Differentiability MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Differentiability - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

ধারণা:

ব্যবহৃত সূত্র:

${\mathrm{f}}^{\prime }\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{d}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$

সমাধান:

f(x) = x2 + 4x + 3

'x' এর সাপেক্ষে f(x) এর অবকলন করুন।

${\mathrm{f}}^{\prime }\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{d}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$

⇒ f'(x) = 2x + 4

x = 1 বসিয়ে পাই,

সুতরাং, f'(1) = 2 x 1 + 4 = 6

∴ f'(1) এর মান হল 6।

ধারণা:

অবকলন শৃঙ্খল নিয়ম বলে যে, যদি y = f(u) এবং u = g(x) উভয়ই অকলনযোগ্য  অপেক্ষক হয়, তাহলে:

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}$

$\frac{d\left(\ln x\right)}{dx}=\frac{1}{x},forx>0$

$\frac{d\left(\sin x\right)}{dx}=cosx$

গণনা:

প্রদত্ত: y = log sinx

ধরি sin x = u

⇒ y = log u

$\frac{d}{dx}\left(\log u\right)=\frac{1}{u}\frac{d}{dx}\left(u\right)$

$=\frac{1}{\sin x}\left(cosx\right)$

সুতরাং, $\frac{dy}{dx}$ এর মান হবে $\frac{1}{sinx}cosx$।

ধারণা:

বীজগণিতীয় অপেক্ষকগুলি প্রকৃতিতে অবিচ্ছিন্ন। যদি একটি বীজগণিতীয় অপেক্ষক, f(x) দুটি সংখ্যার মধ্যে তার চিহ্ন পরিবর্তন করে তবে,

• x এর একটি মান অবশ্যই থাকবে যার জন্য f(x) সেই দুটি সংখ্যার মধ্যে শূন্য হয়ে যায়।
• x এর সেই মানকে f(x) = 0 সমীকরণের মূল বলা হয়।

গণনা:

প্রদত্ত:

f(x) = x3 - 2x - 8

আমরা x এর মান নির্ণয় করে সমাধান শুরু করতে পারি, যেখানে f(x) চিহ্ন পরিবর্তন করছে।

f'(x) = 3x² - 2, এটিকে শূন্যের সমান করলে আমরা পাই,

3x2 - 2 = 0

$x=\pm \sqrt{\frac{2}{3}}$

$f\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)=-9.089$ এবং $f\left(-\sqrt{\frac{2}{3}}\right)=-6.911$

x এর এই উভয় মানের জন্য, f(x) ঋণাত্মক তাই শুধুমাত্র একটি বাস্তব মূল থাকবে এবং ঘন সমীকরণের বাকি 2টি মূল কাল্পনিক হবে।

দ্রষ্টব্য: কাল্পনিক মূল সবসময় জোড়ায় বিদ্যমান থাকে।

সুতরাং, বাস্তব মূলের অবস্থান অনুমান করার জন্য, আমরা কয়েকটি বিন্দু f(x) এর মান পরীক্ষা করতে পারি,

f(0) = - 8, f(1) = - 9, f(2) = - 4, f(3) = 13, f(4) = 48

এখান থেকে, আমরা দেখতে পাচ্ছি যে,

• অপেক্ষকের চিহ্ন 3 এবং 4 এর মধ্যে পরিবর্তিত হয় না, তাই 3 এবং 4 এর মধ্যে কোনো বাস্তব মূল নেই।
• অপেক্ষকের চিহ্ন 1 এবং 2 এর মধ্যে পরিবর্তিত হয় না, তাই 1 এবং 2 এর মধ্যে কোনো বাস্তব মূল নেই।
• অপেক্ষকের চিহ্ন 2 এবং 3 এর মধ্যে পরিবর্তিত হয়, তাই 2 এবং 3 এর মধ্যে অন্তত একটি বাস্তব মূল রয়েছে।

$f=y^x$

ln f = x lny

⇒ $\frac{1}{f}\frac{df}{dy}=\frac{x}{y}$

⇒ $\frac{\partial f}{\partial y}=y^x\left(\frac{x}{y}\right)=y^{x-1}.x$

⇒ $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial }{\partial x}\left(y^{x-1}.x\right)$

$=y^{x-1}+x{y}^{x-1}lny$

$=1^{\left(2-1\right)}+\left[2\times 1^{\left(2-1\right)}\ln \left(1\right)\right]=1$

ধারণা:

অবকলন শৃঙ্খল নিয়ম বলে যে, যদি y = f(u) এবং u = g(x) উভয়ই অকলনযোগ্য  অপেক্ষক হয়, তাহলে:

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}$

$\frac{d\left(\ln x\right)}{dx}=\frac{1}{x},forx>0$

$\frac{d\left(\sin x\right)}{dx}=cosx$

গণনা:

প্রদত্ত: y = log sinx

ধরি sin x = u

⇒ y = log u

$\frac{d}{dx}\left(\log u\right)=\frac{1}{u}\frac{d}{dx}\left(u\right)$

$=\frac{1}{\sin x}\left(cosx\right)$

সুতরাং, $\frac{dy}{dx}$ এর মান হবে $\frac{1}{sinx}cosx$।

$f=y^x$

ln f = x lny

⇒ $\frac{1}{f}\frac{df}{dy}=\frac{x}{y}$

⇒ $\frac{\partial f}{\partial y}=y^x\left(\frac{x}{y}\right)=y^{x-1}.x$

⇒ $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial }{\partial x}\left(y^{x-1}.x\right)$

$=y^{x-1}+x{y}^{x-1}lny$

$=1^{\left(2-1\right)}+\left[2\times 1^{\left(2-1\right)}\ln \left(1\right)\right]=1$

ধারণা:

বীজগণিতীয় অপেক্ষকগুলি প্রকৃতিতে অবিচ্ছিন্ন। যদি একটি বীজগণিতীয় অপেক্ষক, f(x) দুটি সংখ্যার মধ্যে তার চিহ্ন পরিবর্তন করে তবে,

• x এর একটি মান অবশ্যই থাকবে যার জন্য f(x) সেই দুটি সংখ্যার মধ্যে শূন্য হয়ে যায়।
• x এর সেই মানকে f(x) = 0 সমীকরণের মূল বলা হয়।

গণনা:

প্রদত্ত:

f(x) = x3 - 2x - 8

আমরা x এর মান নির্ণয় করে সমাধান শুরু করতে পারি, যেখানে f(x) চিহ্ন পরিবর্তন করছে।

f'(x) = 3x² - 2, এটিকে শূন্যের সমান করলে আমরা পাই,

3x2 - 2 = 0

$x=\pm \sqrt{\frac{2}{3}}$

$f\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)=-9.089$ এবং $f\left(-\sqrt{\frac{2}{3}}\right)=-6.911$

x এর এই উভয় মানের জন্য, f(x) ঋণাত্মক তাই শুধুমাত্র একটি বাস্তব মূল থাকবে এবং ঘন সমীকরণের বাকি 2টি মূল কাল্পনিক হবে।

দ্রষ্টব্য: কাল্পনিক মূল সবসময় জোড়ায় বিদ্যমান থাকে।

সুতরাং, বাস্তব মূলের অবস্থান অনুমান করার জন্য, আমরা কয়েকটি বিন্দু f(x) এর মান পরীক্ষা করতে পারি,

f(0) = - 8, f(1) = - 9, f(2) = - 4, f(3) = 13, f(4) = 48

এখান থেকে, আমরা দেখতে পাচ্ছি যে,

• অপেক্ষকের চিহ্ন 3 এবং 4 এর মধ্যে পরিবর্তিত হয় না, তাই 3 এবং 4 এর মধ্যে কোনো বাস্তব মূল নেই।
• অপেক্ষকের চিহ্ন 1 এবং 2 এর মধ্যে পরিবর্তিত হয় না, তাই 1 এবং 2 এর মধ্যে কোনো বাস্তব মূল নেই।
• অপেক্ষকের চিহ্ন 2 এবং 3 এর মধ্যে পরিবর্তিত হয়, তাই 2 এবং 3 এর মধ্যে অন্তত একটি বাস্তব মূল রয়েছে।

ধরুন $\therefore {\mathrm{f}}^{\prime }(\mathrm{x})=\mathrm{a}$

$6{\mathrm{f}}^{{}^{\prime }}(\mathrm{c})+\mathrm{f}(-3)=\mathrm{f}(3).$

প্রদত্ত,

$(-3,3)$

$\Rightarrow 6\mathrm{a}=3\mathrm{a}+\mathrm{b}–(-3\mathrm{a}+\mathrm{b})$

$\Rightarrow \mathrm{a}=\mathrm{a}$

∴ C যেকোনো মান হতে পারে $(-3,3)$

সুতরাং, c এর উপর কোন শর্ত নেই

ধারণা:

অবকলন শৃঙ্খল নিয়ম বলে যে, যদি y = f(u) এবং u = g(x) উভয়ই অকলনযোগ্য  অপেক্ষক হয়, তাহলে:

$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}$

$\frac{d\left(\ln x\right)}{dx}=\frac{1}{x},forx>0$

$\frac{d\left(\sin x\right)}{dx}=cosx$

গণনা:

প্রদত্ত: y = log sinx

ধরি sin x = u

⇒ y = log u

$\frac{d}{dx}\left(\log u\right)=\frac{1}{u}\frac{d}{dx}\left(u\right)$

$=\frac{1}{\sin x}\left(cosx\right)$

সুতরাং, $\frac{dy}{dx}$ এর মান হবে $\frac{1}{sinx}cosx$।

ধারণা:

ব্যবহৃত সূত্র:

${\mathrm{f}}^{\prime }\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{d}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$

সমাধান:

f(x) = x2 + 4x + 3

'x' এর সাপেক্ষে f(x) এর অবকলন করুন।

${\mathrm{f}}^{\prime }\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{d}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{d}\mathrm{x}}$

⇒ f'(x) = 2x + 4

x = 1 বসিয়ে পাই,

সুতরাং, f'(1) = 2 x 1 + 4 = 6

∴ f'(1) এর মান হল 6।

$f=y^x$

ln f = x lny

⇒ $\frac{1}{f}\frac{df}{dy}=\frac{x}{y}$

⇒ $\frac{\partial f}{\partial y}=y^x\left(\frac{x}{y}\right)=y^{x-1}.x$

⇒ $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial }{\partial x}\left(y^{x-1}.x\right)$

$=y^{x-1}+x{y}^{x-1}lny$

$=1^{\left(2-1\right)}+\left[2\times 1^{\left(2-1\right)}\ln \left(1\right)\right]=1$

ধারণা:

বীজগণিতীয় অপেক্ষকগুলি প্রকৃতিতে অবিচ্ছিন্ন। যদি একটি বীজগণিতীয় অপেক্ষক, f(x) দুটি সংখ্যার মধ্যে তার চিহ্ন পরিবর্তন করে তবে,

• x এর একটি মান অবশ্যই থাকবে যার জন্য f(x) সেই দুটি সংখ্যার মধ্যে শূন্য হয়ে যায়।
• x এর সেই মানকে f(x) = 0 সমীকরণের মূল বলা হয়।

গণনা:

প্রদত্ত:

f(x) = x3 - 2x - 8

আমরা x এর মান নির্ণয় করে সমাধান শুরু করতে পারি, যেখানে f(x) চিহ্ন পরিবর্তন করছে।

f'(x) = 3x² - 2, এটিকে শূন্যের সমান করলে আমরা পাই,

3x2 - 2 = 0

$x=\pm \sqrt{\frac{2}{3}}$

$f\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)=-9.089$ এবং $f\left(-\sqrt{\frac{2}{3}}\right)=-6.911$

x এর এই উভয় মানের জন্য, f(x) ঋণাত্মক তাই শুধুমাত্র একটি বাস্তব মূল থাকবে এবং ঘন সমীকরণের বাকি 2টি মূল কাল্পনিক হবে।

দ্রষ্টব্য: কাল্পনিক মূল সবসময় জোড়ায় বিদ্যমান থাকে।

সুতরাং, বাস্তব মূলের অবস্থান অনুমান করার জন্য, আমরা কয়েকটি বিন্দু f(x) এর মান পরীক্ষা করতে পারি,

f(0) = - 8, f(1) = - 9, f(2) = - 4, f(3) = 13, f(4) = 48

এখান থেকে, আমরা দেখতে পাচ্ছি যে,

• অপেক্ষকের চিহ্ন 3 এবং 4 এর মধ্যে পরিবর্তিত হয় না, তাই 3 এবং 4 এর মধ্যে কোনো বাস্তব মূল নেই।
• অপেক্ষকের চিহ্ন 1 এবং 2 এর মধ্যে পরিবর্তিত হয় না, তাই 1 এবং 2 এর মধ্যে কোনো বাস্তব মূল নেই।
• অপেক্ষকের চিহ্ন 2 এবং 3 এর মধ্যে পরিবর্তিত হয়, তাই 2 এবং 3 এর মধ্যে অন্তত একটি বাস্তব মূল রয়েছে।