Eigenvalues MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Eigenvalues - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

প্রদত্ত:

3 x 3 ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স হল $\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& -4& 2\\ 0& 0& 7\end{array}\right]$

ধারণা:

একটি ম্যাট্রিক্সের আইগেনমান (eigenvalue) নির্ণয় করার জন্য, নিম্নলিখিত কাজগুলি করুন:
1 - যাচাই করুন যে নির্দিষ্ট ম্যাট্রিক্স A একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স। একই ক্রমের অভেদ ম্যাট্রিক্স I নির্ণয় করুন।
2 - ম্যাট্রিক্স $A-\lambda I$ গণনা করুন, যেখানে $\lambda$ একটি স্কেলার মান।
3 - ম্যাট্রিক্স $A-\lambda I$ এর নির্ণায়ক (determinant) নির্ণয় করুন এবং এটিকে শূন্যের সমান করুন।
4 - সৃষ্ট সমীকরণ থেকে A এর সম্ভাব্য সমস্ত মান নির্ণয় করুন, যা ম্যাট্রিক্স A এর প্রয়োজনীয় আইগেনমান।

সমাধান:

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& -4& 2\\ 0& 0& 7\end{array}\right]$

$I=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

$\lambda I=\left[\begin{array}{ccc}\lambda & 0& 0\\ 0& \lambda & 0\\ 0& 0& \lambda \end{array}\right]$

$A-\lambda I=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& -4& 2\\ 0& 0& 7\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}\lambda & 0& 0\\ 0& \lambda & 0\\ 0& 0& \lambda \end{array}\right]$

$A-\lambda I=\left[\begin{array}{ccc}1-\lambda & 2& 3\\ 0& -4-\lambda & 2\\ 0& 0& 7-\lambda \end{array}\right]$

$|A-\lambda I|=(1-\lambda )[(-4-\lambda )(7-\lambda )-2\times 0]$

$|A-\lambda I|=(1-\lambda )[-28+4\lambda -7\lambda +{\lambda }^2]$

$|A-\lambda I|=(1-\lambda )[{\lambda }^2-7\lambda +4\lambda -28]$

$|A-\lambda I|=(1-\lambda )[\lambda (\lambda -7)+4(\lambda -7)]$

$|A-\lambda I|=(1-\lambda )(\lambda -7)(\lambda +4)$

$|A-\lambda I|=0$

$(1-\lambda )(\lambda -7)(\lambda +4)=0$

$\lambda =1,-4,7$

সুতরাং, বিকল্প 1 সঠিক।

ধারণার ব্যবহার:

ধরা যাক, p(t) হল সসীম মাত্রিক ভেক্টর স্পেস V-এর উপর একটি রৈখিক অপারেটর T-এর একটি নূন্যতম বহুপদী।

যদি g(T) = 0 হয়, তাহলে যেকোনো বহুপদী g(t)-এর জন্য p(t), g(t) কে ভাগ করে। বিশেষত, নূন্যতম বহুপদী p(t) হল T-এর বৈশিষ্টসূচক বহুপদীর একটি ভাজক।
T-এর নূন্যতম বহুপদীটি অনন্য।

ব্যাখ্যা:

যেহেতু A একটি আইডেমপোটেন্ট ম্যাট্রিক্স, তাহলে $A^2=A$ ⇒ $A^2-A=0$

এবং প্রতিটি ম্যাট্রিক্স তার বহুপদী সমীকরণকে সিদ্ধ করে, তাহলে

$m_A(x)=x^2-x=x(x-1)$

$m_A(x)=x(x-1)$

সুতরাং, সঠিক বিকল্পটি হল 1।

ব্যাখ্যা:

[A] একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স, বাস্তব এবং প্রতিসম।

বৈশিষ্ট্যপূর্ণ সমীকরণ,

(A - λI) = 0 …………(i)

λ এর জন্য সমাধান করা, আইগেন মান

ধরি প্রতিসম এবং বাস্তব ম্যাট্রিক্স A

$A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ b& a\end{array}\right]$ …………(ii)

$\Rightarrow \left[A-\lambda I\right]=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ b& a\end{array}\right]-\lambda \left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]=0$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{cc}a-\lambda & b\\ b& a-\lambda \end{array}\right]=0$

⇒ (a - λ)² - b² = 0

⇒ (a - λ)² = b²

⇒ (a - λ) = ± b

⇒ λ = a ± b

প্রদত্ত:

3 x 3 ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স হল $\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& -4& 2\\ 0& 0& 7\end{array}\right]$

ধারণা:

একটি ম্যাট্রিক্সের আইগেনমান (eigenvalue) নির্ণয় করার জন্য, নিম্নলিখিত কাজগুলি করুন:
1 - যাচাই করুন যে নির্দিষ্ট ম্যাট্রিক্স A একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স। একই ক্রমের অভেদ ম্যাট্রিক্স I নির্ণয় করুন।
2 - ম্যাট্রিক্স $A-\lambda I$ গণনা করুন, যেখানে $\lambda$ একটি স্কেলার মান।
3 - ম্যাট্রিক্স $A-\lambda I$ এর নির্ণায়ক (determinant) নির্ণয় করুন এবং এটিকে শূন্যের সমান করুন।
4 - সৃষ্ট সমীকরণ থেকে A এর সম্ভাব্য সমস্ত মান নির্ণয় করুন, যা ম্যাট্রিক্স A এর প্রয়োজনীয় আইগেনমান।

সমাধান:

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& -4& 2\\ 0& 0& 7\end{array}\right]$

$I=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

$\lambda I=\left[\begin{array}{ccc}\lambda & 0& 0\\ 0& \lambda & 0\\ 0& 0& \lambda \end{array}\right]$

$A-\lambda I=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& -4& 2\\ 0& 0& 7\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}\lambda & 0& 0\\ 0& \lambda & 0\\ 0& 0& \lambda \end{array}\right]$

$A-\lambda I=\left[\begin{array}{ccc}1-\lambda & 2& 3\\ 0& -4-\lambda & 2\\ 0& 0& 7-\lambda \end{array}\right]$

$|A-\lambda I|=(1-\lambda )[(-4-\lambda )(7-\lambda )-2\times 0]$

$|A-\lambda I|=(1-\lambda )[-28+4\lambda -7\lambda +{\lambda }^2]$

$|A-\lambda I|=(1-\lambda )[{\lambda }^2-7\lambda +4\lambda -28]$

$|A-\lambda I|=(1-\lambda )[\lambda (\lambda -7)+4(\lambda -7)]$

$|A-\lambda I|=(1-\lambda )(\lambda -7)(\lambda +4)$

$|A-\lambda I|=0$

$(1-\lambda )(\lambda -7)(\lambda +4)=0$

$\lambda =1,-4,7$

সুতরাং, বিকল্প 1 সঠিক।

ব্যাখ্যা:

[A] একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স, বাস্তব এবং প্রতিসম।

বৈশিষ্ট্যপূর্ণ সমীকরণ,

(A - λI) = 0 …………(i)

λ এর জন্য সমাধান করা, আইগেন মান

ধরি প্রতিসম এবং বাস্তব ম্যাট্রিক্স A

$A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ b& a\end{array}\right]$ …………(ii)

$\Rightarrow \left[A-\lambda I\right]=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ b& a\end{array}\right]-\lambda \left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]=0$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{cc}a-\lambda & b\\ b& a-\lambda \end{array}\right]=0$

⇒ (a - λ)² - b² = 0

⇒ (a - λ)² = b²

⇒ (a - λ) = ± b

⇒ λ = a ± b

প্রদত্ত:

3 x 3 ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স হল $\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& -4& 2\\ 0& 0& 7\end{array}\right]$

ধারণা:

একটি ম্যাট্রিক্সের আইগেনমান (eigenvalue) নির্ণয় করার জন্য, নিম্নলিখিত কাজগুলি করুন:
1 - যাচাই করুন যে নির্দিষ্ট ম্যাট্রিক্স A একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স। একই ক্রমের অভেদ ম্যাট্রিক্স I নির্ণয় করুন।
2 - ম্যাট্রিক্স $A-\lambda I$ গণনা করুন, যেখানে $\lambda$ একটি স্কেলার মান।
3 - ম্যাট্রিক্স $A-\lambda I$ এর নির্ণায়ক (determinant) নির্ণয় করুন এবং এটিকে শূন্যের সমান করুন।
4 - সৃষ্ট সমীকরণ থেকে A এর সম্ভাব্য সমস্ত মান নির্ণয় করুন, যা ম্যাট্রিক্স A এর প্রয়োজনীয় আইগেনমান।

সমাধান:

$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& -4& 2\\ 0& 0& 7\end{array}\right]$

$I=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

$\lambda I=\left[\begin{array}{ccc}\lambda & 0& 0\\ 0& \lambda & 0\\ 0& 0& \lambda \end{array}\right]$

$A-\lambda I=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& -4& 2\\ 0& 0& 7\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}\lambda & 0& 0\\ 0& \lambda & 0\\ 0& 0& \lambda \end{array}\right]$

$A-\lambda I=\left[\begin{array}{ccc}1-\lambda & 2& 3\\ 0& -4-\lambda & 2\\ 0& 0& 7-\lambda \end{array}\right]$

$|A-\lambda I|=(1-\lambda )[(-4-\lambda )(7-\lambda )-2\times 0]$

$|A-\lambda I|=(1-\lambda )[-28+4\lambda -7\lambda +{\lambda }^2]$

$|A-\lambda I|=(1-\lambda )[{\lambda }^2-7\lambda +4\lambda -28]$

$|A-\lambda I|=(1-\lambda )[\lambda (\lambda -7)+4(\lambda -7)]$

$|A-\lambda I|=(1-\lambda )(\lambda -7)(\lambda +4)$

$|A-\lambda I|=0$

$(1-\lambda )(\lambda -7)(\lambda +4)=0$

$\lambda =1,-4,7$

সুতরাং, বিকল্প 1 সঠিক।

ব্যাখ্যা:

[A] একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স, বাস্তব এবং প্রতিসম।

বৈশিষ্ট্যপূর্ণ সমীকরণ,

(A - λI) = 0 …………(i)

λ এর জন্য সমাধান করা, আইগেন মান

ধরি প্রতিসম এবং বাস্তব ম্যাট্রিক্স A

$A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ b& a\end{array}\right]$ …………(ii)

$\Rightarrow \left[A-\lambda I\right]=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ b& a\end{array}\right]-\lambda \left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]=0$

$\Rightarrow \left[\begin{array}{cc}a-\lambda & b\\ b& a-\lambda \end{array}\right]=0$

⇒ (a - λ)² - b² = 0

⇒ (a - λ)² = b²

⇒ (a - λ) = ± b

⇒ λ = a ± b

ধারণার ব্যবহার:

ধরা যাক, p(t) হল সসীম মাত্রিক ভেক্টর স্পেস V-এর উপর একটি রৈখিক অপারেটর T-এর একটি নূন্যতম বহুপদী।

যদি g(T) = 0 হয়, তাহলে যেকোনো বহুপদী g(t)-এর জন্য p(t), g(t) কে ভাগ করে। বিশেষত, নূন্যতম বহুপদী p(t) হল T-এর বৈশিষ্টসূচক বহুপদীর একটি ভাজক।
T-এর নূন্যতম বহুপদীটি অনন্য।

ব্যাখ্যা:

যেহেতু A একটি আইডেমপোটেন্ট ম্যাট্রিক্স, তাহলে $A^2=A$ ⇒ $A^2-A=0$

এবং প্রতিটি ম্যাট্রিক্স তার বহুপদী সমীকরণকে সিদ্ধ করে, তাহলে

$m_A(x)=x^2-x=x(x-1)$

$m_A(x)=x(x-1)$

সুতরাং, সঠিক বিকল্পটি হল 1।