Odd and even function MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Odd and even function - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

ধারণা:

যদি f(x) বিজোড় ফাংশন হয় তাহলে f(-x) = -f(x)

নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য বৈশিষ্ট্য

যদি f(x) জোড় ফাংশন হয় তাহলে ${\int }_{-\mathrm{a}}^{\mathrm{a}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}=2{\int }_0^{\mathrm{a}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$

যদি f(x) বিজোড় ফাংশন হয় তাহলে ${\int }_{-\mathrm{a}}^{\mathrm{a}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}=0$

গণনা:

ধরি, I = ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{a}}^{\mathrm{a}}({\mathrm{x}}^2+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x}}$

$={\displaystyle {\int }_{-\mathrm{a}}^{\mathrm{a}}{\mathrm{x}}^2\mathrm{d}\mathrm{x}+{\displaystyle {\int }_{-\mathrm{a}}^{\mathrm{a}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x}}}$

= I ₁ + I ₂

এখন,

I ₁ $={\displaystyle {\int }_{-\mathrm{a}}^{\mathrm{a}}{\mathrm{x}}^2\mathrm{d}\mathrm{x}}$

এখানে f(x) = x²

x দ্বারা x প্রতিস্থাপন করে পাই,

⇒ f(-x) = (-x)² = x²

⇒ f(-x) = f(x)

সুতরাং, f(x) হল জোড় ফাংশন।

আমরা জানি, f(x) জোড় ফাংশন হলে ${\int }_{-\mathrm{a}}^{\mathrm{a}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}=2{\int }_0^{\mathrm{a}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$

অতএব, I ₁ = $2{\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{a}}{\mathrm{x}}^2\mathrm{d}\mathrm{x}}$

$=2\times [\frac{{\mathrm{x}}^3}{3}{]}_0^{\mathrm{a}}$

$=2\times [\frac{{\mathrm{a}}^3}{3}-0]=\frac{2{\mathrm{a}}^3}{3}$

এখন,

I ₂ = ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{a}}^{\mathrm{a}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x}}$

এখানে f(x) = sin x

-x দ্বারা x প্রতিস্থাপন করে পাই,

⇒ f(-x) = sin (-x) = -sin x (∵ sin (-θ) = - sin θ)

⇒ f(-x) = -f(x)

সুতরাং, f(x) হল বিজোড় ফাংশন।

আমরা জানি, f(x) জোড় ফাংশন হলে ${\int }_{-\mathrm{a}}^{\mathrm{a}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}=0$

I = I ₁ + I ₂ = $\frac{2{\mathrm{a}}^3}{3}$ + 0 = $\frac{2{\mathrm{a}}^3}{3}$

ধারণা:

যদি f(x) বিজোড় ফাংশন হয় তাহলে f(-x) = -f(x)

নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য বৈশিষ্ট্য

যদি f(x) জোড় ফাংশন হয় তাহলে ${\int }_{-\mathrm{a}}^{\mathrm{a}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}=2{\int }_0^{\mathrm{a}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$

যদি f(x) বিজোড় ফাংশন হয় তাহলে ${\int }_{-\mathrm{a}}^{\mathrm{a}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}=0$

গণনা:

ধরি, I = ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{a}}^{\mathrm{a}}({\mathrm{x}}^2+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x}}$

$={\displaystyle {\int }_{-\mathrm{a}}^{\mathrm{a}}{\mathrm{x}}^2\mathrm{d}\mathrm{x}+{\displaystyle {\int }_{-\mathrm{a}}^{\mathrm{a}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x}}}$

= I ₁ + I ₂

এখন,

I ₁ $={\displaystyle {\int }_{-\mathrm{a}}^{\mathrm{a}}{\mathrm{x}}^2\mathrm{d}\mathrm{x}}$

এখানে f(x) = x²

x দ্বারা x প্রতিস্থাপন করে পাই,

⇒ f(-x) = (-x)² = x²

⇒ f(-x) = f(x)

সুতরাং, f(x) হল জোড় ফাংশন।

আমরা জানি, f(x) জোড় ফাংশন হলে ${\int }_{-\mathrm{a}}^{\mathrm{a}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}=2{\int }_0^{\mathrm{a}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$

অতএব, I ₁ = $2{\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{a}}{\mathrm{x}}^2\mathrm{d}\mathrm{x}}$

$=2\times [\frac{{\mathrm{x}}^3}{3}{]}_0^{\mathrm{a}}$

$=2\times [\frac{{\mathrm{a}}^3}{3}-0]=\frac{2{\mathrm{a}}^3}{3}$

এখন,

I ₂ = ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{a}}^{\mathrm{a}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x}}$

এখানে f(x) = sin x

-x দ্বারা x প্রতিস্থাপন করে পাই,

⇒ f(-x) = sin (-x) = -sin x (∵ sin (-θ) = - sin θ)

⇒ f(-x) = -f(x)

সুতরাং, f(x) হল বিজোড় ফাংশন।

আমরা জানি, f(x) জোড় ফাংশন হলে ${\int }_{-\mathrm{a}}^{\mathrm{a}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}=0$

I = I ₁ + I ₂ = $\frac{2{\mathrm{a}}^3}{3}$ + 0 = $\frac{2{\mathrm{a}}^3}{3}$

ধারণা:

যদি f(x) বিজোড় ফাংশন হয় তাহলে f(-x) = -f(x)

নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য বৈশিষ্ট্য

যদি f(x) জোড় ফাংশন হয় তাহলে ${\int }_{-\mathrm{a}}^{\mathrm{a}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}=2{\int }_0^{\mathrm{a}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$

যদি f(x) বিজোড় ফাংশন হয় তাহলে ${\int }_{-\mathrm{a}}^{\mathrm{a}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}=0$

গণনা:

ধরি, I = ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{a}}^{\mathrm{a}}({\mathrm{x}}^2+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x})\mathrm{d}\mathrm{x}}$

$={\displaystyle {\int }_{-\mathrm{a}}^{\mathrm{a}}{\mathrm{x}}^2\mathrm{d}\mathrm{x}+{\displaystyle {\int }_{-\mathrm{a}}^{\mathrm{a}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x}}}$

= I ₁ + I ₂

এখন,

I ₁ $={\displaystyle {\int }_{-\mathrm{a}}^{\mathrm{a}}{\mathrm{x}}^2\mathrm{d}\mathrm{x}}$

এখানে f(x) = x²

x দ্বারা x প্রতিস্থাপন করে পাই,

⇒ f(-x) = (-x)² = x²

⇒ f(-x) = f(x)

সুতরাং, f(x) হল জোড় ফাংশন।

আমরা জানি, f(x) জোড় ফাংশন হলে ${\int }_{-\mathrm{a}}^{\mathrm{a}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}=2{\int }_0^{\mathrm{a}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}$

অতএব, I ₁ = $2{\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{a}}{\mathrm{x}}^2\mathrm{d}\mathrm{x}}$

$=2\times [\frac{{\mathrm{x}}^3}{3}{]}_0^{\mathrm{a}}$

$=2\times [\frac{{\mathrm{a}}^3}{3}-0]=\frac{2{\mathrm{a}}^3}{3}$

এখন,

I ₂ = ${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{a}}^{\mathrm{a}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{x}\mathrm{d}\mathrm{x}}$

এখানে f(x) = sin x

-x দ্বারা x প্রতিস্থাপন করে পাই,

⇒ f(-x) = sin (-x) = -sin x (∵ sin (-θ) = - sin θ)

⇒ f(-x) = -f(x)

সুতরাং, f(x) হল বিজোড় ফাংশন।

আমরা জানি, f(x) জোড় ফাংশন হলে ${\int }_{-\mathrm{a}}^{\mathrm{a}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x}=0$

I = I ₁ + I ₂ = $\frac{2{\mathrm{a}}^3}{3}$ + 0 = $\frac{2{\mathrm{a}}^3}{3}$