ম্যাট্রিক্সের আইগেনমান (Eigenvalues) হল \( \left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 0 & −4 & 2 \\ 0 & 0 & 7\end{array}\right]\):

প্রদত্ত:

3 x 3 ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স হল \( \left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 0 & −4 & 2 \\ 0 & 0 & 7\end{array}\right]\)

ধারণা:

একটি ম্যাট্রিক্সের আইগেনমান (eigenvalue) নির্ণয় করার জন্য, নিম্নলিখিত কাজগুলি করুন:
1 - যাচাই করুন যে নির্দিষ্ট ম্যাট্রিক্স A একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স। একই ক্রমের অভেদ ম্যাট্রিক্স I নির্ণয় করুন।
2 - ম্যাট্রিক্স \(A- \lambda I\) গণনা করুন, যেখানে \(\lambda\) একটি স্কেলার মান।
3 - ম্যাট্রিক্স \(A- \lambda I\) এর নির্ণায়ক (determinant) নির্ণয় করুন এবং এটিকে শূন্যের সমান করুন।
4 - সৃষ্ট সমীকরণ থেকে A এর সম্ভাব্য সমস্ত মান নির্ণয় করুন, যা ম্যাট্রিক্স A এর প্রয়োজনীয় আইগেনমান।

সমাধান:

\( A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 0 & −4 & 2 \\ 0 & 0 & 7\end{array}\right]\)

\( I=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]\)

\( \lambda I=\left[\begin{array}{ccc}\lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda\end{array}\right]\)

\( A - \lambda I=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 0 & −4 & 2 \\ 0 & 0 & 7\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}\lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda\end{array}\right]\)

\( A - \lambda I=\left[\begin{array}{ccc}1-\lambda & 2 & 3 \\ 0 & −4-\lambda & 2 \\ 0 & 0 & 7-\lambda\end{array}\right] \)

\(|A- \lambda I|=(1- \lambda)[(-4- \lambda)(7- \lambda)-2 \times0]\)

\(|A- \lambda I|=(1- \lambda) [-28+4 \lambda-7 \lambda + \lambda ^2]\)

\(|A- \lambda I|=(1- \lambda) [ \lambda ^2-7 \lambda+4 \lambda-28]\)

\(|A- \lambda I|=(1- \lambda) [ \lambda (\lambda - 7)+4( \lambda-7)]\)

\(|A- \lambda I|=(1- \lambda) (\lambda - 7)( \lambda+4)\)

\(|A- \lambda I|=0\)

\((1- \lambda)(\lambda - 7)( \lambda+4)=0\)

\(\lambda =1,-4,7\)

সুতরাং, বিকল্প 1 সঠিক।