Angle between Vectors MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Angle between Vectors - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

दिया गया है:

$\overrightarrow{\mathrm{a}}=̂\mathrm{i}+̂\mathrm{j}और\overrightarrow{\mathrm{b}}=̂\mathrm{j}+̂\mathrm{k},$

इसके अलावा, $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ की लंबाई समान है

⇒ $|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|$ = √2

मान लीजिये सदिशों के बीच का कोण θ है।

⇒ Cosθ = $\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\frac{0+1+0}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

(I) मान लीजिये $\overrightarrow{c}=\hat{i}+\hat{k}$

$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{2}$

Cosθ = $\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{c}|}=\frac{0+1+0}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

सभी शर्तें पूरी होती हैं, इसलिए यह सदिश $\overrightarrow{c}$ हो सकता है

(II) मान लीजिये $\overrightarrow{c}=\frac{-\hat{\mathrm{i}}+4\hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}}}{3}$

⇒ $|\overrightarrow{c}|=\frac{1}{3}\sqrt{1}8=\sqrt{2}$

Cosθ = $\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{c}|}$

= $\frac{\frac{-1}{3}\frac{4}{3}}{\sqrt{2}\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$

सभी शर्तें पूरी होती हैं, इसलिए यह सदिश $\overrightarrow{c}$ हो सकता है

∴ विकल्प (c) सही है।

व्याख्या:

माना P = $|\overrightarrow{\mathrm{a}}\times \overrightarrow{\mathrm{b}}|+\surd 3|\overrightarrow{\mathrm{a}}.\overrightarrow{\mathrm{b}}|$

= $|\overrightarrow{\mathrm{a}}|.|\overrightarrow{\mathrm{b}}||\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta |+\surd 3|\overrightarrow{\mathrm{a}}||\overrightarrow{\mathrm{b}}||\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta |$

= $|\overrightarrow{\mathrm{a}}||\overrightarrow{\mathrm{b}}|[|\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta |+\surd 3|\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta |]$

⇒ p अधिकतम होगा यदि (sin θ + √3cos θ) अधिकतम है।

अब, इसके अधिकतम मान के लिए,

$\frac{d}{d\theta }(sin\theta +\surd 3cos\theta )=0$

⇒ Cosθ -√3 sinθ =0

⇒ $tan\theta =\frac{1}{\sqrt{3}}$

⇒ θ =30°

∴ विकल्प (b) सही है

अवधारणा:

• दिया गया है: 𝐚⃗ + 𝐛⃗ + 𝐜⃗ = 0 ⇒ 𝐜⃗ = −(𝐚⃗ + 𝐛⃗)
• 𝐚⃗ और 𝐛⃗ इकाई सदिश हैं ⇒ |𝐚⃗| = |𝐛⃗| = 1
• |𝐜⃗| = 2 दिया गया है
• हमें 𝐛⃗ और 𝐜⃗ के बीच का कोण ज्ञात करना है

गणना:

समीकरण से: 𝐜⃗ = −(𝐚⃗ + 𝐛⃗)

दोनों पक्षों के परिमाण का वर्ग लेने पर:

|𝐜⃗|² = |𝐚⃗ + 𝐛⃗|²

⇒ |𝐜⃗|² = 𝐚⃗ · 𝐚⃗ + 𝐛⃗ · 𝐛⃗ + 2(𝐚⃗ · 𝐛⃗)

⇒ |𝐜⃗|² = 1 + 1 + 2cosθ = 2 + 2cosθ

दिया गया है: |𝐜⃗| = 2

⇒ |𝐜⃗|² = 4

⇒ 2 + 2cosθ = 4

⇒ cosθ = 1

⇒ θ = 0°

इसलिए 𝐚⃗ और 𝐛⃗ एक ही दिशा में हैं। 

तब 𝐜⃗ = −2𝐚⃗

⇒ 𝐚⃗ और 𝐛⃗ के विपरीत दिशा में

𝐛⃗ और 𝐜⃗ के बीच का कोण 180° है। 

∴ सही उत्तर: (4) 180° है। 

अवधारणा:

माना कि दो सदिश $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ और $\overrightarrow{\mathrm{b}}$है तो $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ और $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ के बीच का कोण इसके द्वारा दिया जाता है $\cos \theta =\frac{\overrightarrow{\mathrm{a}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}}{|\mathrm{a}||\mathrm{b}|}$

गणना:

दिया हुआ, सदिश î - mĵ और ĵ + k̂ के बीच का कोण $\frac{\mathrm{x}}{3}$ है

$\Rightarrow \cos \frac{\pi }{3}=\frac{(\hat{\mathrm{i}}-\mathrm{m}\hat{\mathrm{j}})\cdot (\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}})}{|\hat{\mathrm{i}}-\mathrm{m}\hat{\mathrm{j}}||\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}|}$

$\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{-\mathrm{m}}{\sqrt{1+{\mathrm{m}}^2}\times \sqrt{2}}$

$\Rightarrow \sqrt{1+{\mathrm{m}}^2}=-\sqrt{2}\mathrm{m}$

दोनों पक्षों का वर्ग करके हमें मिलता है

⇒ 1 + m² = 2m²

⇒ m2 = 1

∴ m = ± 1

अवधारणा:

यदि θ, x और y के बीच का कोण है तो x.y = xycosθ

गणना:

दिया गया, a + b + c = 0

⇒ a + b = -c, दोनों पक्षों का वर्ग करने पर हमें प्राप्त होता है

⇒  (a + b)2 = (-c)2

⇒ |a + b|2 = |c|2

⇒ |a|2 + |b|2 +2|a||b|cosθ = |c|2, जहाँ θ = a और b के बीच का कोण

हमें प्राप्त होने वाले मूल्यों को रखकर,

32 + 52 + 2× 3× 5 cosθ = 72

⇒ 9 + 25 + 30cosθ = 49

⇒ 30cosθ = 49 - 34 = 15

⇒ cosθ = $\frac{1}{2}$

∴ θ = 60° 

अवधारणा:

किसी भी दो सदिश $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ के लिए हमारे पास $\cos \theta =\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|\times \left|\overrightarrow{b}\right|}$ हैं

गणना:

यहाँ हमारे पास दो सदिश $\overrightarrow{a}=\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}$ और $\overrightarrow{b}=3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$ हैं

⇒ $|\overrightarrow{a}|=\sqrt{1^2+(-2{)}^2+3^2}=\sqrt{14}$ और $|\overrightarrow{b}|=\sqrt{3^2+(-2{)}^2+(1{)}^2}=\sqrt{14}$

⇒ $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\left(\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}\right)\cdot \left(3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}\right)=3+4+3=10$

$|\overrightarrow{a}|$, $|\overrightarrow{b}|$ और $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$ के मान $\cos \theta =\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|\times \left|\overrightarrow{b}\right|}$ में प्रतिस्थापित करके हमें मिलता है

⇒ $\cos \theta =\frac{10}{\sqrt{14}\times \sqrt{14}}=\frac{5}{7}$

⇒ $\theta ={\cos }^{-1}\left(\frac{5}{7}\right)$

इसलिए, विकल्प B सही उत्तर है।

अवधारणा:

दो सदिशों का अदिश गुणनफल - $\overrightarrow{\mathrm{a}}.\overrightarrow{\mathrm{b}}=|\overrightarrow{\mathrm{a}}||\overrightarrow{\mathrm{b}}|\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta$

दो सदिशों का सदिश गुणनफल - $\overrightarrow{\mathrm{a}}\times \overrightarrow{\mathrm{b}}=|\overrightarrow{\mathrm{a}}||\overrightarrow{\mathrm{b}}|\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta \hat{\mathrm{n}}$

$\hat{n}$ इकाई सदिश लंबवत सदिश है, θ, $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ और $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ के बीच का कोण है

गणना:

दिया हुआ

$|\overrightarrow{\mathrm{a}}.\overrightarrow{\mathrm{b}}|=|\overrightarrow{\mathrm{a}}\times \overrightarrow{\mathrm{b}}|$

⇒ $|\overrightarrow{\mathrm{a}}||\overrightarrow{\mathrm{b}}|\cos \theta =|\overrightarrow{\mathrm{a}}||\overrightarrow{\mathrm{b}}|\sin \theta$

⇒ cos θ = sin θ

⇒ tan θ = 1

⇒ θ = $\frac{\pi }{4}$

 $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ और $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ के बीच का कोण $\frac{\pi }{4}$ है

अवधारणा:

$\overrightarrow{\mathrm{a}}.\overrightarrow{\mathrm{b}}=|\overrightarrow{\mathrm{a}}||\overrightarrow{\mathrm{b}}|\cos \theta$

गणना:

यहाँ, $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=0$

$\Rightarrow \overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=-\overrightarrow{a}$

दोनों पक्षों का परिमाण लेने और वर्ग करनें पर,

$\Rightarrow |\overrightarrow{\mathrm{b}}+\overrightarrow{\mathrm{c}}{|}^2=|-\overrightarrow{\mathrm{a}}{|}^2$

$\Rightarrow |\overrightarrow{\mathrm{b}}{|}^2+|\overrightarrow{\mathrm{c}}{|}^2+2\overrightarrow{\mathrm{b}}.\overrightarrow{\mathrm{c}}=100$

$\Rightarrow 2|\overrightarrow{\mathrm{b}}|.|\overrightarrow{\mathrm{c}}|\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta =100-(16+36)$

$\Rightarrow \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta =\frac{48}{2\times 4\times 6}$

$\Rightarrow \theta =co{s}^{-1}(1)$

θ = 0°

इसलिए, विकल्प (1) सही है।

संकल्पना:

• यदि $\overrightarrow{a}and\overrightarrow{b}$ दो सदिश हैं तो दिए गए सदिशों के बीच का अदिश गुणनफल $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|\times \left|\overrightarrow{b}\right|\times \cos \theta$ द्वारा दिया गया है।
• यदि $\overrightarrow{a}=a_1\hat{i}+a_2\hat{j}+a_3\hat{k}and\overrightarrow{b}=b_1\hat{i}+b_2\hat{j}+b_3\hat{k}$ है, तो $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3$ है।
• यदि $\overrightarrow{a}=a_1\hat{i}+a_2\hat{j}+a_3\hat{k}$ एक सदिश है, तो सदिश का परिमाण $\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$ दिया गया है। 

दिया गया है: $\overrightarrow{a}=3\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}and\overrightarrow{b}=\hat{i}-2\hat{j}-3\hat{k}$

चूँकि हम जानते हैं कि, $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3$

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=3+4-3=4$

चूँकि हम जानते हैं कि, यदि $\overrightarrow{a}=a_1\hat{i}+a_2\hat{j}+a_3\hat{k}$ एक सदिश है, तो सदिश का परिमाण $\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$ दिया गया है। 

संकल्पना:

यदि θ सदिशों  $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ के बीच का कोण है और तब

$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta =\frac{\overrightarrow{\mathrm{a}}.\overrightarrow{\mathrm{b}}}{|\overrightarrow{\mathrm{a}}|.|\overrightarrow{\mathrm{b}}|}$

गणना:

माना सदिशों  $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ के बीच का कोण θ है

$\overrightarrow{\mathrm{a}}+3\overrightarrow{\mathrm{b}}=3\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}$     ....(i)

$2\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}=\hat{\mathrm{i}}-2\hat{\mathrm{j}}$     ....(ii)

(i) × 2 - (ii) करने पर हमें प्राप्त होता है

$\Rightarrow 5\overrightarrow{b}=5\hat{i}$

$\Rightarrow \overrightarrow{b}=\hat{i}$

सदिश $\overrightarrow{b}$ का मान समीकरण (i) में रखने पर हमें प्राप्त होता है

⇒ $⃗\mathrm{a}=-\hat{\mathrm{j}}$

अब, $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\hat{i}.(-\hat{j})=0$

इस्तेमाल की गई अवधारणा के अनुसार

$\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta =\frac{⃗\mathrm{a}.⃗\mathrm{b}}{|⃗\mathrm{a}|.|⃗\mathrm{b}|}$

⇒ cosθ = 0

⇒ θ = cos-10

⇒ $\theta =\frac{\pi }{2}$

∴  $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ और $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ बीच का कोण $\frac{\pi }{2}$ है।

संकल्पना:

दो सदिश $\overrightarrow{\mathrm{A}}$ और $\overrightarrow{\mathrm{B}}$ के बिंदु गुणनफल को $\overrightarrow{\mathrm{A}}.\overrightarrow{\mathrm{B}}=\left|\overrightarrow{\mathrm{A}}\right|\left|\overrightarrow{\mathrm{B}}\right|\cos \theta$ के रूप में परिभाषित किया गया है, जहाँ $\left|\overrightarrow{\mathrm{A}}\right|$ सदिश $\overrightarrow{\mathrm{A}}$ का परिमाण है। 

$\overrightarrow{\mathrm{A}}.\overrightarrow{\mathrm{A}}={\left|\overrightarrow{\mathrm{A}}\right|}^2$.

गणना:

हमें दिया गया है कि "दो सदिश $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ और $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ का योग सदिश $\overrightarrow{\mathrm{c}}$है"। 

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{b}}+\overrightarrow{\mathrm{c}}=\overrightarrow{\mathrm{a}}$

खुद के साथ दोनों पक्षों का बिंदु गुणनफल लेने पर, परिमाण फिर भी बराबर होंगे:

⇒ $(\overrightarrow{\mathrm{b}}+\overrightarrow{\mathrm{c}}).(\overrightarrow{\mathrm{b}}+\overrightarrow{\mathrm{c}})=\left(\overrightarrow{\mathrm{a}}\right).\left(\overrightarrow{\mathrm{a}}\right)$

⇒ ${\left|\overrightarrow{\mathrm{b}}\right|}^2+{\left|\overrightarrow{\mathrm{c}}\right|}^2+2\overrightarrow{\mathrm{b}}.\overrightarrow{\mathrm{c}}={\left|\overrightarrow{\mathrm{a}}\right|}^2$

चूँकि $\left|\overrightarrow{\mathrm{a}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{b}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{c}}\right|=4$ है, इसलिए हमें निम्न प्राप्त होता है:

⇒ $4^2+4^2+2\overrightarrow{\mathrm{b}}.\overrightarrow{\mathrm{c}}=4^2$

⇒ $16+16+2\overrightarrow{\mathrm{b}}.\overrightarrow{\mathrm{c}}=16$

⇒ $2\overrightarrow{\mathrm{b}}.\overrightarrow{\mathrm{c}}=-16$

⇒ $\overrightarrow{\mathrm{b}}.\overrightarrow{\mathrm{c}}=-8$

⇒ |b|.|c|.cosθ = $-8$

⇒ 4.4.cosθ = $-8$

⇒ $cos\theta =-\frac{1}{2}$

⇒ θ = 120° 

अवधारणा:

किसी भी दो सदिश $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ के लिए हमारे पास $\cos \theta =\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|\times \left|\overrightarrow{b}\right|}$ हैं

गणना:

यहाँ हमारे पास दो सदिश $\overrightarrow{a}=7\hat{i}+\hat{j}$ और $\overrightarrow{b}=5\hat{i}+5\hat{j}$ हैं

⇒ $|\overrightarrow{a}|=\sqrt{7^2+1^2}=5\sqrt{2}$ और $|\overrightarrow{b}|=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}$

⇒ $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\left(7\hat{i}+\hat{j}\right)\cdot \left(5\hat{i}+5\hat{j}\right)=35+5=40$

$|\overrightarrow{a}|$, $|\overrightarrow{b}|$ और $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$ के मान $\cos \theta =\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|\times \left|\overrightarrow{b}\right|}$ में प्रतिस्थापित करके हमें मिलता है

⇒ $\cos \theta =\frac{40}{5\sqrt{2}\times 5\sqrt{2}}=\frac{4}{5}$

⇒ $\theta ={\cos }^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$

इसलिए, विकल्प B सही उत्तर है।

संकल्पना:

• दो सदिशों $\overrightarrow{\text{a}}$ और $\overrightarrow{\text{b}}$  के बीच का कोण निम्न द्वारा दिया जाता है,$\cos \theta =\frac{\overrightarrow{\text{a}}.\overrightarrow{\text{b}}}{|\overrightarrow{\text{a}}||\overrightarrow{\text{b}}|}$ 
• यदि $\overrightarrow{\text{a}}$ और  $\overrightarrow{\text{b}}$लंब सदिश हैं, तो $\overrightarrow{\text{a}}$.$\overrightarrow{\text{b}}$ = 0 
• किन्हीं दो सदिशों के लिए  $\overrightarrow{\text{a}}$ और$\overrightarrow{\text{b}}$, $\overrightarrow{\text{a}}.\overrightarrow{\text{b}}=\overrightarrow{\text{b}}.\overrightarrow{\text{a}}$ __(i)

गणना:

दिया गया है: $\overrightarrow{\text{a}}$  और $\overrightarrow{\text{b}}$  दो इकाई सदिश इस प्रकार हैं कि $\overrightarrow{\text{a}}+2\overrightarrow{\text{b}}$ और  $5\overrightarrow{\text{a}}-4\overrightarrow{\text{b}}$लंब है  

जैसा कि $\overrightarrow{\text{a}}$  और  $\overrightarrow{\text{b}}$ दो इकाई सदिश हैं

⇒  $|\overrightarrow{\text{a}}|=|\overrightarrow{\text{b}}|=1$___(ii)

  $\overrightarrow{\text{a}}+2\overrightarrow{\text{b}}$ और  $5\overrightarrow{\text{a}}-4\overrightarrow{\text{b}}$लंब हैं

⇒ ($\overrightarrow{\text{a}}+2\overrightarrow{\text{b}}$).($5\overrightarrow{\text{a}}-4\overrightarrow{\text{b}}$) = 0

⇒ $5\overrightarrow{\text{a}}.\overrightarrow{\text{a}}-4\overrightarrow{\text{a}}.\overrightarrow{\text{b}}+10\overrightarrow{\text{b}}.\overrightarrow{\text{a}}-8\overrightarrow{\text{b}}.\overrightarrow{\text{b}}$ = 0

⇒ $5|\overrightarrow{\text{a}}{|}^2-4\overrightarrow{\text{a}}.\overrightarrow{\text{b}}+10\overrightarrow{\text{a}}.\overrightarrow{\text{b}}-8|\overrightarrow{\text{b}}{|}^2$ = 0 { (i)से}

⇒ $5(1)+6\overrightarrow{\text{a}}.\overrightarrow{\text{b}}-8(1)$ = 0 {(ii)से}

⇒ $\overrightarrow{\text{a}}.\overrightarrow{\text{b}}=\frac{1}{2}$ __(iii)
अब  $\overrightarrow{\text{a}}$ और  $\overrightarrow{\text{b}}$के बीच का कोण निम्न द्वारा दिया गया है, 

$\cos \theta =\frac{\overrightarrow{\text{a}}.\overrightarrow{\text{b}}}{|\overrightarrow{\text{a}}||\overrightarrow{\text{b}}|}$

⇒ $\cos \theta =\frac{\frac{1}{2}}{1.1}=\frac{1}{2}$ ( (ii) और (iii) से)

⇒ θ = $\frac{\pi }{3}$

 ∴ सही विकल्प (3) है।

दिया गया है:

त्रिभुज ABC के शीर्ष  A,B,C क्रमशः (1, 1, 3), (-1, 0, 0),(0, 1, 2) है।

संकल्पना:

$\overrightarrow{PQ}$ = p.v.($\overrightarrow{Q}$) - p.v.($\overrightarrow{P}$)

सूत्र:

दो सदिश $\overrightarrow{P}$ और $\overrightarrow{Q}$ के बीच का कोण निम्न द्वारा दिया जाता है : 

$\theta =co{s}^{-1}(\frac{\overrightarrow{P}.\overrightarrow{Q}}{PQ})$

हल:

$\overrightarrow{BA}$ = (1, 1, 3) - (-1, 0, 0)

= 2î + ĵ + 3k̂ 

$\overrightarrow{BC}$ = (0, 1, 2) - (-1, 0, 0) = î + ĵ + 2k̂ 

∴ $\theta =co{s}^{-1}(\frac{\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}}{BA.BC})$

$\Rightarrow \theta =co{s}^{-1}(\frac{9}{\sqrt{1}4\sqrt{6}})$)

$\Rightarrow \theta ={\cos }^{-1}(\frac{9}{\sqrt{8}4})$