Binomial Expansion MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Binomial Expansion - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

(a + b)ⁿ के द्विपद प्रसार में एक पद T_k+1 = C(n, k) × a^n-k × b^k द्वारा दिया जाता है।

किसी पद के परिमेय होने के लिए, √3 और 5^1/4 दोनों के घातांक पूर्णांक होने चाहिए।

प्रयुक्त सूत्र:

(√3)^n-k में, इसके परिमेय होने के लिए n-k सम होना चाहिए।

(5^1/4)^k में, इसके परिमेय होने के लिए k, 4 का गुणज होना चाहिए।

गणना:

माना n = 12:

⇒ (√3)^n-k के परिमेय होने के लिए, n-k सम होना चाहिए।

⇒ चूँकि n = 12 है, इसलिए k भी सम होना चाहिए।

⇒ (5^1/4)^k के परिमेय होने के लिए, k, 4 का गुणज होना चाहिए।

⇒ k के मान जो दोनों शर्तों (k सम है और 4 का गुणज है) को संतुष्ट करते हैं:

⇒ k = 0, 4, 8, और 12

⇒ ये प्रसार में 4 परिमेय पदों के संगत हैं।

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

संप्रत्यय:

• बहुपद प्रसार: (a + b + c)ⁿ के रूप के व्यंजक के लिए, प्रसार में प्रत्येक पद इस रूप का होता है:  (n! / (r₁! r₂! r₃!)) × a^r₁ × b^r₂ × c^r₃ जहाँ r₁ + r₂ + r₃ = n।
• अचर पद: x⁰ (अर्थात कोई x नहीं) वाला पद अचर पद कहलाता है।
• हम x के कुल घातांक को शून्य बनाने वाले घातों के संयोजन को ज्ञात करने के लिए बहुपद प्रमेय लागू करते हैं।

गणना:

हमें दिया गया है:  

माना सामान्य पद है: (5! / (r₁! r₂! r₃!)) × (2x)^r₁ × (1/x⁷)^r₂ × (3x²)^r₃

जहाँ r₁ + r₂ + r₃ = 5

x की कुल घात = r₁ × 1 − 7r₂ + 2r₃

हमें अचर पद चाहिए

⇒ x की कुल घात = 0

इसलिए, r₁ − 7r₂ + 2r₃ = 0 ...(i)

और r₁ + r₂ + r₃ = 5 ...(ii)

दोनों समीकरणों को हल करें:

(ii) से: r₃ = 5 − r₁ − r₂

(i) में प्रतिस्थापित करें:

r₁ − 7r₂ + 2(5 − r₁ − r₂) = 0

⇒ r₁ − 7r₂ + 10 − 2r₁ − 2r₂ = 0

⇒ −r₁ − 9r₂ + 10 = 0

⇒ r₁ = 10 − 9r₂

r₂ के पूर्णांक मानों का प्रयास करें ताकि r₁ और r₃ भी पूर्णांक ≥ 0 हों

यदि r₂ = 1 ⇒ r₁ = 1, r₃ = 5 − 1 − 1 = 3 

अब गुणांक की गणना करें:

पद = 5! / (1! × 1! × 3!) × (2x)¹ × (1/x⁷)¹ × (3x²)³

= 120 / (1 × 1 × 6) × 2x × 1/x⁷ × 27x⁶

= 20 × 2 × 27 = 1080

∴ प्रसार में अचर पद 1080 है।

व्याख्या:

दिया गया है:

⇒ माध्य x = np = 6....(i)

⇒ मानक विचलन = \(\sqrt{npq} = \sqrt2\)...(ii)

(ii) को (i) से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है

⇒ \(\frac{npq}{np} = \frac{2}{6}\)

⇒ q= 1/3

अब

⇒ p = 1 - q = 1- 1/3 = 2/3

(i) से

⇒\(n\times \frac{2}{3} = 6\)

⇒n =9

∴ विकल्प (d) सही है।

व्याख्या:

दिया गया है:

(8 + 3√7) 20 = U + V...(i)

(8 - 3√7) 20 = W...(ii)

⇒ (U + V)W =] (8 + 3√7) 20][(8 - 3√7) 20]

= (64 - 63)²⁰ = 1²⁰ = 1

∴ विकल्प (b) सही है।

व्याख्या:

दिया गया है:

(8 + 3√7) 20 = U + V...(i)

(8 - 3√7) 20 = W...(ii)

यहाँ, 0 < W < 1

अब, समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है

U + V +W = (8 + 3√7) 20 + (8 - 3√7) 20

= 2[²⁰C₀8²⁰+ ²⁰C₂8¹⁸. (3√7 )²+........+(3√7)²⁰

⇒ यह एक सम संख्या है।

इसके अलावा, 0 < V < 1, 0 < W < 1 और U एक पूर्णांक है

इस प्रकार, V + W एक पूर्णांक है

V + W = 1

∴ विकल्प (d) सही है।

अवधारणा:

(1 + x)n = nC0 × 1(n-0) × x 0+ nC1 × 1(n-1) × x 1 + nC2  × 1(n-2) × x2 + …. + nCn  × 1(n-n) × xn

G.P. का n^वां पद an = arⁿ⁻¹ है

n पदों का योग = s = \(a (r^n-1)\over(r- 1)\); जहाँ r >1

n पदों का योग = s = \(a (1- r^n)\over(1- r)\); जहाँ r <1

गणना:

C(n, 1) + C(n, 2) + _ _ _ _  _ + C(n, n) 

⇒ nC1 + nC2 + ... + nCn 

⇒ nC0 + nC1 + nC2 + ... + nCn - nC0

⇒ (1 + 1)n - nCo 

⇒ 2n - 1 = \(\rm 2^n - 1\over 2-1\) = 1 × \(\rm 2^n - 1\over 2-1\)

G.P योग = a × \(\rm r^n - 1\over r-1\), के साथ इसकी तुलना करना हमें a = 1 और r = 2 मिलता है

∴ 2n - 1 = 1 + 2 + 2² + ... +2^n-1 जो हमें कुल में n पद देगा।

अवधारणा:

\(\rm ^n C_r = {n!\over(r!(n - r)!)}\)

(1 + x)ⁿ = ⁿC₀ × 1^(n-0) × x ⁰+ ⁿC₁ × 1^(n-1) × x ¹ + ⁿC₂  × 1(n-2) × x² + …. + ⁿC_n  × 1(n-n) × xⁿ

गणना:

दिया गया विस्तार (1 + x)²ⁿ है

= ²ⁿC₀ ×1^(2n-0) × x⁰ +  2nC₁ ×1(2n-1) × x¹ + ... +  2nC_2n ×1(2n-2n) × x²ⁿ

पहला पद = 2nC0 ×1 × 1 = 1

अंतिम पद =  2nC_2n ×1 × x²ⁿ = 1 × x²ⁿ = x²ⁿ

⇒ योग = 1 + x²ⁿ

1 का गुणांक = 1, x2n का गुणांक = 1

∴  तो, गुणांकों का योग = 1 + 1 = 2

संकल्पना:

(1 + x)n का प्रसरण:

\(\rm (1+x)^n = 1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 +....\)

गणना:

दिया गया है: (1 + x)m के द्विपद प्रसरण में तीसरा पद (-1/8)x² है। 

\(\rm (1+x)^m= 1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}x^2+\frac{m(m-1)(m-2)}{3!}x^3 +....\)

इसलिए, (1 + x)m के द्विपद प्रसरण में तीसरा पद\(\rm \frac{m(m-1)}{2!}x^2\) है। 

\(\rm \frac{m(m-1)}{2!}x^2\) = (-1/8)x²

⇒ \(\rm \frac{m(m-1)}{2}= \frac {-1}{8}\)

⇒ 4m² - 4m + 1 = 0

⇒ (2m - 1)² = 0

⇒ 2m - 1 = 0

∴ m = \(\frac 12\)

संकल्पना:

सामान्य पद: (x + y)ⁿ के विस्तार में सामान्य पद निम्न द्वारा दिया गया है

\(\rm {T_{\left( {r\; + \;1} \right)}} = \;{\;^n}{C_r} \times {x^{n - r}} \times {y^r}\)

(1 + x)ⁿ का विस्तार:

\(\rm (1+x)^n = 1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 +....\)

गणना:

खोजने के लिए: \(\rm (4-5x^2)^{-1/2}\) के विस्तार में x² का गुणांक \(\rm (4-5x^2)^{-1/2} = 4^{-1/2}\left(1-\frac{5}{4}x^2 \right )^{-1/2}\\ \text{As we know}\;\rm (1+x)^n = 1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 +....\\\therefore 4^{-1/2}\left(1-\frac{5}{4}x^2 \right )^{-1/2} = 2^{-1}\left[1 + \left(-\frac{5}{4}x^2 \right ) \times (\frac{-1}{2}) + ... \right ]\)

अब, विस्तार में x² का गुणांक = \(2^{-1} \times \frac{-5}{4} \times \frac{-1}{2} = \frac{5}{16}\)

संकल्पना:

(x + y)ⁿ का द्विपद प्रसरण निम्न द्वारा दिया जाता है

(x + y)n = ⁿC₀xⁿ + nC1xn-1y + nC2xn-2y²+.....+ nCn-1xy^n-1 + nCnyn  

गणना:

दिया गया है,  \(\displaystyle\sum_{r=0}^n\)2r C(n, r)

व्यंजक​ का प्रसार करने पर,

⇒ nC020 + nC1 2¹ + nC222+.....+ nCn-12n-1 + nCn2n  

⇒ nC01n 20 + nC1 1n-1 2¹ + nC21n-2 22+.....+ nCn-1 2n-1 + nCn2n  

द्विपद प्रसरण की तुलना करने पर x = 1 और y = 2

⇒  \(\displaystyle\sum_{r=0}^n\)2r C(n, r) = (1 + 2)ⁿ

⇒  \(\displaystyle\sum_{r=0}^n\)2r C(n, r) = 3n

∴ सही विकल्प (2) है।

संकल्पना:

• (x₁ + x₂ + x₃ +......+ x_r)ⁿ  के विस्तार में पदों की संख्या =  \(^{n+r-1}C_{n}\) है, जहाँ n = विस्तारित किए जाने वाले पद का घातांक, r = विस्तारित किए जाने वाले पदों की संख्या
• ​ \(^{n}C_{r}=\frac{n!}{(n-r)!~r!}\)

व्याख्या:

(x + y + z)10 में पदों की संख्या= \(^{10+3-1}C_{10}\) (चूंकि, n = 10 और r = 3)

⇒ \(^{12}C_{10}\)

अतः \(^{12}C_{10}=\frac{12!}{(12-10)!~10!}\)

\( \Rightarrow ^{12}C_{10}=66\)

प्रयुक्त सूत्र:

\(^nC_r=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)

n! = n × (n - 1) × (n - 2).......3 × 2 × 1 

गणना:

दिया गया है कि,

4 × nC5 = 9 × n-1C5

उपरोक्त सूत्र का प्रयोग करने पर 

\(4×\frac{n!}{5!(n-5)!}=9×\frac{(n-1)!}{5![(n-1)-5]!}\)

⇒ \(4×\frac{n× (n-1)!}{5!(n-5)(n-6)!}=9×\frac{(n-1)!}{5![(n-6]!}\)

⇒ \(\frac{4n}{(n-5)} = 9\)

⇒ 9n - 45 = 49

⇒ 5n = 4n

⇒ n = 9

धारणा:

हमारे पास है (x + y) n = nC0 xn + nC1 xn-1 . y + nC2 xn-2. y2 + …. + nCn yn

• सामान्य पद: (x + y)ⁿ के विस्तार में सामान्य पद निम्न द्वारा दिया जाता है
• \({{\rm{T}}_{\left( {{\rm{r\;}} + {\rm{\;}}1} \right)}} = {\rm{\;}}{{\rm{\;}}^{\rm{n}}}{{\rm{C}}_{\rm{r}}} \times {{\rm{x}}^{{\rm{n}} - {\rm{r}}}} \times {{\rm{y}}^{\rm{r}}}\)
• (x + y)n के द्विपदीय विस्तार में अंत से r^वां पद (n – r + 2)वां पद है।

सूचना: 

• (x + y)n के द्विपदीय विस्तार में अंत से rवां पद = (y + x)n के द्विपदीय विस्तार में प्रारंभ से rवां पद।
• अगर हम x → y पद को अदल-बदल करते हैं तो यह प्रारंभ से rवां पद देगा।

गणना:

हमें (x – 1/x) 12 में अंत से 9वां पद ढूंढना है

हम जानते हैं कि अंत से rवां पद मतलब प्रारंभ से (n – r + 2)वां पद।

तो अंत से 9वां पद = प्रारंभ से [12 – 9 + 2]वां पद = प्रारंभ से 5वां पद

सामान्य पद: \({{\rm{T}}_{\left( {{\rm{r\;}} + {\rm{\;}}1} \right)}} = {\rm{\;}}{{\rm{\;}}^{\rm{n}}}{{\rm{C}}_{\rm{r}}} \times {{\rm{x}}^{{\rm{n}} - {\rm{r}}}} \times {{\rm{y}}^{\rm{r}}}\)

\(\Rightarrow {{\rm{T}}_5} = {\rm{\;}}{{\rm{T}}_{\left( {4 + {\rm{\;}}1} \right)}} = {\rm{\;}}{{\rm{\;}}^{12}}{{\rm{C}}_4} \times {{\rm{x}}^{12 - 4}} \times {\left( {\frac{{ - 1}}{{\rm{x}}}} \right)^4}\)

\( = {{\rm{\;}}^{12}}{{\rm{C}}_4} \times {{\rm{x}}^8} \times \frac{1}{{{{\rm{x}}^4}}}\)

= ¹²C₄ x⁴

संकल्पना:

(x + y)n का विस्तार द्विपद विस्तार द्वारा दिया गया है। विस्तार होगा

(x + y)n = nC0 xn + nC1 xn-1 y + nC2 xn-2 y2 + ... + nCr xn-r yr + ... + nCn yn;

सामान्य पद इसके द्वारा दिया गया है

Tr = nCr xn-r yr ;

गणना:

दिया गया विस्तार \(\left(3x^2 + \frac 1 x\right)^{30}\) है

माना कि r^वें पद में x¹² है और गुणांक A है;

⇒ Tr = A x12;

दिए गए विस्तार का सामान्य r^वां पद होगा

T _r = \(^{30}C_r (3x^2)^{30-r}(\frac {1}{x})^{r} \)

⇒ Tr = 30Cr 330-r × x60-2r × x-r = 30Cr 330-r × x60-3r

12 के साथ x का घात बराबर करके,

⇒ 60 - 3r = 12 ⇒ r = 16

अब गुणांक होगा

A = 30Cr 330-r = 30C16 314;

संकल्पना:

द्विपद प्रसरण:

• (a + b)ⁿ = C₀ aⁿ b⁰ + C₁ a^n-1 b¹ + C₂ a^n-2 b² + … + C_r a^n-r b^r + … + C_n-1 a¹ b^n-1 + C_n a⁰ bⁿ, जहाँ C₀, C_1, …, C_n, C_r = ⁿC_r = \(\rm \frac{n!}{r!(n-r)!}\) के रूप में परिभाषित द्विपद गुणांक हैं। 
• (1 - x)^-n = 1 + ⁿC₁ x + ⁿ⁺¹C₂ x² + ⁿ⁺²C₃ x³ + ....

बीजगणितीय सर्वसमिका:

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
गणना:

हमें दिया गया है कि 1³ - x³ = (1 - x)(1 + x + x²)

⇒ 1 + x + x2 = \(\rm{1-x^3\over1-x}\)

अब, (1 + x + x2)-3 को निम्न रूप में लिखा जा सकता है:

= \(\rm\left({1-x^3\over1-x}\right)^{-3}\)

= (1 - x)3 × (1 - x³)^-3

= (1 - 3x + 3x² - x³)(1 + ³C₁ x³ + ⁴C₂ x⁶ + ... x का उच्चतम घांत)

x⁶, (1 और ⁴C₂ x⁶) तथा(-x³ और ³C₁ x³) को गुणा करके प्राप्त होगा। 

∴ x⁶ का गुणांक: (1 × 4C2) + (-1 × 3C1) = 6 - 3 = 3 होगा।