संबंध में अवकलन करने पर

$\frac{1}{\mathrm{y}}\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=2\mathrm{x}$

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\mathrm{y}[2\mathrm{x}]$

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=2\mathrm{x}{\mathrm{e}}^{{\mathrm{x}}^2}$

आवश्यक परिणाम निम्न है

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{z}}{\mathrm{d}\mathrm{y}}$ = $\frac{\frac{\mathrm{d}\mathrm{z}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}{\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}}$

= $\frac{-2{\mathrm{x}}^{-\ln \mathrm{x}}\left[\frac{\ln \mathrm{x}}{\mathrm{x}}\right]}{2\mathrm{x}{\mathrm{e}}^{{\mathrm{x}}^2}}$

= $\frac{-{\mathrm{x}}^{-\ln \mathrm{x}}(\ln \mathrm{x})}{{\mathrm{x}}^2{\mathrm{e}}^{{\mathrm{x}}^2}}$

संकल्पना:

माना कि हमारे पास दो फलन f(x) और g(x) हैं और वे दोनों अवकलनीय हैं। 

• श्रृंखला नियम:​ $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}\left[\mathrm{f}\left(\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\right)\right]={\mathrm{f}}^{\prime }\left(\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\right){\mathrm{g}}^{\prime }\left(\mathrm{x}\right)$
• गुणनफल नियम: $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}\left[\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\right]={\mathrm{f}}^{\prime }\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right){\mathrm{g}}^{\prime }\left(\mathrm{x}\right)$

गणना:

y = x^x

दोनों पक्षों में log लेने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ log y = log x^x                          (∵ log mⁿ = n log m)

⇒ log y = x log x

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

$\Rightarrow \frac{1}{\mathrm{y}}\times \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\mathrm{x}\times \frac{\log \mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}+\log \mathrm{x}\times \frac{\mathrm{d}\mathrm{x}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$

$\Rightarrow \frac{1}{\mathrm{y}}\times \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\mathrm{x}\times \frac{1}{\mathrm{x}}+\log \mathrm{x}\times 1$

$\Rightarrow \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\mathrm{y}\times [1+\log \mathrm{x}]$

$\Rightarrow \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}={\mathrm{x}}^{\mathrm{x}}\times [1+\log \mathrm{x}]$

x = 1 रखने पर 

$\Rightarrow \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=1^1\times [1+\log 1]$

$\Rightarrow \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=1\times [1+0]$                (∵ log 1 = 0)

$\therefore \frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=1$

संकल्पना:

• $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$xn = nxn-1
• $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$sin x = cos x
• $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$cos x = -sin x
• $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ex = ex
• $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ln x = $\frac{1}{\mathrm{x}}$
• $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$(ax + b) = a
• $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$tan x = sec2 x
• $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$f(x)g(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

गणना:

माना कि y = ${\mathrm{x}}^{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}$ है। 

दोनों पक्षों में log लेने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

ln y = ln ${\mathrm{x}}^{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}$

ln y = e^x (ln x)                                 (∵ log mn = n log m)

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

$\frac{1}{\mathrm{y}}\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}={\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}(\ln \mathrm{x})+{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\left(\frac{1}{\mathrm{x}}\right)$

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\mathrm{y}[{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}(\ln \mathrm{x})+\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}{\mathrm{x}}]$

$\text{boldsymbol}\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}={\mathrm{x}}^{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}[\ln \mathrm{x}+\frac{1}{\mathrm{x}}]$

संकल्पना:

log ( a + b ) = log a + log b

$\frac{\mathrm{d}\log x}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{\mathrm{x}}$

गणना:

 xm yn  = 2(x + y)m + n 

दोनों पक्षों पर लॉग लेने पर, हम प्राप्त करते हैं

⇒ log(xm yn) = log[2(x + y)m + n]

⇒ m log x + n log y = log 2 + (m + n) log (x + y)

x के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

⇒ $\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{x}}$ + $\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{y}}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ = $\frac{\mathrm{m}+\mathrm{n}}{\mathrm{x}+\mathrm{y}}$ [1 + $\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}x}$ ]

⇒ $\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}x}$ $(\frac{\mathrm{m}+\mathrm{n}}{\mathrm{x}+\mathrm{y}}-\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{y}})$ = $\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{x}}-\frac{\mathrm{m}+\mathrm{n}}{(\mathrm{x}+\mathrm{y})}$

⇒ $\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}x}$ = $\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}$

संकल्पना:

• $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$xn = nxn-1
• $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$sin x = cos x
• $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$cos x = -sin x
• $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ex = ex
• $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ln x = $\frac{1}{\mathrm{x}}$
• $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$(ax + b) = a
• $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$tan x = sec2 x
• $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$f(x)g(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)​

गणना:

y = x^ln x 

दोनों पक्षों में log लेने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

ln y = ln xln x

ln y = (ln x)²                     (∵ log mⁿ = n log m)

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

$\frac{1}{\mathrm{y}}\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=2\ln \mathrm{x}\left(\frac{1}{\mathrm{x}}\right)$

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\mathrm{y}\left[\frac{2\ln \mathrm{x}}{\mathrm{x}}\right]$

y' = $\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}={\mathrm{x}}^{\ln \mathrm{x}}\left[\frac{2\ln \mathrm{x}}{\mathrm{x}}\right]$

y' =  $2{\mathrm{x}}^{(\ln \mathrm{x})-1}(\ln \mathrm{x})$

अवधारणा:

$\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}=\mathrm{n}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{x}$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}[\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{x}]=\frac{1}{\mathrm{x}}$

गुणनफल नियम: 

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}[\mathrm{f}(\mathrm{x})\mathrm{g}(\mathrm{x})]=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}[\mathrm{f}(\mathrm{x})]\mathrm{g}(\mathrm{x})+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}[\mathrm{g}(\mathrm{x})]\mathrm{f}(\mathrm{x})$

गणना:

माना कि y = x^2x 

दोनों पक्षों पर लॉग लेते हुए हम प्राप्त करते हैं

log y = log( x2x ) = 2x logx                 

(∵ $\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}=\mathrm{n}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{x}$)

अब, अवकलज लेते हुए,

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}[\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{y}]$ = 2{ $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}[\mathrm{x}]\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{x}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}[\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{x}]\mathrm{x}$ }

$\frac{1}{\mathrm{y}}\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ = 2[log x + x. $\frac{1}{\mathrm{x}}$]                       

(∵ $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}[\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{x}]=\frac{1}{\mathrm{x}}$)

⇒ $\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ = 2y [1 + log x]

⇒ $\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ = 2x2x [1 + log x]                     

(∵ y = x2x )

इसलिए, विकल्प (4) सही है।

प्रयुक्त सूत्र:

1. log mn = log m + log n 
2. log mⁿ = n log m
3. खण्डशः अवकलन:$\frac{d}{dx}(uv)=v\frac{du}{dx}+u\frac{dv}{dx}$
4. $\frac{d}{dx}{x}^n=n{x}^{n-1}$
5. $\frac{d}{dx}logx=\frac{1}{x}$

गणना:

दिया गया है कि

xyyx = 1

दोनों पक्षों पर log लेने पर,

log( xyyx) = log 1

चूँकि, log mn = log m + log n है।

⇒ log x^y +  log y^x = log 1

चूँकि log mn = n log m

⇒ y log x + x log y = 0        (∵ log 1 = 0)

x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

⇒ $\frac{d}{dx}$(y log x) + $\frac{d}{dx}$ (x log y) = 0 

खण्डशः अवकलन का उपयोग करने पर,

⇒ $y\frac{d}{dx}logx+logx\frac{dy}{dx}+x\frac{d}{dx}logy+logy\frac{dx}{dx}=0$

सूत्र (4) और (5) का प्रयोग करने पर,

⇒ $\frac{y}{x}+logx\frac{dy}{dx}+\frac{x}{y}\frac{dy}{dx}+logy=0$

⇒ $\frac{y}{x}+logy+\frac{dy}{dx}(\frac{x}{y}+logx)=0$

⇒ $\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{y}{x}+logy}{\frac{x}{y}+logx}$

उपरोक्त अवकलन में x = y = 1 रखने पर,

⇒ $\frac{dy}{dx}=-\frac{1+log1}{1+log1}=-1$

अतः (1, 1) पर $\frac{dy}{dx}$, -1 के बराबर है।

प्रयुक्त सूत्र:

1. $\int \frac{dy}{y}=lny+C$
2. log m + log n = log mn
3. log mⁿ = n log m  

गणना:

दिया गया है कि, $\frac{dy}{dx}=(\ln 5)y$

⇒ $\frac{dy}{y}=(\ln 5)dx$

दोनों पक्षों पर समाकलन करने पर

⇒ $\int \frac{dy}{y}=\int (\ln 5)dx$

चूँकि, $\int \frac{dy}{y}=lny+C$ है,

⇒ ln y = x ln 5 + ln C

लघुगणक गुण (2) और (3) का प्रयोग करने पर

⇒ ln y = ln 5^x + ln C

⇒ ln y = ln C5^x

⇒ y = C ×  5x          ------(1)

प्रश्नानुसार, y(0) = ln 5

ln 5 = C ×  5⁰ 

⇒ C = ln 5

समीकरण (1) में इस मान को रखने पर

⇒ y =  5x ln 5 

x = 1 रखने पर

∴ y(1) = 5 ln 5

संकल्पना:

• $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$xn = nxn-1
• $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$sin x = cos x
• $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$cos x = -sin x
• $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ex = ex
• $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ln x = $\frac{1}{\mathrm{x}}$
• $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$(ax + b) = a
• $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$tan x = sec2 x
• $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$f(x)g(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

गणना:

माना कि y = f(x) = x^x है। 

दोनों पक्षों में log लेने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

ln y = ln xx

ln y = x ln x              (log mⁿ = n log m)

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

$\frac{1}{\mathrm{y}}\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\ln \mathrm{x}+\mathrm{x}\left(\frac{1}{\mathrm{x}}\right)$

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}=\mathrm{y}[\ln \mathrm{x}+1]$

फिर से, x के संबंध में अवकलन करने पर, 

$\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{y}}{\mathrm{d}{\mathrm{x}}^2}=[\ln \mathrm{x}+1]\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}+\mathrm{y}\left(\frac{1}{\mathrm{x}}\right)$

$\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{y}}{\mathrm{d}{\mathrm{x}}^2}=\mathrm{y}[\ln \mathrm{x}+1{]}^2+\mathrm{y}\left(\frac{1}{\mathrm{x}}\right)$

$\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{y}}{\mathrm{d}{\mathrm{x}}^2}={\mathrm{x}}^{\mathrm{x}}[[\ln \mathrm{x}+1{]}^2+\frac{1}{\mathrm{x}}]$

$\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{y}}{\mathrm{d}{\mathrm{x}}^2}={\mathrm{x}}^{\mathrm{x}}[\ln \mathrm{x}+1{]}^2+{\mathrm{x}}^{\mathrm{x}-1}$

इसलिए  f''(x) = $\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{y}}{\mathrm{d}{\mathrm{x}}^2}={\mathrm{x}}^{\mathrm{x}}[\ln \mathrm{x}+1{]}^2+{\mathrm{x}}^{\mathrm{x}-1}$

प्रयुक्त सूत्र:

1. log mn = n log m
2. खण्डशः अवकलन:$\frac{d}{dx}(uv)=v\frac{du}{dx}+u\frac{dv}{dx}$
3. $\frac{d}{dx}{x}^n=n{x}^{n-1}$
4. $\frac{d}{dx}logx=\frac{1}{x}$

गणना:

दिया गया है कि y = (xx)x,

दोनों पक्षों पर log लेने पर

log y = log (xx)x

सूत्र (1) का प्रयोग करने पर

⇒ log y = x log x^x

⇒ log y = x² log x

x के संबंध में अवकलन करने पर

$\frac{d}{dx}$(log y) = $\frac{d}{dx}$(x²log x)

सूत्र (2) में वर्णित खण्डशः अवकलन करने पर

⇒ $\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=x^2\frac{d}{dx}logx+logx\frac{d}{dx}{x}^2$

चूँकि, $\frac{d}{dx}{x}^n=n{x}^{n-1}$ & $\frac{d}{dx}logx=\frac{1}{x}$ है, 

⇒ $\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{x^2}{x}+2xlogx$

⇒ $\frac{1}{(x^x{)}^x}\frac{dy}{dx}=\frac{x^2}{x}+2xlogx$       (∵ y = (xx)x)

उपरोक्त समीकरण में x = 1 रखने पर

⇒ $\frac{dy}{dx}$ = 1 + 2 × 1 log 1

⇒ $\frac{dy}{dx}$ = 1          (∵ log 1 = 0)

∴ x = 1 पर $\frac{dy}{dx}$, 1 है।

संकल्पना:

• $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$xn = nxn-1
• $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$sin x = cos x
• $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$cos x = -sin x
• $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ex = ex
• $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ln x = $\frac{1}{\mathrm{x}}$
• $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$(ax + b) = a
• $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$tan x = sec2 x
• $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$f(x)g(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
• $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ sin-1 x = $\frac{1}{\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}}$
• $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ tan-1 x = $\frac{1}{1+{\mathrm{x}}^2}$

गणना:

माना कि y = f(x) = ${\mathrm{x}}^{{\tan }^{-1}\mathrm{x}}$ है। 

दोनों पक्षों में log लेने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

⇒ ln y = ln ${\mathrm{x}}^{{\tan }^{-1}\mathrm{x}}$

ln y = tan^-1 x (ln x)                      (∵ log mn = n log m)

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

$\frac{1}{\mathrm{y}}\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ = $\frac{1}{1+{\mathrm{x}}^2}(\ln \mathrm{x})+{\tan }^{-1}\mathrm{x}\left(\frac{1}{\mathrm{x}}\right)$

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ = y × $[\frac{\ln \mathrm{x}}{1+{\mathrm{x}}^2}+\frac{{\tan }^{-1}\mathrm{x}}{\mathrm{x}}]$

$\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ = ${\mathrm{x}}^{{\tan }^{-1}\mathrm{x}}[\frac{\ln \mathrm{x}}{1+{\mathrm{x}}^2}+\frac{{\tan }^{-1}\mathrm{x}}{\mathrm{x}}]$

f'(x) = $\frac{\mathrm{d}\mathrm{y}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$ = ${\mathrm{x}}^{{\tan }^{-1}\mathrm{x}}[\frac{\ln \mathrm{x}}{1+{\mathrm{x}}^2}+\frac{{\tan }^{-1}\mathrm{x}}{\mathrm{x}}]$

अब f'(1) = $1^{{\tan }^{-1}1}[\frac{\ln 1}{1+1^2}+\frac{{\tan }^{-1}1}{1}]$

f'(1) = $\frac{\pi }{4}$ या 45°