Binomial Distribution MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Binomial Distribution - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

Last updated on Jun 14, 2025

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Latest Binomial Distribution MCQ Objective Questions

Binomial Distribution Question 1:

मान लीजिए X द्विपद बंटन का अनुसरण करने वाला एक यादृच्छिक चर है, जिसके माध्य और प्रसरण क्रमशः 200 और 160 हैं। परीक्षणों की संख्या (n) का मान क्या है?

  1. 500
  2. 1000
  3. 1500
  4. 2000

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 1000

Binomial Distribution Question 1 Detailed Solution

गणना:

दिया गया है,

द्विपद बंटन का माध्य, μ=200

द्विपद बंटन का प्रसरण, σ2=160

एक द्विपद यादृच्छिक चर के लिए,

μ=npऔरσ2=np(1p).

माध्य से,

np=200p=200n.

प्रसरण का उपयोग करने पर,

np(1p)=160n(200n)(1200n)=160200(1200n)=160.

सरलीकरण करने पर,

1200n=0.8200n=0.2n=2000.2=1000.

परीक्षणों की संख्या n=1000 है।

Binomial Distribution Question 2:

एक व्यक्ति द्वारा किसी लक्ष्य को भेदने की प्रायिकता 1/5 है। यदि वह व्यक्ति 7 बार फायर करता है, तो क्या प्रायिकता है कि वह अपने लक्ष्य पर कम-से-कम दो बार लक्ष्य भेद सकें?

  1. 1(35)(45)6
  2. 1(35)(45)7
  3. 1(115)(45)6
  4. 1(115)(45)7

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 1(115)(45)6

Binomial Distribution Question 2 Detailed Solution

गणना:

दिया गया,

प्रति शॉट लक्ष्य भेदने की प्रायिकता, p=15

दागे गए शॉट की संख्या, n=7

हिट की संख्या द्विपद बंटन का अनुसरण करती है:

XBinomial(n=7,p=15)

शून्य लक्ष्य भेदने की प्रायिकता:

P(X=0)=(45)7

ठीक एक लक्ष्य भेदने की प्रायिकता:

P(X=1)=(71)(15)(45)6=75(45)6

कम से कम दो लक्ष्य भेदने की प्रायिकता:

P(X2)=1[P(X=0)+P(X=1)]=1115(45)6

∴ लक्ष्य पर कम से कम दो बार भेदने की प्रायिकता 1115(45)6 है।

अतः सही उत्तर विकल्प 3 है।

Binomial Distribution Question 3:

Comprehension:

निम्न दो (02) प्रश्नांशों के लिए निम्नलिखित पर विचार कीजिए :
मान लीजिए प्राचल n = 6 और pk के साथ X द्विपद बंटन का अनुसरण करने वाला एक यादृच्छिक चर है। इसके अतिरिक्त, 9P(X = 4) = P(X = 2) है।

P (X = 3) का मान क्या है?

  1. 135/1024
  2. 5/128
  3. 45/1024
  4. 70/1024

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 135/1024

Binomial Distribution Question 3 Detailed Solution

गणना:

दिया गया है,

मान लीजिए X एक यादृच्छिक चर है जो n = 6 और p = 14 प्राचल वाले द्विपद बंटन का अनुसरण करता है।

द्विपद बंटन के लिए प्रायिकता द्रव्यमान फलन है:

P(X=x)=(nx)px(1p)nx

P(X=3) के लिए, हमारे पास है:

P(X=3)=(63)(14)3(34)3

मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

P(X=3)=20×164×2764

अब समीकरण को सरल करने पर:

P(X=3)=20×274096=5404096

भिन्न को सरल करने पर :

P(X=3)=1351024

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है। 

Binomial Distribution Question 4:

Comprehension:

निम्न दो (02) प्रश्नांशों के लिए निम्नलिखित पर विचार कीजिए :
मान लीजिए प्राचल n = 6 और pk के साथ X द्विपद बंटन का अनुसरण करने वाला एक यादृच्छिक चर है। इसके अतिरिक्त, 9P(X = 4) = P(X = 2) है।

k का मान क्या है?

  1. 1/2
  2. 1/3
  3. 1/4
  4. 1/5

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 1/4

Binomial Distribution Question 4 Detailed Solution

गणना:

दिया गया है,

मान लीजिए X एक यादृच्छिक चर है जो n = 6 और p = k प्राचल वाले द्विपद बंटन का अनुसरण करता है।

साथ ही, यह दिया गया है:

9P(X=4)=P(X=2)

द्विपद बंटन के लिए प्रायिकता द्रव्यमान फलन है:

P(X=x)=(nx)px(1p)nx

P(X = 4) के लिए, हमारे पास है:

P(X=4)=(64)k4(1k)2=15k4(1k)2

P(X = 2) के लिए, हमारे पास है:

P(X=2)=(62)k2(1k)4=15k2(1k)4

हमें दिया गया है कि:

9P(X=4)=P(X=2)

P(X = 4) और P(X = 2) के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:

9×15k4(1k)2=15k2(1k)4

15 के उभयनिष्ठ गुणनखंड को निरस्त करने पर:

9k4(1k)2=k2(1k)4

9k2=(1k)2

9k2=12k+k2

8k2+2k1=0

k के लिए हल करने के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर:

k=2±224×8×(1)2×8

k=2±4+3216

k=2±3616

k=2±616

इस प्रकार, k के दो संभावित मान हैं:

k=416=14 या k=816=12

चूँकि k एक प्रायिकता का प्रतिनिधित्व करता है, इसलिए यह 0 और 1 के बीच होना चाहिए। इसलिए, मान्य हल है:

k=14

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 3 है।

Binomial Distribution Question 5:

यदि बर्नोली बंटन B(10,12) के लिए, दिया गया है कि P(X ≤ 2) = m(12)10 है। तो m = ________ है। 

  1. 101
  2. 55
  3. 56
  4. 46
  5. 54

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 56

Binomial Distribution Question 5 Detailed Solution

प्रयुक्त सूत्र:

बर्नोली बंटन B(n, p) के लिए,

P(X = k) = nCkpk(1p)nk

गणना:

दिया गया है:

बर्नोली बंटन B(10, 12)

P(X ≤ 2) = m(12)¹⁰

P(X ≤ 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)

P(X=0) = 10C0(12)0(12)10=(12)10

P(X=1) = 10C1(12)1(12)9=10(12)10

P(X=2) = 10C2(12)2(12)8=10×92(12)10=45(12)10

P(X ≤ 2) = (1+10+45)(12)10=56(12)10

दिए गए समीकरण से तुलना करने पर,

m = 56

इसलिए, विकल्प 3 सही है। 

Top Binomial Distribution MCQ Objective Questions

एक सिक्का 6 बार उछाला जाता है। ठीक 2 चित पाने की प्रायिकता क्या है?

  1. 13
  2. 12
  3. 1564
  4. इनमें से कोई नहीं

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 1564

Binomial Distribution Question 6 Detailed Solution

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अवधारणा:

द्विपद वितरण:

यदि ‘n’ और ‘p’ मानदंड हैं, तो ‘n’ प्रयोग के संचालित होने की कुल संख्या को दर्शाता है और ‘p’ घटना के घटित होने की प्रायिकता को दर्शाता है। 

एक यादृच्छिक चर X के लिए ‘n’ स्वतंत्र प्रयासों में ठीक ‘k’ सफलताओं को प्राप्त करने की प्रायिकता को P(X = k) के रूप में व्यक्त किया किया गया है और इसे निम्न सूत्र द्वारा ज्ञात किया गया है:

P(X = k) = nCk pk (1 - p)n - k

गणना:

एकल उछाल में चित मिलने की प्रायिकता p = 12 है।

∴ 6 उछालों में 2 चित मिलने की प्रायिकता निम्न होगी

P(X = 2) = 6C2(12)2(112)62

= 1564

एक पक्षी को मारने की संभावना तीन प्रयासों में 1 है। इस प्रायिकता का पता लगाएं कि 3 प्रयासों में कोई पक्षी नहीं मारा गया है।

  1. 827
  2. 2627
  3. 127
  4. इनमें से कोई नहीं

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 827

Binomial Distribution Question 7 Detailed Solution

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अवधारणा:

द्विपद वितरण:

यदि ‘n’ और ‘p’ मानदंड हैं, तो ‘n’ प्रयोग के संचालित होने की कुल संख्या को दर्शाता है और ‘p’ घटना के घटित होने की प्रायिकता को दर्शाता है। 

एक यादृच्छिक चर X के लिए ‘n’ स्वतंत्र प्रयासों में ठीक ‘k’ सफलताओं को प्राप्त करने की प्रायिकता को P(X = k) के रूप में व्यक्त किया किया गया है और इसे निम्न सूत्र द्वारा ज्ञात किया गया है:

P(X = k) = nCk pk (1 - p)n - k

 

गणना:

पक्षी के मारे जाने की प्रायिकता है = "3 में 1" = 13

∴ 3 प्रयासों में किसी पक्षी के न मारे जाने की प्रायिकता निम्न होगी:

P(X = 0) = 3C0 (13)0 (113)30

= 827

एक बॉक्स में 100 पेन हैं जिनमें से 10 खराब हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि एक-एक करके निकाले गए 5 पेनों के प्रतिदर्श में से अधिक से अधिक एक खराब है?

  1. (910)5
  2. 12(910)4
  3. 12(910)5
  4. (910)5+12(910)4

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : (910)5+12(910)4

Binomial Distribution Question 8 Detailed Solution

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संकल्पना:

द्विपद बंटन:​ P(x = r) = nCr pr qn-r, जहाँ r = 0,1,2,......n। 

जहाँ, n = परीक्षणों की कुल संख्या

p = प्रत्येक परीक्षण पर सफलता की प्रायिकता

q = 1- p = असफलता की प्रायिकता

r =सफलताओं की संख्या 

गणना:

पेनों की कुल संख्या 100 है।

खराब पेनों की संख्या 10 है।

सही पेनों की संख्या 100 - 10 = 90 है। 

P(अधिक से अधिक 1 खराब पेन) = P(कोई खराब पेन नहीं) + P(1 खराब पेन)

P(कोई खराब पेन नहीं) = P(r = 0) = 5C0(110)0(910)5 = (910)5

P(1 खराब पेन) = 5C1 × (910)4× 110 = 12(910)4

∴ P(अधिक से अधिक 1 खराब पेन​) = (910)5+12(910)4

सही उत्तर विकल्प 4 है।

यदि एक न्यायसंगत (निष्पक्ष) पासा 4 बार लुढ़काया जाता है, तो क्या प्रायिकता है कि वहां ठीक-ठीक 2 छः आ जाएं?

  1. 5216
  2. 25216
  3. 125216
  4. 175216

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 25216

Binomial Distribution Question 9 Detailed Solution

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धारणा:

द्विपद वितरण:

b(x;n,p)=nCx×px×qnx जहां p सफलता की प्रायिकता है, q विफलता की प्रायिकता है, n प्रयासों की कुल संख्या है और x सफल प्रयासों की संख्या है।

गणना:

दिया हुआ: एक निष्पक्ष पासा 4 बार रोल किया जाता है।

माना कि जब एक पासा रोल्ड हो तो p 6 मिलने की प्रायिकता का प्रतिनिधित्व करें = 1 / 6

माना कि जब एक पासा रोल्ड हो तो q 6 न मिलने की प्रायिकता का प्रतिनिधित्व करें

= 1 – (1 / 6) = 5 / 6

जैसा कि हम जानते हैं कि द्विपद वितरण के अनुसार:

b(x;n,p)=nCx×px×qnx

यहाँ n = 4, x = 2, p = 1 / 6 और q = 5 / 6

इसलिए जब एक निष्पक्ष पासा 4 बार रोल किया जाता है तो ठीक 2 छक्के मिलने की प्रायिकता

⇒ b(x;n,p)=4C2×(16)2×(56)2=25216

द्विपद वितरण का माध्य और प्रसरण क्रमशः 8 और 4 हैं तो p(x = 1) किसके बराबर है?

  1. 1212
  2. 124
  3. 126
  4. 128

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 1212

Binomial Distribution Question 10 Detailed Solution

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संकल्पना:

द्विपद वितरण: यदि एक यादृच्छिक चर X में n और p के रूप में मापदंडों के साथ B (n, p) के रूप में द्विपद वितरण है तो यादृच्छिक चर की प्रायिकता इस प्रकार दी गई है:

P( X = k) = nCk pk (1 - p)(n - k)

जहाँ, n अवलोकनों की संख्या है, p सफलता की प्रायिकता है और (1 - p) विफलता की प्रायिकता है।

 

गुण:

  • वितरण का माध्य (μ) = np
  • प्रसरण (σ2x) = npq

गणना:

दिया हुआ:

माध्य μ = np = 8        ----(1)

प्रसरण σ2 = npq = 4       ----(2)

समीकरण (2) को (1) से विभाजित करके हम प्राप्त करते हैं

q = 1/2

जैसा कि हम जानते हैं, p + q = 1

⇒ p = 1 - q = 1/2

n के मान को समीकरण (1) में रखें, हम प्राप्त करते हैं

n = 16

अब

P(x = 1) = 16C1(12)1×(12)161

=16×1216=24×1216=1212

मान लीजिए कि एक निष्पक्ष पासे को 72 बार फेंका जाता है और एक फेंक पर 4 प्राप्त करना सफलता के रूप में कहा जाता है तो सफलता की संख्या का प्रसरण ज्ञात करें?

  1. 30
  2. 5
  3. 10
  4. 20

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 10

Binomial Distribution Question 11 Detailed Solution

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अवधारणा:

द्विपद वितरण:

यदि किसी यादृच्छिक चार X में B और (n, p) के रूप में n और p में मापदंडों के रूप में द्विपद वितरण है, तो यादृच्छिक चर की प्रायिकता निम्नानुसार है:

P( X = k) = nCk pk q(n - k) जहां q = p - 1, n अवलोकनों की संख्या है, p सफलता की प्रायिकता है और q विफलता की प्रायिकता है।

ध्यान दें: द्विपद वितरण का माध्य np और प्रसरण npq है।

गणना:

दिया गया है कि: एक निष्पक्ष पासे को 72 बार फेंक दिया जाता है और एक फेंक पर 4 प्राप्त करना सफलता कहा जाता है

जैसा कि हम जानते हैं कि जब एक पासा फेंका जाता है तो 6 परिणाम आता हैं।

माना एक फेंक पर 4 प्राप्त करने की प्रायिकता बताएं जिसे p द्वारा निरूपित किया जाता है।

⇒ p = 1/6

माना कि विफलता की प्रायिकता को q = 1 - p द्वारा दर्शाया गया है।

⇒ q = 1 - 1/6 = 5/6

जैसा कि हम जानते हैं कि, एक द्विपद वितरण का प्रसरण = npq 

variance=72×16×56=10

इसलिए, सही विकल्प 3 है।

यदि स्वतंत्र यादृच्छिक चर X,Y को द्विपद रूप से क्रमशः n = 3, p = 13 और n = 5, p = 13 के साथ बंटन किया जाता है, तो (X + Y ≥ 1) की प्रायिकता है:

  1. 1 - (23)6
  2. 1 - (13)8
  3. 1 - (23)8
  4. 1 - (13)6

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 1 - (23)8

Binomial Distribution Question 12 Detailed Solution

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दिया गया है:

यदि स्वतंत्र यादृच्छिक चर X,Y को द्विपद रूप से बंटन किया जाता है तो इसका अर्थ है

~ B(n, p)

~ B(3, 1/3) और Y ~ B(5, 1/3)

यहां, B = द्विपद बंटन

n = प्रेक्षणों की संख्या

p = प्रायिकता

गणना:

चूंकि X और Y स्वतंत्र द्विपद यादृच्छिक चर हैं जिनमें p1 = p2 है = 1/3

द्विपद बंटन का गुण जोड़ने पर

⇒ X + Y ~ B(3 + 5, 1/3)

⇒ X + Y ~B(8,1/3)

हम जानते हैं कि, P(X + Y ≥ γ) = 8Cr(1/3)r(2/3)8 - r

⇒ P(X + Y ≥ 1) = 1 - P( X + Y < 1)

⇒ 1 - P(X + Y = 0)

∴ 1 - (2/3)8

द्विपद प्रायिकता बंटन वाले एक यादृच्छिक चर के माध्य व प्रसरण क्रमशः 4 तथा 2 हैं, तब P (X = 1 ) है :

  1. 132
  2. 116
  3. 18
  4. 14

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 132

Binomial Distribution Question 13 Detailed Solution

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संकल्पना:

एक यादृच्छिक चर X के द्विपद वितरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है,

P(X = k) = nCkpkqnk

माध्य = np 

भिन्नता = npq

गणना:

दिया गया है, द्विपद वितरण वाले एक यादृच्छिक चर X का माध्य और भिन्नता क्रमशः 4 और 2 हैं,

⇒ माध्य = np = 4              ....(1)

⇒ भिन्नता = npq = 2       ....(2)

समीकरण (1) और (2) से, हमारे पास निम्न हैं

⇒ q = 12

हम जानते हैं, p = 1 - q 

⇒ p = 12

समीकरण (1) से, हमारे पास निम्न हैं

n = 8 

एक यादृच्छिक चर X के द्विपद वितरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है,

P(X = k) = nCkpkqnk

⇒P(X = 1) = 8C1p1q81

⇒P(X = 1) = 8.12127

⇒P(X = 1) = 132

एक यादृच्छिक चर X पर विचार करें जो मापदंडों n = 10 और p=15 के साथ द्विपद वितरण का अनुसरण करता है। फिर Y = 10 - X क्रमशः _____ द्वारा दिए गए मापदंडों n' और p' के साथ द्विपद वितरण का अनुसरण करता है।

  1. 5,15
  2. 5,25
  3. 10,35
  4. 10,45

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 10,45

Binomial Distribution Question 14 Detailed Solution

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संकल्पना:

द्विपद वितरण:

पैरामीटर n और p के साथ P(X = r) के लिए द्विपद वितरण निम्नानुसार दिया गया है:

P(X=r)=nCrprqnr

जहाँ q पूरक घटना है।

साथ ही, किसी भी यादृच्छिक चर X का गुण,

E(aX + b)  = aE(X) + b

V(aX + b)  = (a2)V(X) 

गणना:

दिया गया है: n = 10 और p=15

इसलिए, q = 1 - p 

q=45

यादृच्छिक चर X के लिए,

माध्य = E(X) = np = 10 × (1/5) = 2

प्रसरण = V(X) = npq = 10 × (1/5) ×(4/5)  = 8/5

चूँकि, Y = 10 - X

⇒ E(Y) = E(10 - X)

⇒ E(Y) = 10 - E(X) = 10 - 2

⇒ 8 = n'p'      ....(1)

साथ ही, V(Y) = V(10 - X) = 0 + (-1)2 V(X)

⇒ 8/5 = n'p'q'      ....(2)

1 और 2 को हल करने पर हमें n', p', और q' प्राप्त होगा जो होगा,

⇒ 8/5 = 8'q'   

⇒ q' = 1/5   

⇒ p' = 4/5   

अब,

⇒ 8 = n'  (4/5)

⇒ n' = 10

एक छात्र 5 बहुविकल्पीय प्रश्नों से युक्त क्विज़ देता है। प्रत्येक प्रश्न के 4 संभावित उत्तर हैं। यदि कोई छात्र यादृच्छिक रूप से उत्तर का अनुमान लगा रहा है और सभी के उत्तर स्वतंत्र है, तो कम से कम एक सही उत्तर की प्रायिकता कितनी होगी?

  1. 0.237
  2. 0.00076
  3. 0.7627
  4. 1

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 0.7627

Binomial Distribution Question 15 Detailed Solution

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संकल्पना: 

अगर सही और गलत के केवल 2 मामले हो सकते हैं, तो:

n में से r सही मामलों की प्रायिकता (≥ r) P(x = r) = nCr prq(n-r) 

जहां p मामले के सही होने की प्रायिकता है और q मामले के गलत होने की प्रायिकता है

नोट: p और q  1 हैं 

 

गणना:

सही उत्तर की प्रायिकता p14 = 0.25

गलत उत्तर की प्रायिकता q = 34 = 0.75

कुल प्रश्न n = 5

कम से कम एक सही उत्तर की  संभावना  (x ≥ 1):

P(x ≥ 1) = 1 - P(x = 0)

⇒ P(x ≥ 1) = 1 - 5C0 p0q5

⇒ P(x ≥ 1) = 1 - (0.75)5 

⇒ P(x ≥ 1) = 1 - 0.2373

⇒ P(x ≥ 1) \boldsymbol 0.7627

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