Algebraic variable elements MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Algebraic variable elements - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

Last updated on May 16, 2025

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Latest Algebraic variable elements MCQ Objective Questions

Algebraic variable elements Question 1:

सारणिक |logxxlogxylogxz logyxlogyylogyz logzxlogzylogzz| का मान है -

  1. 3
  2. 1
  3. -1
  4. 0

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 3

Algebraic variable elements Question 1 Detailed Solution

स्पष्टीकरण:

|logxxlogxylogxz logyxlogyylogyz logzxlogzylogzz|

= |1logeylogexlogezlogexlogexlogey1logezlogey logexlogezlogeylogez1|

= 1(1 - 1) + logeylogex(logexlogeylogexlogey) + logezlogex(logexlogezlogexlogez)

= 0 + 0 + 0

= 0

विकल्प (4) सत्य है।

Algebraic variable elements Question 2:

यदि x2 + y2 + z2 = 1 है, तो निम्न का मान क्या होगा?

|1zy z1x yx1|=?

  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. 2 - 2xyz

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 2

Algebraic variable elements Question 2 Detailed Solution

गणना:

दिया गया है:

x2 + y2 + z2 = 1

तब, |1zy z1x yx1|

Rके सापेक्ष प्रसार करने पर, हमें प्राप्त होगा-

1(1 + x2) + z(xy + z) − y(xz − y)

1(1 + x2) - z(-z - xy) − y(xz − y)

= 1 + x2 + xyz + z2 − xyz + y2

= 1 + x2 + y2 + z2

= 1 + 1   (∵ x2 + y2 + z2 = 1 (दिया गया है)

= 2

सही उत्तर विकल्प "3" है। 

Algebraic variable elements Question 3:

यदि a, b, c धनात्मक व असमान हैं, तो Δ = |abc bca cab| का मान होगा :

  1. 0
  2. <0
  3. 1
  4. >1

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : <0

Algebraic variable elements Question 3 Detailed Solution

गणना:

हमारे पास है, Δ = |abc bca cab|

|a+b+ca+b+ca+b+cbcacab|[R1→R1 + R2 + Rलागू करने पर]

= (a + b + c)|111bcacab|

C1 → C1 - C2 और C2 → C2 - Cलागू करने पर,

= (a + b + c) |001bccaacaabb|

= (a + b + c)[(b - c)(a - b) - (c - a)2]

= (a + b + c) [ab - b2 - ac + bc - (c2 + a2 - 2ac)]

= (a + b + c) [ ab - b2 - ac + bc - c2 - a2 + 2ac ]

= (a + b + c) [- a2 - b2 - c2 + ab + bc + ca]

= - (a+ b+ c)[a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca]

12 (a + b + c) [2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab -2bc - 2ca]

12 (a + b + c)[(a2 +b2 - 2ab) + (b2 + c2 - 2bc) + (c2 + a2 - 2ac)]

⇒ Δ = 12 (a + b + c)[(a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2]

प्रश्नानुसार a ≠ b ≠ c और सभी धनात्मक हैं।

⇒ (a + b + c) > 0 और (a - b)2 > 0, (b - c)2 > 0,  (c - a)2 > 0

∴ Δ < 0

Algebraic variable elements Question 4:

यदि a, b, c अलग हैं और

|0xaxbx+a0xcx+bx+c0|=0

तो x का मान क्या होगा?

  1. a
  2. b
  3. c
  4. 0

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 0

Algebraic variable elements Question 4 Detailed Solution

गणना:

 |0xaxbx+a0xcx+bx+c0|=0

सारणिक को हल करने पर हमें प्राप्त होता है 

⇒ 0[0 -(x + c)(x - c)] - (x - a)[(0 - (x + b)(x - c)] + (x - b)[(x + a)(x +c)   - 0] = 0

⇒ (x - a) (x + b) (x - c) + (x - b) x + a) (x + c) = 0 

उपरोक्त समीकरण को संतुष्ट करने वाला एकमात्र मान x = 0 है

∴ x का मान 0 है।​ 

Algebraic variable elements Question 5:

|1aa2bc1bb2ac1cc2ab| किसके बराबर है?

  1. 0
  2. 3abc
  3. (a + b + c)3
  4. a3 + b3+ c3 - 3abc

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 0

Algebraic variable elements Question 5 Detailed Solution

संकल्पना:

यदि हमारे पास दो समान पंक्तियों या स्तंभों वाला कोई आव्यूह है तो उसका सारणिक शून्य के बराबर है।

गणना:

माना Δ = |1aa2bc1bb2ac1cc2ab|

R1 → R1 - R2

R2 → R2 - R3

⇒ Δ = |0ab(ab)(a+b+c)0bc(bc)(a+b+c)1cc2ab|

[(a2 - bc) - (b2 - ac) = a2 - b2 + ac - bc = (a + b)(a - b) +c(a - b) = (a - b)(a + b + c)

and (b2 - ac) - (c2 - ab) = b2 - c2 + ab - ac = (b + c)(b - c) +a(b - c) = (b - c)(a + b + c)]

(a - b) और (b - c) उभयनिष्ट लेने पर,

⇒ Δ = (a - b)(b - c)|01a+b+c01a+b+c1cc2ab| = 0     

[यदि हमारे पास दो समान पंक्तियों या स्तंभों वाला कोई आव्यूह है तो उसका सारणिक शून्य के बराबर है।]

∴​ |1aa2bc1bb2ac1cc2ab| = 0

Top Algebraic variable elements MCQ Objective Questions

आव्यूह |xaybzcabcxyz| की सारणिक ज्ञात कीजिए। 

  1. xyz
  2. x + y + x
  3. ax + by + cz
  4. 0

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 0

Algebraic variable elements Question 6 Detailed Solution

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संकल्पना:

एक आव्यूह की सारणिक के गुण:

  • यदि एक सारणिक के किसी भी पंक्ति या स्तंभ में प्रत्येक प्रविष्टि 0 है, तो सारणिक का मान शून्य होता है। 
  • किसी वर्ग आव्यूह अर्थात् A के लिए, |A| = |AT|.
  • यदि हम एक आव्यूह के किसी दो पंक्तियों (स्तंभों) को एक-दूसरे से परिवर्तित करते हैं, तो सारणिक को -1 से गुणा किया जाता है। 
  • यदि एक आव्यूह की कोई भी दो पंक्तियां (स्तंभ) समान होती है, तो सारणिक का मान शून्य होता है। 

गणना:

|xaybzcabcxyz|

R3 → R3 - Rलागू करने पर

|xaybzcabcxaybzc|

चूँकि हम देख सकते हैं कि दिए गए आव्यूह की पहली और तीसरी पंक्ति बराबर हैं। 

हम जानते हैं कि, यदि एक आव्यूह की कोई भी दो पंक्तियां (स्तंभ) समान होती है, तो सारणिक का मान शून्य होता है। 

|xaybzcabcxyz| = 0

|11111+x1111+y| का मान क्या है?

  1. x + y
  2. x – y
  3. xy
  4. 1 + x + y

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : xy

Algebraic variable elements Question 7 Detailed Solution

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धारणा:

प्राथमिक पंक्ति या स्तंभ रूपांतरण आव्यूह के सारणिक के मूल्य को नहीं बदलते हैं।

गणना:

|11111+x1111+y|

R2 → R2 – R1, R3 → R3 – R1 लागू करके हमें मिलता है

=|1110x000y|

अब C1 के साथ विस्तार करके

= 1 (xy – 0) – 0 + 0 = xy

यदि x = 3 हो तो |x231x132x| = 0 के दो अन्य मूल ज्ञात करें।

  1. 4, -1
  2. 2, -2
  3. 1, -4
  4. 1, -1

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 1, -4

Algebraic variable elements Question 8 Detailed Solution

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गणना:

दिया गया है |x231x132x| = 0

⇒ x(x2 - 2) - 2(x - 3) + 3(2 - 3x) = 0

अब, x3 - 2x - 2x + 6 + 6 - 9x = 0

⇒ x3 - 13x + 12 = 0

∵ x = 3 समीकरण का एक मूल है, ∴ (x - 3) = 0

If we divide (x3 - 13x + 12) from (x - 3) we will get (x2 + 3x - 4)

⇒ (x - 3)(x2 + 3x - 4) = 0

⇒ x2 + 3x - 4 = 0

⇒ (x + 4)(x - 1) = 0

⇒ x = 1, -4

आव्यूह |zxy111x+yy+zz+x| की सारणिक ज्ञात कीजिए। 

  1. xyz
  2. x + y + z
  3. xy + yz + zx
  4. 0

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 0

Algebraic variable elements Question 9 Detailed Solution

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संकल्पना:

आव्यूह के सारणिक के गुण:

  • यदि एक सारणिक की किसी पंक्ति या स्तंभ में प्रत्येक प्रविष्टि 0 है, तो सारणिक का मान शून्य है।
  • किसी वर्ग आव्यूह अर्थात् A के लिए, |A| = |AT|
  • यदि हम एक आव्यूह की किसी दो पंक्तियों (स्तंभों) को एक-दूसरे से परिवर्तित करते हैं, तो सारणिक को -1 से गुणा किया जाता है। 
  • यदि एक आव्यूह की कोई दो पंक्तियाँ (स्तंभ) समान हैं, तो सारणिक का मान शून्य है। 

 

गणना:

|zxy111x+yy+zz+x|

R1 → R1 + Rलागू करने पर

|x+y+zx+y+zx+y+z111x+yy+zz+x|

पंक्ति 1 से (x + y + z) उभयनिष्ठ लेने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

(x+y+z)|111111x+yy+zz+x|

चूँकि हम देख सकते हैं कि दिए गए आव्यूह की पहली और दूसरी पंक्ति बराबर हैं। 

हम जानते हैं कि, यदि एक आव्यूह की कोई दो पंक्तियाँ (स्तंभ) समान हैं, तो सारणिक का मान शून्य है। 

|zxy111x+yy+zz+x| = 0

यदि x y z सभी अलग है और शून्य के बराबर नहीं है और |1+x1111+y1111+z|=0 तब x-1 + y-1 + z-1 का मान किसके बराबर है?

  1. -1
  2. - x - y - z
  3.  x-1y-1z-1
  4. xyz

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : -1

Algebraic variable elements Question 10 Detailed Solution

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गणना:

|1+x1111+y1111+z|=0

R1 = R1 - R2

|xy011+y1111+z|=0

R2 = R2 - R3

|xy00yz111+z|=0

अब, R1 के साथ विस्तार करके, हम प्राप्त करते हैं

⇒ x [y (1 + z) - (-z)] - (-y) [0 - (-z)] + 0 = 0

⇒ x [y + yz + z] + y [z] = 0

⇒ xy + xyz + xz + yz = 0

xyz द्वारा विभाजित करने पर

1z+1+1y+1x=0

\boldsymbolx1+y1+z1=1

यदि x=abcy=bcaz=cab है, तो |1xx11y1z1| का मान क्या है?

  1. 0
  2. 1
  3. abc
  4. ab + bc + ca

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : 0

Algebraic variable elements Question 11 Detailed Solution

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इस्तेमाल किया गया सूत्र:

A=|a1a2a1b1b2b3c1c2c3 |

det(A) = a1|b2b3c2c3|a2|b1b3c1c3|+a3|b1b2c1c2|

= a1(b2 c3 - b3 c2) - a2(b1c3 - b3c1) + a3 (b1c2 - b2c1)

गणना:

|1xx11y1z1|

= |1abcabc11bca1cab1| = Δ 

⇒ Δ = 1(1 + bc(ab)(ca) ) + abc ( 1+bca ) + abc (cab1)

⇒ Δ =1 + bc(ab)(ca)+ab(bc)(ca)+ac(bc)(ab)

⇒ Δ = 1 + a(bc)×(bc)(abc)(ab)(ca)+bc(ab)(ca)

⇒ Δ = aca2bc+ab+a2abac+bc(ab)(ca)

∴  Δ = 0

Shortcut TrickPut x = 0, b = 1 and c = 2

⇒ x=abc = 0, y=bca = 1/2, z=cab = -2

Let, |1xx11y1z1| = Δ 

⇒  Δ = |100111/2121|

⇒  Δ = 1[1 - (-1/2)(-2)] 

∴   Δ = 0

यदि a + b + c = 4 और ab + bc + ca = 0 है तो निम्नलिखित सारणिक का मूल्य क्या है?

|abcbcacab|

  1. 32
  2. -64
  3. -128
  4. 64

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : -64

Algebraic variable elements Question 12 Detailed Solution

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अवधारणा:

a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) 

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)

गणना:

माना कि Δ  = |abcbcacab| 

= a (cb - a2) - b (b2 - ca) + c (ba - c2)

= abc - a3 - b3 + abc + abc - c3

= -[a3 + b3 + c3 - 3abc]

= -(a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)      ....(i)

जैसा कि हम जानते हैं,

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)

⇒ 42 = a2 + b2 + c2 + 2 × 0 

⇒ 16 = a2 + b2 + c2

समीकरण (i) से

Δ = -[4 × (16 - 0)]

= - 64

सारणिक |11111+xyz1111+xyz|? का मान क्या है?

  1. 1 + x + y + z
  2. 2xyz
  3. x2y2z2
  4. 2x2y2z2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : x2y2z2

Algebraic variable elements Question 13 Detailed Solution

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संकल्पना:

यदि A=[a11a12a13a21a22a23a31a32a33] है, तो A की सारणिक निम्न दी गयी है:

  • |A| = a11 × {(a22 × a33) – (a23 × a32)} - a12 × {(a21 × a33) – (a23 × a31)} + a13 × {(a21 × a32) – (a22 × a31)}
  • प्रारंभिक पंक्ति या स्तंभ रूपांतरण एक आव्यूह की सारणिक को परिवर्तित नहीं करती है। 

 

गणना:

दिया गया है:

LetΔ=|11111+xyz1111+xyz|

R→ R2 – R1 और R→ R3 – R1 को लागू करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

=|1110xyz000xyz|

R1के साथ विस्तृत करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है 

Δ = 1 (x2y2z2 – 0) – 0 + 0

∴ Δ = x2y2z2

आव्यूह |xyyzzxyzzxxyzxxyyz| की सारणिक ज्ञात कीजिए। 

  1. x + y + z
  2. x2 + y2 + z2
  3. 0
  4. (x + y + z)2 - xyz

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : 0

Algebraic variable elements Question 14 Detailed Solution

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संकल्पना:

आव्यूह के सारणिक के गुण:

  • यदि एक सारणिक की किसी पंक्ति या स्तंभ में प्रत्येक प्रविष्टि 0 है, तो सारणिक का मान शून्य है। 
  • किसी वर्ग आव्यूह अर्थात् A के लिए, |A| = |AT|
  • यदि हम एक आव्यूह की किसी दो पंक्तियों (स्तंभों) को एक-दूसरे से परिवर्तित करते हैं, तो सारणिक को -1 से गुणा किया जाता है। 
  • यदि एक आव्यूह की कोई दो पंक्तियाँ (स्तंभ) समान हैं, तो सारणिक का मान शून्य है।

 

गणना:

|xyyzzxyzzxxyzxxyyz|

R1 → R1 + R2 + R3 लागू करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

|000yzzxxyzxxyyz|

चूँकि हम देख सकते हैं कि पहली पंक्ति की प्रविष्टि शून्य है। 

हम जानते हैं कि, 

यदि एक आव्यूह की किसी पंक्ति या स्तंभ में प्रत्येक प्रविष्टि 0 है, तो सारणिक का मान शून्य होता है। 

∴ |xyyzzxyzzxxyzxxyyz| = 0

सारणिक |1xy+z1yz+x1zx+y| का मान क्या है?

  1. xyx
  2. x + y + z
  3. 1
  4. 0

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 0

Algebraic variable elements Question 15 Detailed Solution

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संकल्पना:

यदि एक सारणिक की दो पंक्तियाँ और स्तंभ एक-दूसरे के समरूप हैं, तो सारणिक का मान शून्य होता है। 

 

गणना:

माना कि Δ = |1xy+z1yz+x1zx+y| है। 

उपरोक्त सारणिक में C3 ↔ C2 + C3 लागू करने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

=|1xx+y+z1yx+y+z1zx+y+z|

तीसरे स्तंभ से x + y + z सामान्य लेने पर, हमें निम्न प्राप्त होता है

=(x+y+z)|1x11y11z1|

चूँकि हम जानते हैं कि, यदि एक आव्यूह की दो पंक्तियाँ (स्तंभ) समान हैं, तो सारणिक का मान शून्य होता है। 

|1xy+z1yz+x1zx+y|=0

चूँकि हम जानते हैं, यदि एक सारणिक की दो पंक्तियाँ और स्तंभ एक-दूसरे के समरूप हैं, तो सारणिक का मान शून्य होता है। 

अतः Δ = 0

 

Railways Solution Improvement Satya 10 June Madhu(Dia)

सारणिक के गुण:

  • किसी पंक्ति या स्तंभ से मूल्यांकित सारणिक समान होता है। 
  • यदि एक पंक्ति या स्तंभ के सभी तत्व शून्य होते हैं, तो सारणिक का मान शून्य होता है। 
  • एक तत्समक आव्यूह की सारणिक 1 होती है। 
  • यदि पंक्तियों और स्तंभों को एक-दूसरे से परिवर्तित किया जाता है, तो सारणिक का मान समान (मान परिवर्तित नहीं होते हैं) रहते हैं। 
  • यदि एक सारणिक के किसी दो पंक्ति या दो-स्तंभ को एक-दूसरे से परिवर्तित किया जाता है, तो सारणिक के मान को -1 से गुणा किया जाता है। 
  • यदि एक सारणिक की दो पंक्तियाँ और स्तंभ समरूप होते हैं, तो सारणिक का मान शून्य होता है। 
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