Analytic Functions MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Analytic Functions - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

एक फलन f(x, y) को प्रसंवादी कहा जाता है यदि यह निम्न को संतुष्ट करता है:

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$ = 0

व्याख्या:

(1): u = x2 + y2

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=2,\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}=2$

इसलिए, $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$ ≠ 0

u = x2 + y2 प्रसंवादी नहीं है।

(1) सही है। 

(2): u = x2 - y2

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=2,\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}=-2$

इसलिए, $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$ = 0

u = x2 - y2 प्रसंवादी है।

(3): u = sin hx cos y

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}$ = sin hx cos y और $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$ = - sin hx cos y

इसलिए, $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$ = 0

u = sin hx cos y प्रसंवादी है।

(4): इसी प्रकार हम दर्शा सकते हैं कि

u = $\frac{1}{2}$log(x2 + y2) प्रसंवादी है।

संकल्पना:

एक फलन u = f(x, y) को आवर्त फलन कहा जाता है यदि $\frac{{\partial }^{2}u}{{\partial }^{2}x}+\frac{{\partial }^{2}u}{{\partial }^{2}y}=0$

हल:

दिया गया है,  $\mathrm{u}=\frac{1}{2}\log (x^2+y^2)$आवर्त है

अब , $\frac{\partial u}{\partial x}$ = $\frac{1}{2}\times \frac{2x}{x^2+y^2}$ = $\frac{x}{x^2+y^2}$ 

$\frac{\partial u}{\partial y}$ = $\frac{1}{2}\times \frac{2y}{x^2+y^2}$ = $\frac{y}{x^2+y^2}$

∴ dv =$\left(\frac{\partial v}{\partial x}\right)$dx + $\left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)$dy 

=$\left(\frac{-\partial u}{\partial x}\right)$dx + $\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)$dy [CR समीकरण का प्रयोग करने पर]

=$\left(\frac{-y}{x^2+y^2}\right)$dx + $\left(\frac{x}{x^2+y^2}\right)$dy

=$\frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}$

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,

v = ${\tan }^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$ + C

∴ हार्मोनिक संयुग्मी ${\tan }^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)+\mathrm{c}$ है

सही उत्तर विकल्प 1 है।

Additional Informationd(xy) = xdy + ydx

d($\frac{x}{y}$) = $\frac{ydx-xdy}{y^2}$

d($\frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}$) = d(${\tan }^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$)

दिया गया है -​

मान लीजिये कि Ω ℂ का एक खुला संयोजित उपसमुच्चय है जिसमें 𝑈 = { 𝑧 ∈ ℂ ∶ |𝑧| ≤ $\frac{1}{2}$} सम्मिलित है।

मान लीजिये कि 𝔍 = { 𝑓 ∶ Ω → ℂ ∶ 𝑓 विश्लेषणात्मक है और ${\displaystyle \mathrm{s}\mathrm{u}{\mathrm{p}}_{\mathrm{z},\mathrm{w}\in \mathrm{U}}}$ |𝑓(𝑧) − 𝑓(𝑤)| = 1 }।

सिद्धांत:

यदि f(z) $\mathrm{C}$ के अंदर और पर विश्लेषणात्मक है और $|\mathrm{f}(\mathrm{z})|\le \mathrm{M}$ है। मान लीजिये कि a, C के अंदर एक बिंदु है। $|{\mathrm{f}}^{\mathrm{n}}(\mathrm{a})|\le \frac{\mathrm{M}\cdot \mathrm{n}!}{{\mathrm{R}}^{\mathrm{n}}}|\mathrm{z}-\mathrm{a}|=\mathrm{R}केलिए$

गणना:

मान लीजिये $\mathrm{g}(\mathrm{z})=\mathrm{f}(\mathrm{z})-\mathrm{f}(-\mathrm{z})\mathrm{\forall }\mathrm{z}\in \mathrm{U}$

$⟹|\mathrm{g}(\mathrm{z})|\le 1$

अब,

${\mathrm{g}}^{\prime }(\mathrm{z})={\mathrm{f}}^{\prime }(\mathrm{z})+{\mathrm{f}}^{\prime }(-\mathrm{z})$

$⟹{\mathrm{g}}^{\prime }(0)={\mathrm{f}}^{\prime }(0)+{\mathrm{f}}^{\prime }(0)=2{\mathrm{f}}^{\prime }(0)$

$⟹|{\mathrm{g}}^{\prime }(\mathrm{a})|\le \frac{\mathrm{M}}{1/2}=2$

$⟹|{\mathrm{g}}^{\prime }(0)|\le 2$

$⟹|2{\mathrm{f}}^{\prime }(0)|\le 2$

$⟹|{\mathrm{f}}^{\prime }(0)|\le 1<2$

इसलिए कथन P गलत है।

अब,

${\mathrm{g}}^{″}(\mathrm{z})={\mathrm{f}}^{″}(\mathrm{z})-{\mathrm{f}}^{″}(-\mathrm{z})$

${\mathrm{g}}^{‴}(\mathrm{z})={\mathrm{f}}^{‴}(\mathrm{z})+{\mathrm{f}}^{‴}(-\mathrm{z})$

${\mathrm{g}}^{‴}(0)=2{\mathrm{f}}^{‴}(0)$

$|{\mathrm{g}}^{‴}(0)|\le \frac{1\cdot 3!}{(1/2{)}^3}=48$

$⟹|2{\mathrm{f}}^{‴}(0)|\le 48$

$⟹|2{\mathrm{f}}^{‴}(0)|\le 48$

$⟹|{\mathrm{f}}^{‴}(0)|\le 24<48$

इसलिए कथन Q गलत है।

इसलिए विकल्प (2) और (3) सही हैं।

गणना:

माना z = x + iy और w = a + ib

⇒ |z + w| = |(x + a) + i(y + b)| = $\sqrt{(\mathrm{x}+\mathrm{a}{)}^2+(\mathrm{y}+\mathrm{b}{)}^2}$

⇒ और |z − w| = |(x − a) + i(y − b)| = $\sqrt{(\mathrm{x}-\mathrm{a}{)}^2+(\mathrm{y}-\mathrm{b}{)}^2}$

तो |z + w| = |z−w| को संतुष्ट करता है

$\sqrt{(\mathrm{x}+\mathrm{a}{)}^2+(\mathrm{y}+\mathrm{b}{)}^2}=\sqrt{(\mathrm{x}-\mathrm{a}{)}^2+(\mathrm{y}-\mathrm{b}{)}^2}$

⇒(x + a)² + (y + b)² = (x − a)² + (y − b)²

⇒ x² + a² + 2ax + y² + b² + 2by = x² + a² − 2ax + y² + b² − 2by

⇒ 4(ax + by) = 0

⇒ ax + by = 0

अब,

z ⋅ w̅ = (x + iy) (a − ib) = ax − ibx + iay + by

= (ax + by) − i(bx − ay)

= − i(bx − ay),   {∵ ax + by = 0)

⇒ z ⋅ w̅ = − i(bx − ay) पूर्णतः काल्पनिक है।

सही उत्तर विकल्प "4" है। 

कॉची-रीमैन समीकरण:

आयताकार रूप:

f(z) = u(x, y) + f v(x, y)

f(z) को विश्लेषणात्मक होने के लिए इसे कॉची रीमैन समीकरणों को संतुष्ट करने की आवश्यकता है

ux = vy, uy = -vx

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$

ध्रुवीय रूप:

f(z) = u(r, θ) + f v(r, θ)

$u_r=\frac{1}{r}{v}_{\theta }$ और uθ = -rvr

​​${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial r}}={\displaystyle \frac{1}{r}}{\displaystyle \frac{\partial v}{\partial \theta }}\text{and}{\displaystyle \frac{\partial v}{\partial r}}=-{\displaystyle \frac{1}{r}}{\displaystyle \frac{\partial u}{\partial \theta }}$

कॉची-रीमैन समीकरण:

आयताकार रूप:

f(z) = u(x, y) + f v(x, y)

f(z) को विश्लेषणात्मक होने के लिए इसे कॉची रीमैन समीकरणों को संतुष्ट करने की आवश्यकता है

ux = vy, uy = -vx

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$

ध्रुवीय रूप:

f(z) = u(r, θ) + f v(r, θ)

$u_r=\frac{1}{r}{v}_{\theta }$ और uθ = -rvr

​​${\displaystyle \frac{\partial u}{\partial r}}={\displaystyle \frac{1}{r}}{\displaystyle \frac{\partial v}{\partial \theta }}\text{and}{\displaystyle \frac{\partial v}{\partial r}}=-{\displaystyle \frac{1}{r}}{\displaystyle \frac{\partial u}{\partial \theta }}$

संकल्पना:

यदि f(z) = u(x, y) + iv(x, y) एक विश्लेषणात्मक फलन है, तो कॉची-रीमैन की स्थिति संतुष्ट होगी। 

अर्थात् $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}and\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$

गणना:

दिया गया है:

v = xy​

$\frac{\partial v}{\partial y}=x\Rightarrow \frac{\partial u}{\partial x}=x$

$\frac{\partial v}{\partial x}=y,\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}=-y$

यदि u = f(x, y) है। 

$du=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy$

du = xdx - ydy

दोनों पक्षों का समाकलन करने पर

$\int du=\int \left(x\right)dx-\int ydy$

$u=\frac{1}{2}\left(x^2-y^2\right)$

अवधारणा:

सम्मिश्र फलन f(z) = u (x, y) + iv (x, y) वैश्लेषिक होगा यदि यह कौशी-रीमान प्रमेय के निम्नलिखित दो प्रतिबंधों को संतुष्ट कर देता है।

• $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}and\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$
• $\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial v}{\partial x},\frac{\partial v}{\partial y}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{f}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{x}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{y}.$

f(z) = log z

$\frac{\partial }{\partial z}f(z)=\frac{1}{z}$

यहाँ, फलन f(z), z = 0 के अतिरिक्त सभी बिन्दुओं पर वैश्लेषिक है। चूंकि फलन इन दो मानों के लिए परिभाषित नहीं है।

संकल्पना:

यदि f(x, y) हार्मोनिक है, तो इसे लाप्लास के समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए। 

${\mathrm{\nabla }}^{2}f(x,y)=0=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$

गणना:

दिया गया फलन: f = 2x – x² + my²

इसलिए, हार्मोनिक के लिए इसे लाप्लास के समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए। 

${\mathrm{\nabla }}^{2}f=0=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}=\frac{\partial \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(2-2x)=-2$

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}=\frac{\partial \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}{\partial y}=\frac{\partial \left(2my\right)}{\partial y}=2m$

$\Rightarrow \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}=-2+2m=0$

अवधारणा:

माना कि w = u + iν सम्मिश्र चर का एक फलन है।

एक सम्मिश्र चर का फलन विश्लेषणात्मक है यदि यह कॉची-रीमैन समीकरण को संतुष्ट करता है;

$i.e.\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial \nu }{\partial y}and\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial \nu }{\partial x}$

गणना:

दिया हुआ:

u(x, y) = 2x² – 2y² + 4xy, ν(x, y) = ?

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial \nu }{\partial y}$

$\frac{\partial u}{\partial x}=4x+4y=\frac{\partial \nu }{\partial y}$

x को स्थिर रखते हुए y के संबंध में समाकलन करके

ν(x, y) = 4xy + 2y² + f(x)

$\frac{\partial v}{\partial x}=4y+f^{\prime }(x)$

$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial \nu }{\partial x}$

$\frac{\partial u}{\partial y}=-4y+4x$

4y – 4x = 4y + f’(x)

$f\left(x\right)=-\frac{4x^2}{2}+C=-2x^2+C$

संकल्पना:

माना कि f(z) = u + iv है। 

यदि f(z) विश्लेषणात्मक फलन है। 

$\begin{array}{l}\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\ \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\end{array}$

गणना:

दिया गया है:

u = स्थिरांक 

चूँकि u स्थिरांक है। 

$\begin{array}{l}\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}=0\Rightarrow v=f(x)\\ \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}=0\Rightarrow v=f(y)\end{array}$

यह केवल तब संभव होता है यदि v = स्थिरांक होता है। 

अतः f(z) = स्थिरांक (वास्तविक भाग (u) और काल्पनिक भाग (v) दोनों स्थिरांक हैं)

संकल्पना:

यदि f(z) = u + iv एक विश्लेषणात्मक फलन है, तो यह निम्नलिखित को संतुष्ट करता है:

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{y}and\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$

गणना:

दिया गया है: u = e^-y cos x

$\frac{\partial u}{\partial x}=-e^{-y}\sin x$

$\frac{\partial u}{\partial y}=-e^{-y}\cos x$

$\frac{\partial v}{\partial y}=-e^{-y}\sin x$    ---(1)

$\frac{\partial v}{\partial x}=e^{-y}\cos x$      ---(2)

x को अचर मानकर,  y के सापेक्ष समीकरण (1) को समाकलित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

v = e^-y sin x

व्याख्या:

f(z) = u + iv

⇒ i f(z) = - v + i u

⇒ (1 + i) f(z) = (u - v) + i(u + v)

⇒ F(z) = U + iv, जहां F(z) = (1 + i) f(z)

U = u – v, V = u + v

अब,

मान लीजिये कि F(z) एक विश्लेषणात्मक फलन है

$dV=\frac{-\partial U}{\partial x}dy$

dV = e^x (sin y + cos y) dx + e^z(cosy – siny) dy

∴ dV = d[e^x(siny + cosy)]

अब,

समाकलन करने पर

V = e^x (siny + cosy) + c₁

F(z) = U + iV = e^x(cosy - siny) + i e^x (siny + cosy) + ic₁

F = e^x(cosy + isiny) + ie^x (cosy + isiny) + ic₁

F(z) = (1 + i) e^{x + iy} + ic₁ = (1 + i)e^z + ic₁

⇒ (1 + i) F(z) = (1 + i) e^z + ic₁

$\begin{array}{l}\Rightarrow f\left(z\right)=e^z+\frac{i}{1+i}{c}_1=e^z+\frac{i\left(1-i\right)}{\left(1+i\right)\left(1-i\right)}{c}_1\\ =e^z+\frac{\left(i+1\right)}{2}{c}_1\end{array}$

∴ f(z) = e^z + (1 + i) c

दिया गया है u = 2kxy और V = x² – y²

अवधारणा:

फलन के वैश्लेषिक होने के लिए:

$\frac{du}{dx}=\frac{dv}{dy}$ ; $\frac{du}{dy}=-\frac{dv}{dx}$

∴ उत्तर प्राप्त करने के लिए उपरोक्त में से कोई भी प्रतिबंध लागू करें।

पहले प्रतिबंध से:

$\frac{du}{dx}=\frac{dv}{dy}\Rightarrow \frac{d}{dx}(2kxy)=\frac{d}{dy}(x^2-y^2)$

अवधारणा:

f(z) = u + iv

u = वास्तविक भाग

v = काल्पनिक भाग

यदि f(z) एक वैश्लेषिक फलन नहीं है तो

$\begin{array}{c}\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\\ \frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}\end{array}\}\to C.Requation$

$\therefore dv=\frac{\partial v}{\partial x}dx+\frac{\partial v}{\partial y}dy$

$dv=\frac{-\partial u}{\partial y}dx+\frac{\partial u}{\partial x}dy$ (यह एक यथार्थ अवकल समीकरण है)

गणना:

दिया गया है,

u = x³ – 3xy²

$\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2-3y^2$

$\frac{\partial u}{\partial y}=-6xy$

$dv=\frac{-\partial u}{\partial y}dx+\frac{\partial u}{\partial x}dy$

$dv=6xydx+\left(3x^2-3y^2\right)dy$

यह एक यथार्थ अवकल समीकरण है जिसका हल पहले पद में y को अचर मानकर प्राप्त किया गया है और दूसरे पद में केवल उस भाग को समाकलित किया गया है जिसमें x नहीं है।

उपरोक्त समीकरण को समाकलित करने पर