Binomial Distribution MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Binomial Distribution - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Apr 7, 2025
Latest Binomial Distribution MCQ Objective Questions
Binomial Distribution Question 1:
यदि बर्नोली बंटन B\(\left(10, \frac{1}{2}\right)\) के लिए, दिया गया है कि P(X ≤ 2) = m\(\left(\frac{1}{2}\right)^{10}\) है। तो m = ________ है।
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Distribution Question 1 Detailed Solution
प्रयुक्त सूत्र:
बर्नोली बंटन B(n, p) के लिए,
P(X = k) = \({^nC_k} p^k (1-p)^{n-k}\)
गणना:
दिया गया है:
बर्नोली बंटन B(10, \(\frac{1}{2}\))
P(X ≤ 2) = m(\(\frac{1}{2}\))¹⁰
P(X ≤ 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)
P(X=0) = \({^{10}C_0} (\frac{1}{2})^0 (\frac{1}{2})^{10} = (\frac{1}{2})^{10}\)
P(X=1) = \({^{10}C_1} (\frac{1}{2})^1 (\frac{1}{2})^{9} = 10 (\frac{1}{2})^{10}\)
P(X=2) = \({^{10}C_2} (\frac{1}{2})^2 (\frac{1}{2})^{8} = \frac{10 \times 9}{2} (\frac{1}{2})^{10} = 45 (\frac{1}{2})^{10}\)
P(X ≤ 2) = (\(1 + 10 + 45)(\frac{1}{2})^{10} = 56 (\frac{1}{2})^{10}\)
दिए गए समीकरण से तुलना करने पर,
m = 56
इसलिए, विकल्प 3 सही है।
Binomial Distribution Question 2:
एक न्याय्य सिक्के को तीन बार उछालने पर चित आने की माध्य संख्या ______ है।
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Distribution Question 2 Detailed Solution
प्रयुक्त अवधारणा:
एक असतत यादृच्छिक चर X का माध्य (या प्रत्याशित मान) इस प्रकार दिया जाता है:
\(E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i P(x_i)\)
जहाँ xi, X के संभावित मान हैं और P(xi) उनकी प्रायिकताएँ हैं।
गणना:
दिया गया है:
एक न्याय्य सिक्के को तीन बार उछाला गया।
मान लीजिए X, तीन उछालों में चित आने की संख्या है।
X के संभावित मान 0, 1, 2, 3 हैं।
प्रायिकताएँ निम्नवत हैं:
\(P(X=0) = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}\) (TTT)
\(P(X=1) = 3(\frac{1}{2})^2(\frac{1}{2}) = \frac{3}{8}\) (HTT, THT, TTH)
\(P(X=2) = 3(\frac{1}{2})(\frac{1}{2})^2 = \frac{3}{8}\) (HHT, HTH, THH)
\(P(X=3) = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}\) (HHH)
चितों की माध्य संख्या है:
\(E(X) = 0 \times \frac{1}{8} + 1 \times \frac{3}{8} + 2 \times \frac{3}{8} + 3 \times \frac{1}{8}\)
\( = 0 + \frac{3}{8} + \frac{6}{8} + \frac{3}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1.5\)
इसलिए, विकल्प 4 सही है।
Binomial Distribution Question 3:
तीन सड़े हुए सेबों को गलती से पंद्रह अच्छे सेबों में मिला दिया जाता है। यदि यादृच्छिक चर x दो सेबों के चयन में सड़े हुए सेबों की संख्या हो, तो x का विचलन (प्रसारण) है:
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Distribution Question 3 Detailed Solution
गणना
मान लीजिए X खराब सेबों की संख्या है:
⇒ P(X = 0) = \(\frac{^{15}C_2}{^{18}C_2}\) = \(\frac{105}{153}\)
⇒ P(X = 1) = \(\frac{^3C_1×^{15}C_1}{^{18}C_2}\) = \(\frac{45}{153}\)
⇒ P(X = 0) = \(\frac{^{3}C_2}{^{18}C_2}\) = \(\frac{3}{153}\)
⇒ E(X) = 0 x \(\frac{105}{153}\) + 1 x \(\frac{45}{153}\) + 2 x \(\frac{3}{153}\) = \(\frac{51}{153}\) = \(\frac{1}{3}\)
⇒ Var(X) = E(X2) - (E(X))2
⇒ 0 x \(\frac{105}{153}\) + 1 x \(\frac{45}{153}\) + 4 x \(\frac{3}{153}\) - \((\frac{1}{3})^2\) = \(\frac{57}{153}\) - \(\frac{1}{9}\) = \(\frac{57 -17}{153}\) = \(\frac{40}{153}\)
Binomial Distribution Question 4:
किसी व्यक्ति के तैराक न होने की प्रायिकता 0.3 है। 5 व्यक्तियों में से 4 के तैराक होने की प्रायिकता क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Distribution Question 4 Detailed Solution
संकल्पना:
द्विपद बंटन: P(x = r) = nCr pr qn-r, जहाँ r = 0,1,2,......n.
जहाँ, n = परीक्षणों की कुल संख्या
p = प्रत्येक परीक्षण में सफलता की प्रायिकता
q = 1- p = असफलता की प्रायिकता
r = सफलताओं की संख्या
गणना:
किसी व्यक्ति के तैराक न होने की प्रायिकता 0.3 है।
⇒ P(S̅ ) = 0.3
एक व्यक्ति के तैराक होने की प्रायिकता P(S) = 0.7 है।
P(x = r) = nCr pr qn-r
प्रश्न से, n = 5 और r = 4
P(x = 4) = 5C4 (0.7)4 (0.3)
⇒ अभीष्ट प्रायिकता = 5C4 (0.7)4 (0.3)
सही उत्तर विकल्प 1 है।
Binomial Distribution Question 5:
यदि एक द्विपद बंटन के माध्य और प्रसरण का योग तथा गुणनफल क्रमशः 24 और 128 है, तो एक या दो सफलताओं की प्रायिकता है:
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Distribution Question 5 Detailed Solution
अवधारणा:
मान लीजिए X एक यादृच्छिक चर है जैसे कि X ~ द्विपद(n, p), जहाँ n परीक्षणों की संख्या है और p सफलता की संख्या है (0 ≤ p ≤ 1) q असफलताओं की संख्या है जहाँ, p + q = 1 है।
r सफलताओं की प्रायिकता P(X = r) = nCrprqn-r द्वारा दी जाती है।
गणना:
मान लीजिए परीक्षणों की संख्या = n, सफलता की प्रायिकता = p और असफलता की प्रायिकता = q
∴ माध्य = np और प्रसरण = npq
यहाँ np + npq = 24 …(i)
np.npq = 128 …(ii)
∴ np और npq समीकरण x2 - 24x + 128 = 0 के मूल हैं
⇒ (x - 8)(x - 16) = 0
⇒ x = 8 और x = 16
∴ np = 16…(iii) और npq = 8…(iv)
(iv) / (iii) ⇒ q = \(\frac{1}{2}\)
अब, p = 1 - q
⇒ p = \(\frac{1}{2}\)
साथ ही, np = 16
⇒ n = 32
∴ अभीष्ट प्रायिकता
= P(X = 1) + P(X = 2)
= \({ }^{32} C_1 \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{32}+{ }^{32} C_2 \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{32}\)
= \(\left(32+\frac{32 \times 31}{2}\right) \cdot \frac{1}{2^{32}}\)
= \(\frac{33}{2^{28}}\)
∴ एक या दो सफलताओं की प्रायिकता \(\frac{33}{2^{28}}\) है।
सही उत्तर विकल्प 3 है।
Top Binomial Distribution MCQ Objective Questions
एक सिक्का 6 बार उछाला जाता है। ठीक 2 चित पाने की प्रायिकता क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Distribution Question 6 Detailed Solution
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द्विपद वितरण:
यदि ‘n’ और ‘p’ मानदंड हैं, तो ‘n’ प्रयोग के संचालित होने की कुल संख्या को दर्शाता है और ‘p’ घटना के घटित होने की प्रायिकता को दर्शाता है।
एक यादृच्छिक चर X के लिए ‘n’ स्वतंत्र प्रयासों में ठीक ‘k’ सफलताओं को प्राप्त करने की प्रायिकता को P(X = k) के रूप में व्यक्त किया किया गया है और इसे निम्न सूत्र द्वारा ज्ञात किया गया है:
P(X = k) = nCk pk (1 - p)n - k
गणना:
एकल उछाल में चित मिलने की प्रायिकता p = \(\frac12\) है।
∴ 6 उछालों में 2 चित मिलने की प्रायिकता निम्न होगी
P(X = 2) = 6C2\(\left(\frac12\right)^2\)\(\left(1-\frac12\right)^{6-2}\)
= \(\frac{15}{64}\)
एक पक्षी को मारने की संभावना तीन प्रयासों में 1 है। इस प्रायिकता का पता लगाएं कि 3 प्रयासों में कोई पक्षी नहीं मारा गया है।
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Distribution Question 7 Detailed Solution
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द्विपद वितरण:
यदि ‘n’ और ‘p’ मानदंड हैं, तो ‘n’ प्रयोग के संचालित होने की कुल संख्या को दर्शाता है और ‘p’ घटना के घटित होने की प्रायिकता को दर्शाता है।
एक यादृच्छिक चर X के लिए ‘n’ स्वतंत्र प्रयासों में ठीक ‘k’ सफलताओं को प्राप्त करने की प्रायिकता को P(X = k) के रूप में व्यक्त किया किया गया है और इसे निम्न सूत्र द्वारा ज्ञात किया गया है:
P(X = k) = nCk pk (1 - p)n - k
गणना:
पक्षी के मारे जाने की प्रायिकता है = "3 में 1" = \(\frac13\)
∴ 3 प्रयासों में किसी पक्षी के न मारे जाने की प्रायिकता निम्न होगी:
P(X = 0) = 3C0 \(\left(\frac13\right)^0\) \(\left(1-\frac13\right)^{3-0}\)
= \(\frac8{27}\)
एक बॉक्स में 100 पेन हैं जिनमें से 10 खराब हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि एक-एक करके निकाले गए 5 पेनों के प्रतिदर्श में से अधिक से अधिक एक खराब है?
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Distribution Question 8 Detailed Solution
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द्विपद बंटन: P(x = r) = nCr pr qn-r, जहाँ r = 0,1,2,......n।
जहाँ, n = परीक्षणों की कुल संख्या
p = प्रत्येक परीक्षण पर सफलता की प्रायिकता
q = 1- p = असफलता की प्रायिकता
r =सफलताओं की संख्या
गणना:
पेनों की कुल संख्या 100 है।
खराब पेनों की संख्या 10 है।
सही पेनों की संख्या 100 - 10 = 90 है।
P(अधिक से अधिक 1 खराब पेन) = P(कोई खराब पेन नहीं) + P(1 खराब पेन)
P(कोई खराब पेन नहीं) = P(r = 0) = \(^5C_0(\frac{1}{10})^0(\frac{9}{10})^5\) = \(\left(\frac{9}{10}\right)^5\)
P(1 खराब पेन) = 5C1 × \(\left(\frac{9}{10}\right)^4\)× \(\frac{1}{10}\) = \(\frac{1}{2}\left(\frac{9}{10}\right)^4\)
∴ P(अधिक से अधिक 1 खराब पेन) = \(\left(\frac{9}{10}\right)^5+\frac{1}{2}\left(\frac{9}{10}\right)^4\)
सही उत्तर विकल्प 4 है।
यदि एक न्यायसंगत (निष्पक्ष) पासा 4 बार लुढ़काया जाता है, तो क्या प्रायिकता है कि वहां ठीक-ठीक 2 छः आ जाएं?
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Distribution Question 9 Detailed Solution
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द्विपद वितरण:
\(b\;\left( {x;n\;,\;p} \right) = \;{\;^n}{C_x} \times {p^x} \times {q^{n - x}}\) जहां p सफलता की प्रायिकता है, q विफलता की प्रायिकता है, n प्रयासों की कुल संख्या है और x सफल प्रयासों की संख्या है।
गणना:
दिया हुआ: एक निष्पक्ष पासा 4 बार रोल किया जाता है।
माना कि जब एक पासा रोल्ड हो तो p 6 मिलने की प्रायिकता का प्रतिनिधित्व करें = 1 / 6
माना कि जब एक पासा रोल्ड हो तो q 6 न मिलने की प्रायिकता का प्रतिनिधित्व करें
= 1 – (1 / 6) = 5 / 6
जैसा कि हम जानते हैं कि द्विपद वितरण के अनुसार:
\(b\;\left( {x;n\;,\;p} \right) = \;{\;^n}{C_x} \times {p^x} \times {q^{n - x}}\)
यहाँ n = 4, x = 2, p = 1 / 6 और q = 5 / 6
इसलिए जब एक निष्पक्ष पासा 4 बार रोल किया जाता है तो ठीक 2 छक्के मिलने की प्रायिकता
⇒ \(b\;\left( {x;n\;,\;p} \right) = \;{\;^4}{C_2} \times {\left( {\frac{1}{6}} \right)^2} \times {\left( {\frac{5}{6}} \right)^2} = \frac{{25}}{{216}}\)
द्विपद वितरण का माध्य और प्रसरण क्रमशः 8 और 4 हैं तो p(x = 1) किसके बराबर है?
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Distribution Question 10 Detailed Solution
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द्विपद वितरण: यदि एक यादृच्छिक चर X में n और p के रूप में मापदंडों के साथ B (n, p) के रूप में द्विपद वितरण है तो यादृच्छिक चर की प्रायिकता इस प्रकार दी गई है:
P( X = k) = nCk pk (1 - p)(n - k)
जहाँ, n अवलोकनों की संख्या है, p सफलता की प्रायिकता है और (1 - p) विफलता की प्रायिकता है।
गुण:
- वितरण का माध्य (μ) = np
- प्रसरण (σ2x) = npq
गणना:
दिया हुआ:
माध्य μ = np = 8 ----(1)
प्रसरण σ2 = npq = 4 ----(2)
समीकरण (2) को (1) से विभाजित करके हम प्राप्त करते हैं
q = 1/2
जैसा कि हम जानते हैं, p + q = 1
⇒ p = 1 - q = 1/2
n के मान को समीकरण (1) में रखें, हम प्राप्त करते हैं
n = 16
अब
P(x = 1) = \(\rm ^{16}C_1 \left(\frac{1}{2}\right)^1 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{16-1}\)
\(=16 \times \frac{1}{2^{16}}\\=2^4 \times \frac{1}{2^{16}}\\=\frac{1}{2^{12}}\)
मान लीजिए कि एक निष्पक्ष पासे को 72 बार फेंका जाता है और एक फेंक पर 4 प्राप्त करना सफलता के रूप में कहा जाता है तो सफलता की संख्या का प्रसरण ज्ञात करें?
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Distribution Question 11 Detailed Solution
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द्विपद वितरण:
यदि किसी यादृच्छिक चार X में B और (n, p) के रूप में n और p में मापदंडों के रूप में द्विपद वितरण है, तो यादृच्छिक चर की प्रायिकता निम्नानुसार है:
P( X = k) = nCk pk q(n - k) जहां q = p - 1, n अवलोकनों की संख्या है, p सफलता की प्रायिकता है और q विफलता की प्रायिकता है।
ध्यान दें: द्विपद वितरण का माध्य np और प्रसरण npq है।
गणना:
दिया गया है कि: एक निष्पक्ष पासे को 72 बार फेंक दिया जाता है और एक फेंक पर 4 प्राप्त करना सफलता कहा जाता है
जैसा कि हम जानते हैं कि जब एक पासा फेंका जाता है तो 6 परिणाम आता हैं।
माना एक फेंक पर 4 प्राप्त करने की प्रायिकता बताएं जिसे p द्वारा निरूपित किया जाता है।
⇒ p = 1/6
माना कि विफलता की प्रायिकता को q = 1 - p द्वारा दर्शाया गया है।
⇒ q = 1 - 1/6 = 5/6
जैसा कि हम जानते हैं कि, एक द्विपद वितरण का प्रसरण = npq
\(\rm ⇒variance = 72 \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6}=10\)
इसलिए, सही विकल्प 3 है।
यदि स्वतंत्र यादृच्छिक चर X,Y को द्विपद रूप से क्रमशः n = 3, p = \(\dfrac{1}{3}\) और n = 5, p = \(\dfrac{1}{3}\) के साथ बंटन किया जाता है, तो (X + Y ≥ 1) की प्रायिकता है:
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Distribution Question 12 Detailed Solution
Download Solution PDFदिया गया है:
यदि स्वतंत्र यादृच्छिक चर X,Y को द्विपद रूप से बंटन किया जाता है तो इसका अर्थ है
X ~ B(n, p)
X ~ B(3, 1/3) और Y ~ B(5, 1/3)
यहां, B = द्विपद बंटन
n = प्रेक्षणों की संख्या
p = प्रायिकता
गणना:
चूंकि X और Y स्वतंत्र द्विपद यादृच्छिक चर हैं जिनमें p1 = p2 है = 1/3
द्विपद बंटन का गुण जोड़ने पर
⇒ X + Y ~ B(3 + 5, 1/3)
⇒ X + Y ~B(8,1/3)
हम जानते हैं कि, P(X + Y ≥ γ) = 8Cr(1/3)r(2/3)8 - r
⇒ P(X + Y ≥ 1) = 1 - P( X + Y < 1)
⇒ 1 - P(X + Y = 0)
∴ 1 - (2/3)8
द्विपद प्रायिकता बंटन वाले एक यादृच्छिक चर के माध्य व प्रसरण क्रमशः 4 तथा 2 हैं, तब P (X = 1 ) है :
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Distribution Question 13 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
एक यादृच्छिक चर X के द्विपद वितरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है,
P(X = k) = \(\rm ^nC_kp^kq^{n-k}\)
माध्य = np
भिन्नता = npq
गणना:
दिया गया है, द्विपद वितरण वाले एक यादृच्छिक चर X का माध्य और भिन्नता क्रमशः 4 और 2 हैं,
⇒ माध्य = np = 4 ....(1)
⇒ भिन्नता = npq = 2 ....(2)
समीकरण (1) और (2) से, हमारे पास निम्न हैं
⇒ q = \(\rm \dfrac 12\)
हम जानते हैं, p = 1 - q
⇒ p = \(\rm \dfrac 12\)
समीकरण (1) से, हमारे पास निम्न हैं
n = 8
एक यादृच्छिक चर X के द्विपद वितरण को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है,
P(X = k) = \(\rm ^nC_kp^kq^{n-k}\)
⇒P(X = 1) = \(\rm ^8C_1p^1q^{8-1}\)
⇒P(X = 1) = 8.\(\rm \dfrac 12\). \(\rm \dfrac {1}{2^7}\)
⇒P(X = 1) = \(\rm \dfrac {1}{32}\)
एक छात्र 5 बहुविकल्पीय प्रश्नों से युक्त क्विज़ देता है। प्रत्येक प्रश्न के 4 संभावित उत्तर हैं। यदि कोई छात्र यादृच्छिक रूप से उत्तर का अनुमान लगा रहा है और सभी के उत्तर स्वतंत्र है, तो कम से कम एक सही उत्तर की प्रायिकता कितनी होगी?
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Distribution Question 14 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
अगर सही और गलत के केवल 2 मामले हो सकते हैं, तो:
n में से r सही मामलों की प्रायिकता (≥ r) P(x = r) = nCr prq(n-r)
जहां p मामले के सही होने की प्रायिकता है और q मामले के गलत होने की प्रायिकता है
नोट: p और q ≤ 1 हैं
गणना:
सही उत्तर की प्रायिकता p = \(\rm 1\over 4\) = 0.25
गलत उत्तर की प्रायिकता q = \(\rm 3\over 4\) = 0.75
कुल प्रश्न n = 5
कम से कम एक सही उत्तर की (x ≥ 1): संभावना
P(x ≥ 1) = 1 - P(x = 0)
⇒ P(x ≥ 1) = 1 - 5C0 p0q5
⇒ P(x ≥ 1) = 1 - (0.75)5
⇒ P(x ≥ 1) = 1 - 0.2373
⇒ P(x ≥ 1) \(\boldsymbol{\rm \approx}\) 0.7627
एक यादृच्छिक चर X पर विचार करें जो मापदंडों n = 10 और \(\rm p = \dfrac{1}{5}\) के साथ द्विपद वितरण का अनुसरण करता है। फिर Y = 10 - X क्रमशः _____ द्वारा दिए गए मापदंडों n' और p' के साथ द्विपद वितरण का अनुसरण करता है।
Answer (Detailed Solution Below)
Binomial Distribution Question 15 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना:
द्विपद वितरण:
पैरामीटर n और p के साथ P(X = r) के लिए द्विपद वितरण निम्नानुसार दिया गया है:
\(\rm P(X=r) = ^nC_rp^rq^{n-r}\)
जहाँ q पूरक घटना है।
साथ ही, किसी भी यादृच्छिक चर X का गुण,
E(aX + b) = aE(X) + b
V(aX + b) = (a2)V(X)
गणना:
दिया गया है: n = 10 और \(\rm p = \dfrac{1}{5}\)
इसलिए, q = 1 - p
\(\rm q = \dfrac{4}{5}\)
यादृच्छिक चर X के लिए,
माध्य = E(X) = np = 10 × (1/5) = 2
प्रसरण = V(X) = npq = 10 × (1/5) ×(4/5) = 8/5
चूँकि, Y = 10 - X
⇒ E(Y) = E(10 - X)
⇒ E(Y) = 10 - E(X) = 10 - 2
⇒ 8 = n'p' ....(1)
साथ ही, V(Y) = V(10 - X) = 0 + (-1)2 V(X)
⇒ 8/5 = n'p'q' ....(2)
1 और 2 को हल करने पर हमें n', p', और q' प्राप्त होगा जो होगा,
⇒ 8/5 = 8'q'
⇒ q' = 1/5
⇒ p' = 4/5
अब,
⇒ 8 = n' (4/5)
⇒ n' = 10