Complex Number & Representation MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Complex Number & Representation - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

 " id="MathJax-Element-180-Frame" role="presentation" style=" word-spacing: 0px; position: relative;" tabindex="0">" id="MathJax-Element-187-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">$$ $a$से जोड़ती है और धनात्मक वास्तविक अक्ष के साथ बनाती है।" id="MathJax-Element-181-Frame" role="presentation" style=" word-spacing: 0px; position: relative;" tabindex="0">" id="MathJax-Element-188-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">$$ का कोणांक कोई भी वास्तविक संख्या हो सकता है, क्योंकि यह उस कोण को दर्शाता है जो मूल बिंदु को  " id="MathJax-Element-180-Frame" role="presentation" style=" word-spacing: 0px; position: relative;" tabindex="0">" id="MathJax-Element-189-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">$$ $a$से जोड़ती है और धनात्मक वास्तविक अक्ष के साथ बनाती है।" id="MathJax-Element-181-Frame" role="presentation" style=" word-spacing: 0px; position: relative;" tabindex="0"> " id="MathJax-Element-190-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">$$  बिंदु से जोड़ने वाली रेखा धनात्मक वास्तविक अक्ष के साथ बनाती है।" id="MathJax-Element-178-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">
से जोड़ती है और धनात्मक वास्तविक अक्ष के साथ बनाती है।" id="MathJax-Element-181-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">" id="MathJax-Element-191-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">$$

से जोड़ती है और धनात्मक वास्तविक अक्ष के साथ बनाती है।" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">से जोड़ती है और धनात्मक वास्तविक अक्ष के साथ बनाती है।" id="MathJax-Element-192-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">से जोड़ती है और धनात्मक वास्तविक अक्ष के साथ बनाती है।$\mathrm{से\; जोड़ती\; है\; और\; धनात्मक\; वास्तविक\; अक्ष\; के\; साथ\; बनाती\; है।}$ से जोड़ती है और धनात्मक वास्तविक अक्ष के साथ बनाती है। व्याख्या:

दिया गया है, $0<|a|<1$ और $z$ एक सम्मिश्र संख्या है।

हमें यह पता लगाना है कि कौन सा कथन सत्य है।

विकल्प 1: इसका तात्पर्य है कि एक सम्मिश्र संख्या $z$ के लिए, यदि $|z|$ 1 से कम है, तो $1-\overline{a}z$ का मापांक $|z-a|$ से कम है। सत्यापित करने के लिए

यदि यह सत्य है, तो हम z और a के लिए विशिष्ट उदाहरणों का प्रयास कर सकते हैं इस शर्त के तहत कि |z| < 1 और $0<|a|<1$.

मान लीजिए $z=\frac{1}{2}$ और $a=\frac{1}{3}$ सबसे पहले, मापांकों की जाँच करें:

$|z|=\frac{1}{2}<1,|a|=\frac{1}{3}<1.$

यह शर्त $0<|a|<1$ और |z| < 1 को संतुष्ट करता है।

$|1-\overline{a}z|=|1-\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}|=|1-\frac{1}{6}|=\frac{5}{6}.$

$|z-a|=|\frac{1}{2}-\frac{1}{3}|=|\frac{3}{6}-\frac{2}{6}|=\frac{1}{6}.$

$|1-\overline{a}z|=\frac{5}{6}\text{और}|z-a|=\frac{1}{6}.$

स्पष्ट रूप से, $|1-\overline{a}z|>|z-a|$ , इसलिए यह असमानता इस उदाहरण के लिए मान्य नहीं है।

कथन गलत है क्योंकि हमें एक प्रति उदाहरण मिला जहाँ |$1-\overline{a}z$| |z - a| से कम नहीं है।

विकल्प 2: इसका तात्पर्य है कि यदि $z-a$ का मापांक 1 - $\overline{a}z$ के बराबर है, तो $|z|$ = 1 है। यह सममितीय प्रतिबंध सम्मिश्र समतल में दूरियों से संबंधित प्रतीत होता है। इकाई वृत्त पर बिंदुओं के लिए (अर्थात, |z| = 1),

यह सत्य है क्योंकि z का मापांक इस समीकरण को संतुष्ट करेगा। इसलिए, यह कथन सत्य है।

विकल्प 3: इसका तात्पर्य है कि इकाई वृत्त पर एक बिंदु के लिए (अर्थात, |z| = 1), z - a का मापांक |1 - $\overline{a}z$ | से कम है।

इसे सत्यापित करने के लिए, हम z और a के लिए विशिष्ट उदाहरणों का प्रयास करेंगे इस शर्त के तहत कि |z| = 1 और $0<|a|<1$।

मान लीजिए z = 1 (चूँकि |z| = 1) और $a=\frac{1}{2}$

$|z-a|=|1-\frac{1}{2}|=\frac{1}{2}.$

चूँकि z = 1 और $\overline{a}=\frac{1}{2}$ (क्योंकि a वास्तविक है), $a=\frac{1}{2}.$

$|1-\overline{a}z|=|1-\frac{1}{2}\times 1|=|1-\frac{1}{2}|=\frac{1}{2}.$

$|z-a|=\frac{1}{2}\text{और}|1-\overline{a}z|=\frac{1}{2}.$

इसलिए, असमिका $|z-a|<|1-\overline{a}z|$ इस उदाहरण में मान्य नहीं है क्योंकि दोनों पक्ष बराबर हैं।

इसलिए, कथन सत्य नहीं है।

विकल्प 4: यह सुझाव देता है कि यदि 1 - $\overline{a}z$ का मापांक $z-a$ से कम है, तो z इकाई वृत्त के अंदर है।

$\text{If }|1-\overline{a}z|<|z-a|,\text{ then }|z|<1.$

माना कि $z=\frac{1}{2}$ और $a=\frac{1}{3}$ है।

चूँकि $a=\frac{1}{3}$ है, हमारे पास $\overline{a}=\frac{1}{3}$ है (क्योंकि $a$ वास्तविक है)।

$|1-\overline{a}z|=|1-\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}|=|1-\frac{1}{6}|=\frac{5}{6}.$

$|z-a|=|\frac{1}{2}-\frac{1}{3}|=|\frac{3}{6}-\frac{2}{6}|=\frac{1}{6}.$

इस स्थिति में, $|1-\overline{a}z|=\frac{5}{6}$ और $|z-a|=|\frac{1}{2}-\frac{1}{3}|=|\frac{3}{6}-\frac{2}{6}|=\frac{1}{6}$

स्पष्ट रूप से, $|1-\overline{a}z|>|z-a|$ है, इसलिए शर्त $|1-\overline{a}z|<|z-a|$ इस उदाहरण के लिए मान्य नहीं है,

और इसलिए यह कथन को सत्यापित नहीं करता है।

कथन मान्य नहीं प्रतीत होता है।

विकल्प 2) सही है।

संप्रत्यय-

$log(z)=log\left|z\right|+i.arg(z)$

व्याख्या-

$f_n(z)=log{z}^n$

$\Rightarrow f_n(z)=nlog\left|z\right|+i.n.argz$

$\Rightarrow f_1(z)=log\left|z\right|+i.argz$

इस प्रकार $Re(z)=\frac{\pi }{4}.$

दिया गया है, $\mathrm{\Omega }=\{z\in \mathbf{C}:Re(z)>\left|Imz\right|\}$

इसलिए $f_1(\mathrm{\Omega })=\{z\in \mathbf{C}:0\le |Im(z)|<\frac{\pi }{4}\}$

इसलिए, विकल्प (1) सही है।

$f_2(\mathrm{\Omega })=\{z\in \mathbf{C}:0\le |Im(z)|<\frac{2\pi }{4}\}$

$\Rightarrow f_2(\mathrm{\Omega })=\{z\in \mathbf{C}:0\le |Im(z)|<\frac{\pi }{2}\}$

इसलिए, विकल्प (2) सही है।

$f_3(\mathrm{\Omega })=\{z\in \mathbf{C}:0\le |Im(z)|<\frac{3\pi }{4}\}$

इसलिए, विकल्प (3) सही है।

$f_4(\mathrm{\Omega })=\{z\in \mathbf{C}:0\le |Im(z)|<\frac{4\pi }{4}\}$

$\Rightarrow f_4(\mathrm{\Omega })=\{z\in \mathbf{C}:0\le |Im(z)|<\pi \}$

इसलिए, विकल्प (4) सही है।

व्याख्या:

$\left|e^{e^z}\right|=1$ जहाँ, z = x + iy 

⇒ $\left|e^{e^{x+iy}}\right|=1$

⇒ $\left|e^{e^x\cos y+i{e}^x\sin y}\right|=1$

⇒ $e^{e^x\cos y+i{e}^x\sin y}=e^{2n\pi i}$

दोनों पक्षों की तुलना करने पर,

excos y = 0 ⇒ cos y = 0 ⇒ y = (2n + 1)$\frac{\pi }{2}$ (कुछ पूर्णांक n के लिए)

अतः विकल्प (2) सही है। 

व्याख्या:

मान लीजिए z₁ = x₁ + iy₁ और z₂ = x₂ + iy₂

_⇒ z1 z2 = (x1x2 - y1y2) + i(x1y2 + y1x2)

$\Rightarrow T\left(z_1{z}_2\right)=\left[\begin{array}{cc}{x}_1{x}_2-y_1{y}_2& x_1{y}_2+y_1{x}_2\\ -(x_1{y}_2+y_1{x}_2)& x_1{x}_2-y_1{y}_2\end{array}\right]$

_{$=\left[\begin{array}{cc}{x}_1& y_1\\ -y_1& x_1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{x}_2& y_2\\ -y_2& x_2\end{array}\right]$}

=T(z₁) T(z₂)

∴ T(z1z2) = T(z1)T(z2) सभी z1, z2 ∈ ℂ के लिए

(2) T(z) एकवचन होगा जब $\left|\begin{array}{cc}x& y\\ -y& x\end{array}\right|=0$

⇒ x² + y² = 0

⇒ x = 0 और y = 0

⇒ z = 0

यदि z = 0 तो T(z) = $\left|\begin{array}{ll}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right|=0$

इसलिए T(z) एकवचन है यदि और केवल यदि z = 0

(c) $A=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$ .

इसलिए (3) गलत है।

विकल्प (4) T(z) की रैखिकता से सही है।

संप्रत्यय:

 " id="MathJax-Element-180-Frame" role="presentation" style=" word-spacing: 0px; position: relative;" tabindex="0">" id="MathJax-Element-187-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">$$ $a$से जोड़ती है और धनात्मक वास्तविक अक्ष के साथ बनाती है।" id="MathJax-Element-181-Frame" role="presentation" style=" word-spacing: 0px; position: relative;" tabindex="0">" id="MathJax-Element-188-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">$$ का कोणांक कोई भी वास्तविक संख्या हो सकता है, क्योंकि यह उस कोण को दर्शाता है जो मूल बिंदु को  " id="MathJax-Element-180-Frame" role="presentation" style=" word-spacing: 0px; position: relative;" tabindex="0">" id="MathJax-Element-189-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">$$ $a$से जोड़ती है और धनात्मक वास्तविक अक्ष के साथ बनाती है।" id="MathJax-Element-181-Frame" role="presentation" style=" word-spacing: 0px; position: relative;" tabindex="0"> " id="MathJax-Element-190-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">$$  बिंदु से जोड़ने वाली रेखा धनात्मक वास्तविक अक्ष के साथ बनाती है।" id="MathJax-Element-178-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">
से जोड़ती है और धनात्मक वास्तविक अक्ष के साथ बनाती है।" id="MathJax-Element-181-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">" id="MathJax-Element-191-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">$$

से जोड़ती है और धनात्मक वास्तविक अक्ष के साथ बनाती है।" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">से जोड़ती है और धनात्मक वास्तविक अक्ष के साथ बनाती है।" id="MathJax-Element-192-Frame" role="presentation" style="position: relative;" tabindex="0">से जोड़ती है और धनात्मक वास्तविक अक्ष के साथ बनाती है।$\mathrm{से\; जोड़ती\; है\; और\; धनात्मक\; वास्तविक\; अक्ष\; के\; साथ\; बनाती\; है।}$ से जोड़ती है और धनात्मक वास्तविक अक्ष के साथ बनाती है। व्याख्या:

दिया गया है, $0<|a|<1$ और $z$ एक सम्मिश्र संख्या है।

हमें यह पता लगाना है कि कौन सा कथन सत्य है।

विकल्प 1: इसका तात्पर्य है कि एक सम्मिश्र संख्या $z$ के लिए, यदि $|z|$ 1 से कम है, तो $1-\overline{a}z$ का मापांक $|z-a|$ से कम है। सत्यापित करने के लिए

यदि यह सत्य है, तो हम z और a के लिए विशिष्ट उदाहरणों का प्रयास कर सकते हैं इस शर्त के तहत कि |z| < 1 और $0<|a|<1$.

मान लीजिए $z=\frac{1}{2}$ और $a=\frac{1}{3}$ सबसे पहले, मापांकों की जाँच करें:

$|z|=\frac{1}{2}<1,|a|=\frac{1}{3}<1.$

यह शर्त $0<|a|<1$ और |z| < 1 को संतुष्ट करता है।

$|1-\overline{a}z|=|1-\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}|=|1-\frac{1}{6}|=\frac{5}{6}.$

$|z-a|=|\frac{1}{2}-\frac{1}{3}|=|\frac{3}{6}-\frac{2}{6}|=\frac{1}{6}.$

$|1-\overline{a}z|=\frac{5}{6}\text{और}|z-a|=\frac{1}{6}.$

स्पष्ट रूप से, $|1-\overline{a}z|>|z-a|$ , इसलिए यह असमानता इस उदाहरण के लिए मान्य नहीं है।

कथन गलत है क्योंकि हमें एक प्रति उदाहरण मिला जहाँ |$1-\overline{a}z$| |z - a| से कम नहीं है।

विकल्प 2: इसका तात्पर्य है कि यदि $z-a$ का मापांक 1 - $\overline{a}z$ के बराबर है, तो $|z|$ = 1 है। यह सममितीय प्रतिबंध सम्मिश्र समतल में दूरियों से संबंधित प्रतीत होता है। इकाई वृत्त पर बिंदुओं के लिए (अर्थात, |z| = 1),

यह सत्य है क्योंकि z का मापांक इस समीकरण को संतुष्ट करेगा। इसलिए, यह कथन सत्य है।

विकल्प 3: इसका तात्पर्य है कि इकाई वृत्त पर एक बिंदु के लिए (अर्थात, |z| = 1), z - a का मापांक |1 - $\overline{a}z$ | से कम है।

इसे सत्यापित करने के लिए, हम z और a के लिए विशिष्ट उदाहरणों का प्रयास करेंगे इस शर्त के तहत कि |z| = 1 और $0<|a|<1$।

मान लीजिए z = 1 (चूँकि |z| = 1) और $a=\frac{1}{2}$

$|z-a|=|1-\frac{1}{2}|=\frac{1}{2}.$

चूँकि z = 1 और $\overline{a}=\frac{1}{2}$ (क्योंकि a वास्तविक है), $a=\frac{1}{2}.$

$|1-\overline{a}z|=|1-\frac{1}{2}\times 1|=|1-\frac{1}{2}|=\frac{1}{2}.$

$|z-a|=\frac{1}{2}\text{और}|1-\overline{a}z|=\frac{1}{2}.$

इसलिए, असमिका $|z-a|<|1-\overline{a}z|$ इस उदाहरण में मान्य नहीं है क्योंकि दोनों पक्ष बराबर हैं।

इसलिए, कथन सत्य नहीं है।

विकल्प 4: यह सुझाव देता है कि यदि 1 - $\overline{a}z$ का मापांक $z-a$ से कम है, तो z इकाई वृत्त के अंदर है।

$\text{If }|1-\overline{a}z|<|z-a|,\text{ then }|z|<1.$

माना कि $z=\frac{1}{2}$ और $a=\frac{1}{3}$ है।

चूँकि $a=\frac{1}{3}$ है, हमारे पास $\overline{a}=\frac{1}{3}$ है (क्योंकि $a$ वास्तविक है)।

$|1-\overline{a}z|=|1-\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}|=|1-\frac{1}{6}|=\frac{5}{6}.$

$|z-a|=|\frac{1}{2}-\frac{1}{3}|=|\frac{3}{6}-\frac{2}{6}|=\frac{1}{6}.$

इस स्थिति में, $|1-\overline{a}z|=\frac{5}{6}$ और $|z-a|=|\frac{1}{2}-\frac{1}{3}|=|\frac{3}{6}-\frac{2}{6}|=\frac{1}{6}$

स्पष्ट रूप से, $|1-\overline{a}z|>|z-a|$ है, इसलिए शर्त $|1-\overline{a}z|<|z-a|$ इस उदाहरण के लिए मान्य नहीं है,

और इसलिए यह कथन को सत्यापित नहीं करता है।

कथन मान्य नहीं प्रतीत होता है।

विकल्प 2) सही है।

व्याख्या:

$\left|e^{e^z}\right|=1$ जहाँ, z = x + iy 

⇒ $\left|e^{e^{x+iy}}\right|=1$

⇒ $\left|e^{e^x\cos y+i{e}^x\sin y}\right|=1$

⇒ $e^{e^x\cos y+i{e}^x\sin y}=e^{2n\pi i}$

दोनों पक्षों की तुलना करने पर,

excos y = 0 ⇒ cos y = 0 ⇒ y = (2n + 1)$\frac{\pi }{2}$ (कुछ पूर्णांक n के लिए)

अतः विकल्प (2) सही है। 

व्याख्या:

मान लीजिए z₁ = x₁ + iy₁ और z₂ = x₂ + iy₂

_⇒ z1 z2 = (x1x2 - y1y2) + i(x1y2 + y1x2)

$\Rightarrow T\left(z_1{z}_2\right)=\left[\begin{array}{cc}{x}_1{x}_2-y_1{y}_2& x_1{y}_2+y_1{x}_2\\ -(x_1{y}_2+y_1{x}_2)& x_1{x}_2-y_1{y}_2\end{array}\right]$

_{$=\left[\begin{array}{cc}{x}_1& y_1\\ -y_1& x_1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{x}_2& y_2\\ -y_2& x_2\end{array}\right]$}

=T(z₁) T(z₂)

∴ T(z1z2) = T(z1)T(z2) सभी z1, z2 ∈ ℂ के लिए

(2) T(z) एकवचन होगा जब $\left|\begin{array}{cc}x& y\\ -y& x\end{array}\right|=0$

⇒ x² + y² = 0

⇒ x = 0 और y = 0

⇒ z = 0

यदि z = 0 तो T(z) = $\left|\begin{array}{ll}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right|=0$

इसलिए T(z) एकवचन है यदि और केवल यदि z = 0

(c) $A=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$ .

इसलिए (3) गलत है।

विकल्प (4) T(z) की रैखिकता से सही है।

संप्रत्यय:

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दिया गया है, $0<|a|<1$ और $z$ एक सम्मिश्र संख्या है।

हमें यह पता लगाना है कि कौन सा कथन सत्य है।

विकल्प 1: इसका तात्पर्य है कि एक सम्मिश्र संख्या $z$ के लिए, यदि $|z|$ 1 से कम है, तो $1-\overline{a}z$ का मापांक $|z-a|$ से कम है। सत्यापित करने के लिए

यदि यह सत्य है, तो हम z और a के लिए विशिष्ट उदाहरणों का प्रयास कर सकते हैं इस शर्त के तहत कि |z| < 1 और $0<|a|<1$.

मान लीजिए $z=\frac{1}{2}$ और $a=\frac{1}{3}$ सबसे पहले, मापांकों की जाँच करें:

$|z|=\frac{1}{2}<1,|a|=\frac{1}{3}<1.$

यह शर्त $0<|a|<1$ और |z| < 1 को संतुष्ट करता है।

$|1-\overline{a}z|=|1-\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}|=|1-\frac{1}{6}|=\frac{5}{6}.$

$|z-a|=|\frac{1}{2}-\frac{1}{3}|=|\frac{3}{6}-\frac{2}{6}|=\frac{1}{6}.$

$|1-\overline{a}z|=\frac{5}{6}\text{और}|z-a|=\frac{1}{6}.$

स्पष्ट रूप से, $|1-\overline{a}z|>|z-a|$ , इसलिए यह असमानता इस उदाहरण के लिए मान्य नहीं है।

कथन गलत है क्योंकि हमें एक प्रति उदाहरण मिला जहाँ |$1-\overline{a}z$| |z - a| से कम नहीं है।

विकल्प 2: इसका तात्पर्य है कि यदि $z-a$ का मापांक 1 - $\overline{a}z$ के बराबर है, तो $|z|$ = 1 है। यह सममितीय प्रतिबंध सम्मिश्र समतल में दूरियों से संबंधित प्रतीत होता है। इकाई वृत्त पर बिंदुओं के लिए (अर्थात, |z| = 1),

यह सत्य है क्योंकि z का मापांक इस समीकरण को संतुष्ट करेगा। इसलिए, यह कथन सत्य है।

विकल्प 3: इसका तात्पर्य है कि इकाई वृत्त पर एक बिंदु के लिए (अर्थात, |z| = 1), z - a का मापांक |1 - $\overline{a}z$ | से कम है।

इसे सत्यापित करने के लिए, हम z और a के लिए विशिष्ट उदाहरणों का प्रयास करेंगे इस शर्त के तहत कि |z| = 1 और $0<|a|<1$।

मान लीजिए z = 1 (चूँकि |z| = 1) और $a=\frac{1}{2}$

$|z-a|=|1-\frac{1}{2}|=\frac{1}{2}.$

चूँकि z = 1 और $\overline{a}=\frac{1}{2}$ (क्योंकि a वास्तविक है), $a=\frac{1}{2}.$

$|1-\overline{a}z|=|1-\frac{1}{2}\times 1|=|1-\frac{1}{2}|=\frac{1}{2}.$

$|z-a|=\frac{1}{2}\text{और}|1-\overline{a}z|=\frac{1}{2}.$

इसलिए, असमिका $|z-a|<|1-\overline{a}z|$ इस उदाहरण में मान्य नहीं है क्योंकि दोनों पक्ष बराबर हैं।

इसलिए, कथन सत्य नहीं है।

विकल्प 4: यह सुझाव देता है कि यदि 1 - $\overline{a}z$ का मापांक $z-a$ से कम है, तो z इकाई वृत्त के अंदर है।

$\text{If }|1-\overline{a}z|<|z-a|,\text{ then }|z|<1.$

माना कि $z=\frac{1}{2}$ और $a=\frac{1}{3}$ है।

चूँकि $a=\frac{1}{3}$ है, हमारे पास $\overline{a}=\frac{1}{3}$ है (क्योंकि $a$ वास्तविक है)।

$|1-\overline{a}z|=|1-\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}|=|1-\frac{1}{6}|=\frac{5}{6}.$

$|z-a|=|\frac{1}{2}-\frac{1}{3}|=|\frac{3}{6}-\frac{2}{6}|=\frac{1}{6}.$

इस स्थिति में, $|1-\overline{a}z|=\frac{5}{6}$ और $|z-a|=|\frac{1}{2}-\frac{1}{3}|=|\frac{3}{6}-\frac{2}{6}|=\frac{1}{6}$

स्पष्ट रूप से, $|1-\overline{a}z|>|z-a|$ है, इसलिए शर्त $|1-\overline{a}z|<|z-a|$ इस उदाहरण के लिए मान्य नहीं है,

और इसलिए यह कथन को सत्यापित नहीं करता है।

कथन मान्य नहीं प्रतीत होता है।

विकल्प 2) सही है।

संप्रत्यय-

$log(z)=log\left|z\right|+i.arg(z)$

व्याख्या-

$f_n(z)=log{z}^n$

$\Rightarrow f_n(z)=nlog\left|z\right|+i.n.argz$

$\Rightarrow f_1(z)=log\left|z\right|+i.argz$

इस प्रकार $Re(z)=\frac{\pi }{4}.$

दिया गया है, $\mathrm{\Omega }=\{z\in \mathbf{C}:Re(z)>\left|Imz\right|\}$

इसलिए $f_1(\mathrm{\Omega })=\{z\in \mathbf{C}:0\le |Im(z)|<\frac{\pi }{4}\}$

इसलिए, विकल्प (1) सही है।

$f_2(\mathrm{\Omega })=\{z\in \mathbf{C}:0\le |Im(z)|<\frac{2\pi }{4}\}$

$\Rightarrow f_2(\mathrm{\Omega })=\{z\in \mathbf{C}:0\le |Im(z)|<\frac{\pi }{2}\}$

इसलिए, विकल्प (2) सही है।

$f_3(\mathrm{\Omega })=\{z\in \mathbf{C}:0\le |Im(z)|<\frac{3\pi }{4}\}$

इसलिए, विकल्प (3) सही है।

$f_4(\mathrm{\Omega })=\{z\in \mathbf{C}:0\le |Im(z)|<\frac{4\pi }{4}\}$

$\Rightarrow f_4(\mathrm{\Omega })=\{z\in \mathbf{C}:0\le |Im(z)|<\pi \}$

इसलिए, विकल्प (4) सही है।