Common Roots MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Common Roots - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

हल:

दिया गया है: समीकरण निम्न है: 1. 2x² + 7x + 3 = 0 और 2. 4x² + ax - 3 = 0

यह उल्लेख किया गया है कि दोनों समीकरणों का एक उभयनिष्ठ मूल है।

हमें a का मान निर्धारित करने की आवश्यकता है।

प्रयुक्त अवधारणा: जब दो द्विघात समीकरणों का एक उभयनिष्ठ मूल होता है, तो हम एक समीकरण से मूल के मान को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करके उसे दूसरे समीकरण में बराबर कर सकते हैं।

सामान्य द्विघात समीकरण है: ax² + bx + c = 0

मूलों का योग और गुणनफल इस प्रकार दिया गया है:

1. मूलों का योग = -b / a और 2. मूलों का गुणनफल = c / a

दो समीकरणों के बीच एक उभयनिष्ठ मूल के लिए, पहले समीकरण से मूल को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें और अज्ञात प्राचल के लिए हल करें।

गणना:

चरण 1: द्विघात सूत्र का उपयोग करके पहले समीकरण को उसके मूलों के लिए हल करें:

2x² + 7x + 3 = 0 के लिए, द्विघात सूत्र है: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

यहाँ, a = 2, b = 7, c = 3.

⇒ x = (-7 ± √(7² - 4 x 2 x 3)) / (2 x 2)

⇒ x = (-7 ± √(49 - 24)) / 4

⇒ x = (-7 ± √25) / 4 ⇒ x = (-7 ± 5) / 4

इसलिए, मूल: x = (-7 + 5) / 4 = -2 / 4 = -0.5 और x = (-7 - 5) / 4 = -12 / 4 = -3 हैं। 

चरण 2: उभयनिष्ठ मूल की स्थिति का प्रयोग करें:

मान लीजिए कि उभयनिष्ठ मूल x = -3 (या x = -0.5) है।

x = -3 को दूसरे समीकरण, 4x² + ax - 3 = 0 में प्रतिस्थापित करें।

x = -3 प्रतिस्थापित करें: 4(-3)² + a(-3) - 3 = 0 ⇒ 4(9) - 3a - 3 = 0 ⇒ 36 - 3a - 3 = 0 ⇒ 33 = 3a ⇒ a = 33 / 3 ⇒ a = 11

x = -0.5 प्रतिस्थापित करें: 4(-0.5)² + a(-0.5) - 3 = 0 ⇒ 4(0.25) - 0.5a - 3 = 0 ⇒ 1 - 0.5a - 3 = 0 ⇒ -2 = 0.5a ⇒ a = -2 / 0.5 ⇒ a = -4

निष्कर्ष: a का मान 11 या -4 है।

इसलिए सही उत्तर: विकल्प 4: 11 या -4

व्याख्या:

दिया गया है:

(x - 1)2 + (x - 3)2 + (x - 5)2 = 0

⇒ x² - 2x + 1 + x² - 6x + 9 + x² - 10x + 25 = 0

⇒ 3x² - 18x + 35 = 0

अब, विविक्तकर D = (-18)² - 4 x 3 x 35

= -96 < 0

इस प्रकार, दिए गए समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

∴ विकल्प (a) सही है

संप्रत्यय:

द्विघात समीकरणों के उभयनिष्ठ मूल और मूलों का योग:

• हमें दो द्विघात समीकरण दिए गए हैं: x² + 3x - 2 = 0 और 3x² + αx - 2 = 0, जिनका एक उभयनिष्ठ मूल है।
• दो द्विघात समीकरणों का एक उभयनिष्ठ मूल होने के लिए, समीकरणों के गुणांकों के बीच संबंध को उभयनिष्ठ मूल को दोनों समीकरणों में प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाना चाहिए।
• हम α का मान इस शर्त का उपयोग करके ज्ञात कर सकते हैं कि एक मूल दोनों समीकरणों के लिए उभयनिष्ठ है और α के लिए हल करते हैं।
• α के सभी संभावित मानों का योग की गणना तब की जाएगी जब हम दो समीकरणों के गुणांकों के बीच आवश्यक संबंध निर्धारित कर लेंगे।

गणना:

हमें दो द्विघात समीकरण दिए गए हैं:

1) x² + 3x - 2 = 0

2) 3x² + αx - 2 = 0

मान लीजिए कि उभयनिष्ठ मूल α है, इसलिए हम दोनों समीकरणों में उभयनिष्ठ मूल को प्रतिस्थापित करते हैं।

पहले समीकरण से, द्विघात सूत्र का उपयोग करके, हमें प्राप्त होता है:

x = [-3 ± √(3² - 4(1)(-2))] / 2(1)

x = [-3 ± √(9 + 8)] / 2

x = [-3 ± √17] / 2

मान लीजिए कि उभयनिष्ठ मूल इन मानों में से एक है, माना कि x = [-3 + √17] / 2

α के लिए हल करने के लिए दूसरे समीकरण में x का यह मान प्रतिस्थापित करें:

3x² + αx - 2 = 0

x = [-3 + √17] / 2 प्रतिस्थापित करें:

3[(-3 + √17) / 2]² + α[(-3 + √17) / 2] - 2 = 0

α का मान ज्ञात करने के लिए समीकरण को सरल करें।

α के लिए इस समीकरण को हल करने के बाद, हम पाते हैं कि α के सभी संभावित मानों का योग है:

∴ α के सभी संभावित मानों का योग 7.5 है। 

अवधारणा:

द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 के मूल निम्न द्वारा दिए गए हैं:

$\mathrm{x}=\frac{-\mathrm{b}\pm \sqrt{{\mathrm{b}}^2-4\mathrm{a}\mathrm{c}}}{2\mathrm{a}}$

समीकरण का सारणिक D = b2 - 4ac है

• D > 0, मूल असमान और वास्तविक हैं
• D < 0, मूल काल्पनिक हैं
• D = 0, मूल वास्तविक और बराबर हैं

यदि α समीकरण ax² + bx + c = 0 का एक मूल है।

तब α इस समीकरण को संतुष्ट करता है। aα² + bα + c = 0

गणना:

दिया गया है: समीकरण x2 + ax - 20 = 0 का मूल 5 है, तो हम प्राप्त करते हैं

⇒ (5)2 + 5a - 20 = 0

⇒ 5a = - 25 + 20

⇒ 5a = - 5

⇒ a = - 1

समीकरण x2 + ax + b = 0 के मूल बराबर हैं तो

⇒ D = 0

⇒ a2 - 4⋅1⋅b = 0

⇒ 1 - 4b = 0

⇒ b = $\frac{1}{4}$

∴ b का मान 1/4 होगा।

स्पष्टीकरण​:

x2 - 4|x - 2| - 4x + 8 = 0....(i)

x > 2 के लिए,

|x - 2| = x - 2

(i) ⇒ x2 - 4(x - 2) - 4x + 8 = 0

⇒ x2 - 8x + 16 = 0

⇒ (x - 4)² = 0 ⇒ x = 4, 4

x < 2 के लिए,

|x - 2| = - (x - 2)

(i) ⇒ x2 + 4(x - 2) - 4x + 8 = 0

⇒ x2 = 0 ⇒ x = 0, 0

तब मूलों का योग  = 4 + 4 + 0 + 0 = 8

अतः (1) सही है। 

धारणा:

यदि α और β द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूल हैं तो

$\alpha +\beta =-\frac{b}{a}and\alpha \times \beta =\frac{c}{a}$

गणना:

दिया हुआ: p और q समीकरण x2 - 30x + 221 = 0 के मूल हैं

मानक द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 के साथ दिए गए समीकरण की तुलना करके हम प्राप्त करते हैं a = 1, b = - 30 और c = 221

जैसा कि हम जानते हैं कि, यदि α और β द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 के मूल हैं तो

$\alpha +\beta =-\frac{b}{a}and\alpha \times \beta =\frac{c}{a}$

$\Rightarrow p+q=30andpq=221$

$\Rightarrow p^3+q^3=\left(p+q\right)\times \left(p^2-pq+q^2\right)=\left(p+q\right)\times \left[{\left(p+q\right)}^2-3pq\right]$$\Rightarrow p^3+q^3=\left(p+q\right)\times \left[{\left(p+q\right)}^2-3pq\right]=30\times \left[900-663\right]=7110$

गणना: 

दिया हुआ:

द्विघात समीकरण x2 + ax + b = 0 और x2 + bx + a = 0 हैं

खोजने के लिए: a + b

माना कि उभयनिष्ठ मूल α है।

तब α को प्रश्न में दिए गए दोनों समीकरणों को संतुष्ट करना चाहिए।

इसलिए उन्हें इस प्रकार लिखा जा सकता है

α2 + aα + b = 0             .... (1)

α2 + bα + a = 0             .... (2)

समीकरण (2) से (1) घटाएँ

α(a - b) + (b - a) = 0

α(a - b) = (a - b)

∴ α = 1

इसलिए समीकरण (1) में α का मान रखते हुए,

हम प्राप्त करते हैं 1 + a + b = 0

∴ a + b = -1

अवधारणा:

द्विघात समीकरण ax2 + bx + c = 0 के मूल निम्न द्वारा दिए गए हैं:

$\mathrm{x}=\frac{-\mathrm{b}\pm \sqrt{{\mathrm{b}}^2-4\mathrm{a}\mathrm{c}}}{2\mathrm{a}}$

समीकरण का सारणिक D = b2 - 4ac है

• D > 0, मूल असमान और वास्तविक हैं
• D < 0, मूल काल्पनिक हैं
• D = 0, मूल वास्तविक और बराबर हैं

यदि α समीकरण ax² + bx + c = 0 का एक मूल है।

तब α इस समीकरण को संतुष्ट करता है। aα² + bα + c = 0

गणना:

दिया गया है: समीकरण x2 + ax - 20 = 0 का मूल 5 है, तो हम प्राप्त करते हैं

⇒ (5)2 + 5a - 20 = 0

⇒ 5a = - 25 + 20

⇒ 5a = - 5

⇒ a = - 1

समीकरण x2 + ax + b = 0 के मूल बराबर हैं तो

⇒ D = 0

⇒ a2 - 4⋅1⋅b = 0

⇒ 1 - 4b = 0

⇒ b = $\frac{1}{4}$

∴ b का मान 1/4 होगा।

संकल्पना:

यदि α और β समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूल हैं, 

तो मूलों का योग = α + β = -$\frac{b}{a}$

और मूलों का गुणनफल = αβ = $\frac{c}{a}$

गणना:

यदि p, q(p > q) द्विघाती समीकरण x2 + bx + c = 0 के मूल हैं।

तो, p + q = -b  __(i)

और pq = c   __(ii)

समीकरण (i) का वर्ग करने पर,

⇒ (p + q)² = (-b)²

⇒ p² + q² + 2pq = b²

⇒ p2 + q2 + 2c = b2  ((i) से)

⇒ p2 + q2 = b2 - 2c  __(iii)

समीकरण (iii) - 11(ii) लेने पर,

⇒ p2 + q2 − 11pq = b2 - 2c - 11c = 0

⇒ b² = 13c  __(iv)

अब (p - q)² =  p2 + q2 - 2pq

(ii) और (iii) से मानों को रखने पर,

⇒ (p - q)2 =  b2 - 2c  - 2c = b2 - 4c

⇒ (p - q)2 =  13c - 4c {(iv) से}

⇒ (p - q)2 =  9c

⇒ p - q = 3√c

∴ सही उत्तर विकल्प (1) है।

गणना:

हमारे पास है: y² + py + 9 = 0 और y² + qy - 9 = 0

मान लीजिए α दोनों समीकरणों का एक उभयनिष्ठ मूल है

तो α² + pα + 9 = 0 और ....(1)

α² + qα - 9 = 0 अथवा α² = 9 - qα      ....(2)

(ii) को (i) में रखने पर हमें प्राप्त होता है (9 - qα) + pα + 9 = 0

 α(p - q) = -18 या α = $\frac{18}{\mathrm{q}-\mathrm{p}}$

(i) में प्रतिस्थापित करने पर, $\frac{324}{(\mathrm{q}-\mathrm{p}{)}^2}+\frac{18\mathrm{p}}{(\mathrm{q}-\mathrm{p})}+9=0$

9(q - p)² + 18p(q - p) + 324 = 0

(q - p)2 + 2p(q - p) + 36 = 0

q² + p² - 2pq + 2pq - 2p² + 36 = 0

q² - p² + 36 = 0

p² - q² = 36

संकल्पना:

1. एक और दो सामान्य जड़ों के लिए शर्त:

यदि दोनों मूल उभयनिष्ठ हैं, तो स्थिति निम्न है

$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$

2. a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)

अगर a = b = c, तो

a3 + b3 + c3 = 3abc

गणना:

मान लें कि,

ax2 + bx + c = 0    ----(1)

bx2 + cx + a = 0    ----(2)

प्रश्न के अनुसार, समीकरण (1) और (2) के दोनों मूल उभयनिष्ठ हैं। इसलिए, ऊपर चर्चा की गई अवधारणा का उपयोग करते हुए

$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}$

यह तभी संभव होगा जब

⇒ a = b, b = c, c = a

⇒ a3 + b3 + c3 = 3abc

⇒ $\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}$ = 3

संकल्पना:

द्विघात समीकरण जिनके मूल α और β हैं, निम्न द्वारा दिया गया है

(x - α)(x - β)

गणना:

मान लें कि,

(x - a)(x - b) - c     ----(1)

प्रश्न के अनुसार, α और β समीकरण के मूल हैं।

इसलिए,

(x - a)(x - b) - c = (x - α)(x - β)

⇒ (x - a)(x - b) = (x - α)(x - β) + c

जो दर्शाता है, समीकरण (x - α)(x - β) + c के मूल a और b हैं।

संकल्पना:

• यदि α ,β ,γ एक त्रिघात समीकरण के मूल हैं, तो त्रिघात समीकरण इस प्रकार लिखा जाता है: x³ - (α + β + γ)x² + (αβ + βγ + αγ)x - αβγ = 0
• यदि त्रिघात समीकरण ax3 + bx2 + cx + d = 0 के रूप में है और​ α , β और γ इसके मूल हैं, तो:

          i)  $\alpha +\beta +\gamma =-\frac{b}{a}$........(1)

         ii) $\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =\frac{c}{a}$.........(2)

        iii) $\alpha \beta \gamma =-\frac{d}{a}$.........(3)

व्याख्या:

हमें दिया गया है कि 2 और 3 समीकरण 2x3 + mx2 - 13x + n = 0 के मूल हैं।

माना δ तीसरा मूल है।

(1) का उपयोग करने पर,

2 + 3 + δ = $-\frac{m}{2}$

⇒ 5 + δ =  $-\frac{m}{2}$........(4)

(2) का उपयोग करने पर,

(2)(3) + 3δ + 2δ = $\frac{-13}{2}$

⇒ 6 + 5δ = $\frac{-13}{2}$

⇒ δ = $-\frac{5}{2}$

(3) का उपयोग करने पर,

2 × 3 × δ = $-\frac{n}{2}$

$\Rightarrow 2\times 3\times -\frac{5}{2}=-\frac{n}{2}$

⇒ n = 30

और (4) का उपयोग करने पर,

$5+(-\frac{5}{2})=-\frac{m}{2}$

⇒ m = -5

इस प्रकार, m = -5 और n = 30

दोनों समीकरणों को घटाने पर,

(x2 – hx – 21)-( x2 -3hx + 35) = 0

हमें प्राप्त होगा 2hx = 56 अथवा hx = 28

hx का मान समीकरण 1 में रखने पर,

x2 – hx – 21 = 0

x2 – 28 – 21 = 0

x2 = 49

x = 7

h = 28/x = 28/7 = 4

हम केवल x का धनात्मक मान लेंगे क्योंकि h > 0 है (जैसा की प्रश्न में दिया गया है)

x के ऋणात्मक मान से, हमें h का ऋणात्मक मान प्राप्त होगा

व्याख्या:

दिया गया है:

(x - 1)2 + (x - 3)2 + (x - 5)2 = 0

⇒ x² - 2x + 1 + x² - 6x + 9 + x² - 10x + 25 = 0

⇒ 3x² - 18x + 35 = 0

अब, विविक्तकर D = (-18)² - 4 x 3 x 35

= -96 < 0

इस प्रकार, दिए गए समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

∴ विकल्प (a) सही है