Angle between Vectors MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Angle between Vectors - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

दिया गया है:

इसके अलावा, की लंबाई समान है

⇒ = √2

मान लीजिये सदिशों के बीच का कोण θ है।

⇒ Cosθ =

(I) मान लीजिये

Cosθ =

सभी शर्तें पूरी होती हैं, इसलिए यह सदिश हो सकता है

(II) मान लीजिये

⇒

Cosθ =

=

सभी शर्तें पूरी होती हैं, इसलिए यह सदिश हो सकता है

∴ विकल्प (c) सही है।

व्याख्या:

माना P =

=

=

⇒ p अधिकतम होगा यदि (sin θ + √3cos θ) अधिकतम है।

अब, इसके अधिकतम मान के लिए,

⇒ Cosθ -√3 sinθ =0

⇒

⇒ θ =30°

∴ विकल्प (b) सही है

अवधारणा:

• दिया गया है: 𝐚⃗ + 𝐛⃗ + 𝐜⃗ = 0 ⇒ 𝐜⃗ = −(𝐚⃗ + 𝐛⃗)
• 𝐚⃗ और 𝐛⃗ इकाई सदिश हैं ⇒ |𝐚⃗| = |𝐛⃗| = 1
• |𝐜⃗| = 2 दिया गया है
• हमें 𝐛⃗ और 𝐜⃗ के बीच का कोण ज्ञात करना है

गणना:

समीकरण से: 𝐜⃗ = −(𝐚⃗ + 𝐛⃗)

दोनों पक्षों के परिमाण का वर्ग लेने पर:

|𝐜⃗|² = |𝐚⃗ + 𝐛⃗|²

⇒ |𝐜⃗|² = 𝐚⃗ · 𝐚⃗ + 𝐛⃗ · 𝐛⃗ + 2(𝐚⃗ · 𝐛⃗)

⇒ |𝐜⃗|² = 1 + 1 + 2cosθ = 2 + 2cosθ

दिया गया है: |𝐜⃗| = 2

⇒ |𝐜⃗|² = 4

⇒ 2 + 2cosθ = 4

⇒ cosθ = 1

⇒ θ = 0°

इसलिए 𝐚⃗ और 𝐛⃗ एक ही दिशा में हैं। 

तब 𝐜⃗ = −2𝐚⃗

⇒ 𝐚⃗ और 𝐛⃗ के विपरीत दिशा में

𝐛⃗ और 𝐜⃗ के बीच का कोण 180° है। 

∴ सही उत्तर: (4) 180° है। 

अवधारणा:

माना कि दो सदिश  और है तो  और  के बीच का कोण इसके द्वारा दिया जाता है 

गणना:

दिया हुआ, सदिश î - mĵ और ĵ + k̂ के बीच का कोण  है

दोनों पक्षों का वर्ग करके हमें मिलता है

⇒ 1 + m² = 2m²

⇒ m2 = 1

∴ m = ± 1

अवधारणा:

यदि θ, x और y के बीच का कोण है तो x.y = xycosθ

गणना:

दिया गया, a + b + c = 0

⇒ a + b = -c, दोनों पक्षों का वर्ग करने पर हमें प्राप्त होता है

⇒  (a + b)2 = (-c)2

⇒ |a + b|2 = |c|2

⇒ |a|2 + |b|2 +2|a||b|cosθ = |c|2, जहाँ θ = a और b के बीच का कोण

हमें प्राप्त होने वाले मूल्यों को रखकर,

32 + 52 + 2× 3× 5 cosθ = 72

⇒ 9 + 25 + 30cosθ = 49

⇒ 30cosθ = 49 - 34 = 15

⇒ cosθ = 

∴ θ = 60° 

अवधारणा:

किसी भी दो सदिश  और  के लिए हमारे पास  हैं

गणना:

यहाँ हमारे पास दो सदिश  और  हैं

⇒  और 

⇒ 

,  और  के मान  में प्रतिस्थापित करके हमें मिलता है

⇒ 

⇒ 

इसलिए, विकल्प B सही उत्तर है।

अवधारणा:

दो सदिशों का अदिश गुणनफल - 

दो सदिशों का सदिश गुणनफल - 

 इकाई सदिश लंबवत सदिश है, θ,  और  के बीच का कोण है

गणना:

दिया हुआ

⇒

⇒ cos θ = sin θ

⇒ tan θ = 1

⇒ θ = 

  और  के बीच का कोण  है

अवधारणा:

गणना:

यहाँ,

दोनों पक्षों का परिमाण लेने और वर्ग करनें पर,

θ = 0°

इसलिए, विकल्प (1) सही है।

संकल्पना:

• यदि  दो सदिश हैं तो दिए गए सदिशों के बीच का अदिश गुणनफल  द्वारा दिया गया है।
• यदि  है, तो  है।
• यदि  एक सदिश है, तो सदिश का परिमाण  दिया गया है। 

दिया गया है: 

चूँकि हम जानते हैं कि, 

चूँकि हम जानते हैं कि, यदि  एक सदिश है, तो सदिश का परिमाण  दिया गया है। 

संकल्पना:

यदि θ सदिशों   और  के बीच का कोण है और तब

गणना:

माना सदिशों   और  के बीच का कोण θ है

     ....(i)

     ....(ii)

(i) × 2 - (ii) करने पर हमें प्राप्त होता है

सदिश  का मान समीकरण (i) में रखने पर हमें प्राप्त होता है

⇒ 

अब, 

इस्तेमाल की गई अवधारणा के अनुसार

⇒ cosθ = 0

⇒ θ = cos-10

⇒ 

∴   और बीच का कोण  है।

संकल्पना:

दो सदिश  और  के बिंदु गुणनफल को  के रूप में परिभाषित किया गया है, जहाँ  सदिश  का परिमाण है। 

.

गणना:

हमें दिया गया है कि "दो सदिश  और  का योग सदिश है"। 

⇒ 

खुद के साथ दोनों पक्षों का बिंदु गुणनफल लेने पर, परिमाण फिर भी बराबर होंगे:

⇒ 

⇒ 

चूँकि  है, इसलिए हमें निम्न प्राप्त होता है:

⇒ 

⇒ 

⇒ 

⇒ 

⇒ |b|.|c|.cosθ = 

⇒ 4.4.cosθ = 

⇒ 

⇒ θ = 120° 

अवधारणा:

किसी भी दो सदिश  और  के लिए हमारे पास  हैं

गणना:

यहाँ हमारे पास दो सदिश  और  हैं

⇒  और 

⇒ 

,  और  के मान  में प्रतिस्थापित करके हमें मिलता है

⇒ 

⇒ 

इसलिए, विकल्प B सही उत्तर है।

दिया गया है:

त्रिभुज ABC के शीर्ष  A,B,C क्रमशः (1, 1, 3), (-1, 0, 0),(0, 1, 2) है।

संकल्पना:

 = p.v.() - p.v.()

सूत्र:

दो सदिश  और  के बीच का कोण निम्न द्वारा दिया जाता है : 

हल:

 = (1, 1, 3) - (-1, 0, 0)

= 2î + ĵ + 3k̂ 

 = (0, 1, 2) - (-1, 0, 0) = î + ĵ + 2k̂ 

∴ 

)

संकल्पना:

• दो सदिशों  और   के बीच का कोण निम्न द्वारा दिया जाता है, 
• यदि  और  लंब सदिश हैं, तो . = 0 
• किन्हीं दो सदिशों के लिए   और,  __(i)

गणना:

दिया गया है:   और   दो इकाई सदिश इस प्रकार हैं कि  और  लंब है  

जैसा कि   और   दो इकाई सदिश हैं

⇒  ___(ii)

   और  लंब हैं

⇒ ().() = 0

⇒  = 0

⇒  = 0 { (i)से}

⇒  = 0 {(ii)से}

⇒  __(iii)
अब   और  के बीच का कोण निम्न द्वारा दिया गया है, 

⇒  ( (ii) और (iii) से)

⇒ θ = 

 ∴ सही विकल्प (3) है।