“MATHEMATICS” అనే పదం నుండి తీసుకోబడిన నాలుగు వర్ణమాలల మొత్తం ఎంపికల సంఖ్య:

ఉపయోగించిన భావన:-

వస్తువులు లేదా వస్తువుల అమరిక, వాటిలో వస్తువులను ఎలా ఎంచుకోవాలో పట్టింపు లేదు, దానిని కలయిక అంటారు.

n వస్తువుల సమితి నుండి r వస్తువులను ఎంచుకోగల మొత్తం కలయికల సంఖ్యను ఇలా ఇవ్వవచ్చు,

\(^nC_r=\dfrac{n!}{(n-r)!(r!)}\)

వివరణ:-

ఈ సమస్యలో ఇవ్వబడిన పదం “MATHEMATICS”.

ఈ పదంలో మొత్తం 11 అక్షరాలు ఉన్నాయి, దీనిలో మనకు

2 M'లు, 2T'లు, 2 A'లు, 1 H, 1 E, 1 I, 1 C, 1 S

కాబట్టి, మనకు 8 ప్రత్యేకమైన అక్షరాలు ఉన్నాయి మరియు వాటిలో 3 రెండుసార్లు పునరావృతమవుతాయి. ఇప్పుడు, 4 అక్షరాలను ఈ పదం ద్వారా అమర్చాలి. దీనికి 3 సందర్భాలు ఉన్నాయి.

దశ 1:-

అన్ని 4 అక్షరాలు ఒకదానికొకటి భిన్నంగా ఉన్నప్పుడు, ఎంపిక సంఖ్య,

\(\Rightarrow N_1={ }^8 C_4\\ \Rightarrow N_1=\frac{8 !}{(8-4)!(4) !}\\ \Rightarrow N_1=\frac{8 !}{4!4 !}\\ \Rightarrow N_1=\frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 !}{4\times 3\times 2\times 1\times4 !}\\ \Rightarrow N_1=70 \)

దశ 2:-

రెండు అక్షరాలు ఒకేలా ఉన్నప్పుడు మరియు మిగిలిన రెండు అక్షరాలు కూడా ఒకేలా ఉన్నప్పుడు.

ఇక్కడ మనకు మొత్తం 3 జతల పునరావృత అక్షరాలు ఉన్నాయి. ఇప్పుడు, 2 అక్షరాలను ³ C ₂ విధాలుగా ఎంచుకోవచ్చు.

\( \Rightarrow N_2={ }^3 C_2 \\ \Rightarrow N_2=\frac{3 !}{(3-2) !2 !}\\ \Rightarrow N_2=\frac{3\times2!}{(1) !2 !}\\ \Rightarrow N_2=3\)

దశ 3:-

రెండు అక్షరాలు భిన్నంగా ఉండి, 2 ఒకేలా ఉన్నప్పుడు.

ఇక్కడ, ఒకే అక్షరం యొక్క 1 జతను మొత్తం ³C₁ విధాలుగా ఎంచుకోవచ్చు, అయితే మిగిలిన 2 వేర్వేరు అక్షరాలను మొత్తం ⁷C₂ విధాలుగా ఎంచుకోవచ్చు. కాబట్టి, మొత్తం మార్గాలు,

\( \Rightarrow N_2={ }^3 C_1\times { }^7 C_2 \\ \Rightarrow N_2=\frac{3 !}{(3-2) !2 !}\times \frac{7 !}{(7-2) !2 !}\\ \Rightarrow N_2=\frac{3\times2!}{(1) !2 !}\times \frac{7\times6\times5!}{(5) !\times2 \times 1}\\ \Rightarrow N_2=3\times21\\ \Rightarrow N_2=63\)

మూడింటినీ కలిపితే, మనకు లభిస్తుంది,

⇒ మొత్తం మార్గాలు = 70 + 3 + 63

⇒ మొత్తం మార్గాలు = 136

కాబట్టి, ఇచ్చిన పదం “MATHEMATICS” నుండి తీసుకోబడిన నాలుగు అక్షరాల నుండి మొత్తం ఎంపికల సంఖ్య 136.

కాబట్టి, సరైన ఎంపిక 4.