Conditional Probability MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Conditional Probability - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

ধারণা:

শর্তসাপেক্ষ সম্ভাব্যতা:- পূর্ববর্তী ঘটনা বা ফলাফলের সংঘটনের উপর ভিত্তি করে একটি ঘটনা বা ফলাফল ঘটার সম্ভাবনা হিসাবে শর্তযুক্ত সম্ভাবনাকে সংজ্ঞায়িত করা হয়।

শর্তাধীন সম্ভাব্যতা সূত্র:

P(A | B) = $\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

যেখানে P(A | B) হল A প্রদত্ত B সম্ভাব্যতা

P(A ∩ B) = A এবং B এর সম্ভাব্যতা

P(B) = B এর সম্ভাব্যতা

গণনা:

আমাদের আছে,

P(A ∩ B) = $\frac{7}{10}$

P(B) = $\frac{17}{20}$

⇒ P(A | B) = $\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

⇒ P(A | B) = $\frac{\frac{7}{10}}{\frac{17}{20}}$

⇒ P(A | B) = $\frac{7}{10}\times \frac{20}{17}$

⇒ P(A | B) = $\frac{14}{17}$

∴ যদি P(A ∩ B) = $\frac{7}{10}$ এবং P(B) = $\frac{17}{20}$ হয়, তাহলে P(A/B) =$\frac{14}{17}$ এর সমান

ধারণা:

1. P(A/B) = $\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$
2. P(B' ∩ A) = P(A) - P(A ∩ B)
3. P(A ∩ B) = P(A) + P(B) - P(A ∪ B)

​গণনা:

প্রদত্ত P(B) = $\frac{3}{5}$, P(A/B) = $\frac{1}{2}$ এবং P(A ∪ B) = $\frac{4}{5}$

আমরা জানি P(A/B) = $\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

⇒ P(A ∩ B) = P(A/B) x P(B)

⇒ P(A ∩ B) = $\frac{1}{2}\times \frac{3}{5}$.

⇒ P(A ∩ B) = $\frac{3}{10}$

আমরা জানি P(A ∩ B) = P(A) + P(B) - P(A ∪ B)

P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∪ B) - P(B)

⇒ P(A) = $\frac{3}{10}+\frac{4}{5}-\frac{3}{5}$

⇒ P(A) = $\frac{1}{2}$

P(A ∪ B)' = 1 - P(A ∪ B)

⇒ P(A ∪ B)' = 1 - $\frac{4}{5}$

P(A ∪ B)' = $\frac{1}{5}$

P(A' ∪ B) = P(A ∩ B')' = 1 - P(A ∩ B')

[ডি মর্গানের সূত্র অনুযায়ী]

⇒ P(A' ∪ B) = 1 - [P(A) - P(A ∩ B)]

⇒ P(A' ∪ B) = 1 - [$\frac{1}{2}-\frac{3}{10}$]

⇒ P(A' ∪ B) = 1 - $\frac{1}{5}$

P(A' ∪ B) = $\frac{4}{5}$

P(A ∪ B)'+ P(A' ∪ B) = $\frac{1}{5}+\frac{4}{5}$

∴ P(A ∪ B)'+ P(A' ∪ B) = 1

সঠিক উত্তর বিকল্প 4।

ব্যাখ্যা:

বিবৃতি I এর জন্য : P (A) = $\frac{7}{13}$ , P (B) = $\frac{9}{13}$ এবং P (A ∩ B) = $\frac{4}{13}$

আমরা জানি যে P(A/B) = $\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

মান বসিয়ে P(A/B) = 4/9 সত্য

বিবৃতি II এর জন্য :

• E ঘটনাটি হল 'প্রাপ্ত সংখ্যাটি 3-এর গুণিতক', ∴ P(E) = 1/3 (3 এবং 6 হবে 3-এর গুণিতক)
• F ঘটনাটি হল 'প্রাপ্ত সংখ্যাটি জোড়', ∴ P(F) = 1/2 (জোড় সংখ্যাগুলি হবে 2, 4, 6)

​এখন, স্বাধীন ঘটনাগুলির জন্য P(E ∩ F) অবশ্যই P(E)P(F) হতে হবে

⇒ P(E ∩ F) = P(সংখ্যাটি জোড় এবং 3-এর গুণিতক অর্থাৎ শুধুমাত্র 6) = 1/6

আমরা দেখতে পাচ্ছি যে P(E ∩ F) = P(E)P(F)

অতএব এই বিবৃতিটিও সত্য।

ধারণা:

• $\mathrm{P}(\mathrm{A}|\mathrm{B})=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{B})}$
• $\mathrm{P}(\mathrm{B}|\mathrm{A})=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{A})}$
• A ⊂ B = সঠিক সাবসেট: A এর প্রতিটি উপাদান B তে রয়েছে, কিন্তু B এর আরও উপাদান রয়েছে।
• ϕ = খালি সেট = {}

গণনা:

প্রদত্ত: P(B/A) = 1

⇒ $\mathrm{P}(\mathrm{B}|\mathrm{A})=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{A})}=1$

⇒ P(A ∩ B) = P(A)

⇒ (A ∩ B) = A

সুতরাং, A এর প্রতিটি উপাদান B তে রয়েছে, তবে B এর আরও উপাদান রয়েছে।

∴ A ⊂ B

ধারণা :

ধরা যাক, A এবং B একটি এলোমেলো পরীক্ষার সাথে যুক্ত যেকোনো দুটি ঘটনা। তারপর, একটি ঘটনা A ঘটার সম্ভাবনা যে শর্তে B ইতিমধ্যেই ঘটেছে যে P(B) ≠ 0, তাকে শর্তযুক্ত সম্ভাব্যতা বলা হয় এবং P(A | B) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

অর্থাৎ $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}$

একইভাবে, $P\left(B|A\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(A\right)},whereP\left(A\right)\ne 0$

গণনা :

ধরি, ছেলের জন্য b এবং মেয়ের জন্য g

নমুনা স্থান S = {(b, b), (b, g), (g, b), (g, g)}

ধরি, A = উভয় সন্তানই ছেলে

ধরি, B = অন্তত একটি সন্তান ছেলে

অর্থাৎ, A = {(b, b)}, B = {(b, b), (b, g), (g, b)} এবং A ∩ B = {(b, b)}

⇒ P (B) = 3/4 এবং P (A ∩ B) = 1/4

আমরা জানি যে, $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}$

⇒ P (A | B) = 1/3

ধারণা:

• $\mathrm{P}(\mathrm{A}|\mathrm{B})=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{B})}$
• $\mathrm{P}(\mathrm{B}|\mathrm{A})=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{A})}$
• A ⊂ B = সঠিক সাবসেট: A এর প্রতিটি উপাদান B তে রয়েছে, কিন্তু B এর আরও উপাদান রয়েছে।
• ϕ = খালি সেট = {}

গণনা:

প্রদত্ত: P(B/A) = 1

⇒ $\mathrm{P}(\mathrm{B}|\mathrm{A})=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{A})}=1$

⇒ P(A ∩ B) = P(A)

⇒ (A ∩ B) = A

সুতরাং, A এর প্রতিটি উপাদান B তে রয়েছে, তবে B এর আরও উপাদান রয়েছে।

∴ A ⊂ B

ধারণা :

ধরা যাক, A এবং B একটি এলোমেলো পরীক্ষার সাথে যুক্ত যেকোনো দুটি ঘটনা। তারপর, একটি ঘটনা A ঘটার সম্ভাবনা যে শর্তে B ইতিমধ্যেই ঘটেছে যে P(B) ≠ 0, তাকে শর্তযুক্ত সম্ভাব্যতা বলা হয় এবং P(A | B) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

অর্থাৎ $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}$

একইভাবে, $P\left(B|A\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(A\right)},whereP\left(A\right)\ne 0$

গণনা :

ধরি, ছেলের জন্য b এবং মেয়ের জন্য g

নমুনা স্থান S = {(b, b), (b, g), (g, b), (g, g)}

ধরি, A = উভয় সন্তানই ছেলে

ধরি, B = অন্তত একটি সন্তান ছেলে

অর্থাৎ, A = {(b, b)}, B = {(b, b), (b, g), (g, b)} এবং A ∩ B = {(b, b)}

⇒ P (B) = 3/4 এবং P (A ∩ B) = 1/4

আমরা জানি যে, $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}$

⇒ P (A | B) = 1/3

ধারণা:

বিবৃতি 1:

যদি A এবং B পারস্পরিক স্বতন্ত্র ঘটনা হয়, তাহলে P (A ∩ B) = 0।

আমরা জানি যে P (A ∪ B) = P(A) + P(B) – P (A ∩ B) = 0.6 + 0.6 = 1.2 > 1

এটি বিরোধিতা করে ∵ কোনো ঘটনার সম্ভাবনা A: 0 ≤ P (A) ≤ 1।

তাই বিবৃতি 1 ভুল।

বিবৃতি 2:

প্রদত্ত: P(A|B) = 1

আমরা জানি, $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}=1$

⇒ B ⊆ A

$\Rightarrow P\left(\overline{B}|\overline{A}\right)=\frac{P\left(\overline{A}\cap \overline{B}\right)}{P\left(\overline{A}\right)}=\frac{P\left(\overline{A\cup B}\right)}{P\left(\overline{A}\right)}=\frac{P\left(\overline{A}\right)}{P\left(\overline{A}\right)}=1$

সুতরাং, বিবৃতি 2 সঠিক।

ধারণা:

শর্তসাপেক্ষ সম্ভাব্যতা:- পূর্ববর্তী ঘটনা বা ফলাফলের সংঘটনের উপর ভিত্তি করে একটি ঘটনা বা ফলাফল ঘটার সম্ভাবনা হিসাবে শর্তযুক্ত সম্ভাবনাকে সংজ্ঞায়িত করা হয়।

শর্তাধীন সম্ভাব্যতা সূত্র:

P(A | B) = $\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

যেখানে P(A | B) হল A প্রদত্ত B সম্ভাব্যতা

P(A ∩ B) = A এবং B এর সম্ভাব্যতা

P(B) = B এর সম্ভাব্যতা

গণনা:

আমাদের আছে,

P(A ∩ B) = $\frac{7}{10}$

P(B) = $\frac{17}{20}$

⇒ P(A | B) = $\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

⇒ P(A | B) = $\frac{\frac{7}{10}}{\frac{17}{20}}$

⇒ P(A | B) = $\frac{7}{10}\times \frac{20}{17}$

⇒ P(A | B) = $\frac{14}{17}$

∴ যদি P(A ∩ B) = $\frac{7}{10}$ এবং P(B) = $\frac{17}{20}$ হয়, তাহলে P(A/B) =$\frac{14}{17}$ এর সমান

ধারণা:

1. P(A/B) = $\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$
2. P(B' ∩ A) = P(A) - P(A ∩ B)
3. P(A ∩ B) = P(A) + P(B) - P(A ∪ B)

​গণনা:

প্রদত্ত P(B) = $\frac{3}{5}$, P(A/B) = $\frac{1}{2}$ এবং P(A ∪ B) = $\frac{4}{5}$

আমরা জানি P(A/B) = $\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

⇒ P(A ∩ B) = P(A/B) x P(B)

⇒ P(A ∩ B) = $\frac{1}{2}\times \frac{3}{5}$.

⇒ P(A ∩ B) = $\frac{3}{10}$

আমরা জানি P(A ∩ B) = P(A) + P(B) - P(A ∪ B)

P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∪ B) - P(B)

⇒ P(A) = $\frac{3}{10}+\frac{4}{5}-\frac{3}{5}$

⇒ P(A) = $\frac{1}{2}$

P(A ∪ B)' = 1 - P(A ∪ B)

⇒ P(A ∪ B)' = 1 - $\frac{4}{5}$

P(A ∪ B)' = $\frac{1}{5}$

P(A' ∪ B) = P(A ∩ B')' = 1 - P(A ∩ B')

[ডি মর্গানের সূত্র অনুযায়ী]

⇒ P(A' ∪ B) = 1 - [P(A) - P(A ∩ B)]

⇒ P(A' ∪ B) = 1 - [$\frac{1}{2}-\frac{3}{10}$]

⇒ P(A' ∪ B) = 1 - $\frac{1}{5}$

P(A' ∪ B) = $\frac{4}{5}$

P(A ∪ B)'+ P(A' ∪ B) = $\frac{1}{5}+\frac{4}{5}$

∴ P(A ∪ B)'+ P(A' ∪ B) = 1

সঠিক উত্তর বিকল্প 4।

ধারণা:

• $\mathrm{P}(\mathrm{A}|\mathrm{B})=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{B})}$
• $\mathrm{P}(\mathrm{B}|\mathrm{A})=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{A})}$
• A ⊂ B = সঠিক সাবসেট: A এর প্রতিটি উপাদান B তে রয়েছে, কিন্তু B এর আরও উপাদান রয়েছে।
• ϕ = খালি সেট = {}

গণনা:

প্রদত্ত: P(B/A) = 1

⇒ $\mathrm{P}(\mathrm{B}|\mathrm{A})=\frac{\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})}{\mathrm{P}(\mathrm{A})}=1$

⇒ P(A ∩ B) = P(A)

⇒ (A ∩ B) = A

সুতরাং, A এর প্রতিটি উপাদান B তে রয়েছে, তবে B এর আরও উপাদান রয়েছে।

∴ A ⊂ B

ধারণা :

ধরা যাক, A এবং B একটি এলোমেলো পরীক্ষার সাথে যুক্ত যেকোনো দুটি ঘটনা। তারপর, একটি ঘটনা A ঘটার সম্ভাবনা যে শর্তে B ইতিমধ্যেই ঘটেছে যে P(B) ≠ 0, তাকে শর্তযুক্ত সম্ভাব্যতা বলা হয় এবং P(A | B) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

অর্থাৎ $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}$

একইভাবে, $P\left(B|A\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(A\right)},whereP\left(A\right)\ne 0$

গণনা :

ধরি, ছেলের জন্য b এবং মেয়ের জন্য g

নমুনা স্থান S = {(b, b), (b, g), (g, b), (g, g)}

ধরি, A = উভয় সন্তানই ছেলে

ধরি, B = অন্তত একটি সন্তান ছেলে

অর্থাৎ, A = {(b, b)}, B = {(b, b), (b, g), (g, b)} এবং A ∩ B = {(b, b)}

⇒ P (B) = 3/4 এবং P (A ∩ B) = 1/4

আমরা জানি যে, $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}$

⇒ P (A | B) = 1/3

ধারণা:

বিবৃতি 1:

যদি A এবং B পারস্পরিক স্বতন্ত্র ঘটনা হয়, তাহলে P (A ∩ B) = 0।

আমরা জানি যে P (A ∪ B) = P(A) + P(B) – P (A ∩ B) = 0.6 + 0.6 = 1.2 > 1

এটি বিরোধিতা করে ∵ কোনো ঘটনার সম্ভাবনা A: 0 ≤ P (A) ≤ 1।

তাই বিবৃতি 1 ভুল।

বিবৃতি 2:

প্রদত্ত: P(A|B) = 1

আমরা জানি, $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}=1$

⇒ B ⊆ A

$\Rightarrow P\left(\overline{B}|\overline{A}\right)=\frac{P\left(\overline{A}\cap \overline{B}\right)}{P\left(\overline{A}\right)}=\frac{P\left(\overline{A\cup B}\right)}{P\left(\overline{A}\right)}=\frac{P\left(\overline{A}\right)}{P\left(\overline{A}\right)}=1$

সুতরাং, বিবৃতি 2 সঠিক।

ধারণা:

শর্তসাপেক্ষ সম্ভাব্যতা:- পূর্ববর্তী ঘটনা বা ফলাফলের সংঘটনের উপর ভিত্তি করে একটি ঘটনা বা ফলাফল ঘটার সম্ভাবনা হিসাবে শর্তযুক্ত সম্ভাবনাকে সংজ্ঞায়িত করা হয়।

শর্তাধীন সম্ভাব্যতা সূত্র:

P(A | B) = $\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

যেখানে P(A | B) হল A প্রদত্ত B সম্ভাব্যতা

P(A ∩ B) = A এবং B এর সম্ভাব্যতা

P(B) = B এর সম্ভাব্যতা

গণনা:

আমাদের আছে,

P(A ∩ B) = $\frac{7}{10}$

P(B) = $\frac{17}{20}$

⇒ P(A | B) = $\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

⇒ P(A | B) = $\frac{\frac{7}{10}}{\frac{17}{20}}$

⇒ P(A | B) = $\frac{7}{10}\times \frac{20}{17}$

⇒ P(A | B) = $\frac{14}{17}$

∴ যদি P(A ∩ B) = $\frac{7}{10}$ এবং P(B) = $\frac{17}{20}$ হয়, তাহলে P(A/B) =$\frac{14}{17}$ এর সমান

ব্যাখ্যা:

বিবৃতি I এর জন্য : P (A) = $\frac{7}{13}$ , P (B) = $\frac{9}{13}$ এবং P (A ∩ B) = $\frac{4}{13}$

আমরা জানি যে P(A/B) = $\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

মান বসিয়ে P(A/B) = 4/9 সত্য

বিবৃতি II এর জন্য :

• E ঘটনাটি হল 'প্রাপ্ত সংখ্যাটি 3-এর গুণিতক', ∴ P(E) = 1/3 (3 এবং 6 হবে 3-এর গুণিতক)
• F ঘটনাটি হল 'প্রাপ্ত সংখ্যাটি জোড়', ∴ P(F) = 1/2 (জোড় সংখ্যাগুলি হবে 2, 4, 6)

​এখন, স্বাধীন ঘটনাগুলির জন্য P(E ∩ F) অবশ্যই P(E)P(F) হতে হবে

⇒ P(E ∩ F) = P(সংখ্যাটি জোড় এবং 3-এর গুণিতক অর্থাৎ শুধুমাত্র 6) = 1/6

আমরা দেখতে পাচ্ছি যে P(E ∩ F) = P(E)P(F)

অতএব এই বিবৃতিটিও সত্য।