बीजगणित MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Algebra - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

माना मूल संख्या को XY के रूप में निरूपित किया जाता है, जहाँ X दहाई का अंक है और Y इकाई का अंक है।

प्रश्न से हमें दो बातें पता चलती हैं:

1) संख्या अपने अंकों के योग की 7 गुनी है। इसका अर्थ है 10X + Y = 7(X + Y) या 3X = 6Y या X = 2Y

2) अंकों को उलटने से प्राप्त संख्या मूल संख्या से 18 कम है। इसका अर्थ है 10X + Y - 18 = 10Y + X या 9X - 9Y = 18 या X - Y = 2

इन दो समीकरणों को हल करने पर,

X = 2Y
⇒ X - Y = 2

हम X को पहले समीकरण से दूसरे में प्रतिस्थापित करते हैं, हमें प्राप्त होता है:

⇒ 2Y - Y = 2

⇒ Y = 2

Y = 2 को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

X = 2 × 2 = 4

∴ मूल संख्या 42 है।

गणना:

मान लीजिए, a = 0 और b = 1

⇒ 

⇒ 

पुनः,

⇒ 

⇒ 

अब,

(x - a)2 - (y - b)2 = 

⇒ 

साथ ही, b2 = (1)2 = 1

∴ अभीष्ट मान b2 है।

गणना:

मान लीजिए कि, बगीचे में वृक्षों की कुल संख्या = (5, 2) का लघुत्तम समापवर्त्य = 10 इकाई 

अतः, आम के वृक्षों की संख्या = 10 × 1/5 = 2 इकाई

अशोक के वृक्षों की संख्या = 10 × 1/2 = 5 इकाई

अतः, नीम के वृक्षों की संख्या = 10 - (5 + 2) = 3 इकाई

अब, प्रश्नानुसार,

3 इकाई → 12

तब, आम के वृक्ष 2 इकाई → 12/3 × 2 = 8

∴ सही उत्तर 8 है। 

संकल्पना-

यदि α और β बहुपद f(x) = ax2 + bx + c के मूल हैं तो

मूलों का योग = -b/a

मूलों का गुणनफल = c/a

स्पष्टीकरण -

अब हमारे पास है -

यदि α और β बहुपद f(x) = x² + x + 1 के मूल हैं। 

तब α + β = -1 .....(i)

और α.β = 1...... (ii)

अब हम Q का मान ज्ञात करना चाहते हैं

= 

अब समीकरण (i) और (ii) का मान रखने पर, हमें मिलता है -

= -1/1 = -1

अतः विकल्प (3) सही है।

गणना:

मान लीजिये , जहाँ k एक स्थिरांक है।

इसलिए, Px = k(b - c) ...(1) , Qy = k(c - a) ....(2) और Rz = k(a - b) ...(3)

समीकरण (1) को a से, समीकरण (2) को b से और समीकरण (3) को c से दोनों तरफ गुणा करने पर हमें प्राप्त होता है,

aPx = ak(b - c) ...(4) , bQy = bk(c - a) ....(5) और cRz = ck(a - b) ...(6)

अब, समीकरण (4) , (5) और (6) को जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है

⇒ aPx + bQy + cRz = ak(b - c) + bk(c - a) + ck(a - b)

⇒ aPx + bQy + cRz = akb - akc + bkc - akb + akc - bkc

दाहिने पक्ष के सभी मान रद्द हो जाएंगे।

⇒ aPx + bQy + cRz = 0

∴ सही उत्तर विकल्प 1) है।

दिया गया है:

x - 1/x = 3

प्रयुक्त अवधारणा:

a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b)

गणना:

x3 - 1/x3 = (x - 1/x)3 + 3 × x × 1/x × (x - 1/x)

⇒ (x - 1/x)3 + 3(x - 1/x)

⇒ (3)3 + 3 × (3)

⇒ 27 + 9 = 36

∴ x³ - 1/x³ का मान 36 है।

Alternate Methodयदि x - 1/x = a है, तब x3 - 1/x3 = a3 + 3a

यहाँ a = 3

x - 1/x3 = 33 + 3 × 3

= 27 + 9

= 36

दिया गया है:

x = √10 + 3

प्रयुक्त सूत्र: 

a² - b² = (a + b)(a - b)

a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

गणना:

⇒ 1/x = √10 - 3

     ----(1)

(1) के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,

    -----(2)

∴ अभीष्ट मान 234 है

 Shortcut Trickदिया गया है:

x = √10 + 3
प्रयुक्त सूत्र:

⇒ 

गणना:

x = √10 + 3

⇒ 1/x = √10 - 3

⇒  

⇒ 

⇒ 

∴ अभीष्ट मान 234 है

दिया गया है:

p – 1/p = √7

सूत्र:

P³ – 1/p³ = (p – 1/p)³ + 3(p – 1/p)

गणना:

P³ – 1/p³ = (p – 1/p)³ + 3 (p – 1/p)

⇒ p³ – 1/p³ = (√7)³ + 3√7

⇒ p³ – 1/p³ = 7√7 + 3√7

⇒ p³ – 1/p³ = 10√7

Shortcut Trick

x - 1/x = a, तब x³ - 1/x³ = a³ + 3a

यहाँ, a = √7

अत:,

p³ – 1/p³ = (√7)³ + 3 × √7 = 7√7 + 3√7 = 10√7

दिया गया है:

a + b + c = 14, ab + bc + ca = 47 और abc = 15

प्रयुक्त अवधारणा:

a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c) × [(a + b + c)² - 3(ab + bc + ca)]

गणना:

a³ + b³ + c³ - 3abc = 14 × [(14)² - 3 × 47]

⇒ a³ + b³ + c³ – 3 × 15 = 14(196 – 141)

⇒ a³ + b³ + c³ = 14(55) + 45

⇒ 770 + 45

⇒ 815

∴ विकल्प 1 सही विकल्प है।

प्रयुक्त सूत्र:

(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)

गणना:

⇒ x^2/3 + x^1/3 = 2

⇒ (x^2/3 + x^1/3)³ = 2³

⇒ x² + x + 3x(x^2/3 + x^1/3) = 8

⇒ x² + 7x - 8 = 0

⇒ x² + 8x - x - 8 = 0

⇒ x (x + 8) - 1 (x + 8) = 0

⇒ x = - 8 या x = 1

दिया गया है:

3x² – ax + 6 = ax² + 2x + 2

⇒ 3x² – ax² – ax – 2x + 6 – 2 = 0

⇒ (3 – a)x² – (a + 2)x + 4 = 0

प्रयुक्त अवधारणा:

यदि एक द्विघात समीकरण (ax2 + bx + c = 0) के मूल बराबर हैं, तब विविक्तकर शून्य होना चाहिए अर्थात् b2 – 4ac = 0

गणना:

⇒ (a + 2)² – 4(3 – a)4 = 0

⇒ a² + 4a + 4 – 48 + 16a = 0

⇒ a² + 20a – 44 = 0

⇒ a² + 22a – 2a – 44 = 0

⇒ a(a + 22) – 2(a + 22) = 0

⇒ a = 2, -22

 हल = 2

प्रयुक्त सूत्र:

a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)

गणना:

a + b + c = 0

a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca)

⇒ a3 + b3 + c3 - 3abc = 0 × (a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) = 0

⇒ a3 + b3 + c3 - 3abc = 0

⇒ a3 + b3 + c3 = 3abc 

अब, (a3 + b3 + c3)2 = (3abc)2 = 9a2b2c2 

दिया गया है

2x⁵ + 2x³y³ + 4y⁴ + 5

अवधारणा

एक बहुपद की डिग्री गैर-शून्य गुणांकों के लिए इसके प्रत्येक पदों की उच्चतम डिग्री है।

गणना 

2x⁵ में बहुपद की डिग्री = 5 

2x³y³ में बहुपद की डिग्री = 6 

4y⁴ में बहुपद की डिग्री = 4

5 में बहुपद की डिग्री = 0

इसलिए, उच्चतम डिग्री 6 है।

∴ बहुपद की डिग्री = 6

कोई x5 होने की वजह से 5 को सही विकल्प के रूप में चुन सकता है लेकिन यहाँ सही उत्तर 6 होगा क्योंकि 2x3y3 की उच्चतम घात 6 है।

Important Points

एक बहुपद की डिग्री गैर-शून्य गुणांकों के लिए इसके प्रत्येक पदों की उच्चतम डिग्री है। यहाँ एक विशिष्ट मान के लिए जब x y के बराबर होगा तब समीकरण होगा:

2x5 + 2x3y3 + 4y4 + 5

= 2x5 + 2x6 + 4x4 + 5

∴ बहुपद की डिग्री 6 होगी

माना मेरी वर्तमान आयु = x वर्ष और मेरे कजिन की आयु = y वर्ष

मेरी वर्तमान आयु का तीन-पांचवां भाग, मेरे एक कजिन के पांच-छठे भाग के समान है,

⇒ 3x/5 = 5y/6

⇒ 18x = 25y

दस वर्ष पहले मेरी आयु, चार वर्ष बाद उसकी आयु के बराबर होगी,

⇒ x – 10 = y + 4

⇒ y = x – 14,

⇒ 18x = 25(x – 14)

⇒ 18x = 25x – 350

⇒ 7x = 350

∴ x = 50 वर्ष

दिया हुआ:

x² - x - 1 = 0

उपयोग किया गया सूत्र:

यदि दिए गए समीकरण ax² + bx + c = 0 है

फिर मूलों का योग = -b/a

मूलों का गुणनफल = c/a

गणना:

चूंकि समीकरण x² – x – 1 = 0 के मूल α और β हैं, तब

⇒ α + β = -(-1) = 1

⇒ αβ = -1

अब, यदि (α/β) और (β/α) मूल हैं तब,

⇒ मूलों का योग = (α/β) + (β/α)

⇒ मूलों का योग = (α² + β²)/αβ

⇒ मूलों का योग = {(α + β)² – 2αβ}/αβ

⇒ मूलों का योग = {(1)² – 2(-1)}/(-1) = -3

⇒ मूलों का गुणनफल = (α/β) × (β/α) = 1

अब, समीकरण है,

⇒ x² – (मूलों का योग)x + मूलों का गुणनफल = 0

⇒ x² – (-3)x + (1) = 0

⇒ x² + 3x + 1 = 0