सदिश x = (x₁, x₂, x₃) और R³ का निम्नलिखित में से कौनसा समुच्चय  R³ का एक उपसमष्‍टि है?

अवधारणा:

• एक सदिश समष्टि की उपसमष्‍टि : एक सदिश समष्टि V की उपसमष्‍टि W को V की उपसमष्‍टि कहा जाता है यदि W स्वयं V पर परिभाषित योग और अदिश गुणन के अंतर्गत एक सदिश समष्टि है।
• एक सदिश समष्टि W को एक सदिश समष्टि V की उपसमष्‍टि कहा जाता है यदि वह निम्नलिखित शर्तों को संतुष्ट करता है:     ​​

1. W \(\neq\) \(\emptyset\)

2. \(\vec{x}\),\(\vec{y}\) ∈  W \(\implies\) \(\vec{x}\) + \(\vec{y}\) ∈  W

3. α ∈ R ,\(\vec{x}\) ∈  W \(\implies\)\(α\)\(\vec{x}\) ∈  W

गणना:

हम यहाँ प्रत्येक विकल्पों की जाँच करते हैं:

माना,

विकल्प 1) : सभी x इस प्रकार हैं कि x2 परिमेय है

अर्थात् V = {x = (x₁, x₂, x₃)  ∈  R³ | x₂ एक परिमेय है}

चूँकि 0 एक परिमेय संख्या है, हमें ज्ञात है V \(\neq\) \(\emptyset\), इस प्रकार V के उपसमष्‍टि होने की पहली शर्त संतुष्ट होती है।

अगला, माना x , y ∈ V जहाँ x = (x₁, x₂, x₃) और y = (y₁, y₂, y₃) कुछ x₁, x₂, x₃, y₁, y₂, y₃ ∈ R के लिए x₂ और y₂ परिमेय हैं।

माना, x + y = (x₁, x₂, x₃) +(y₁, y₂, y₃) 

= (x₁ + y₁, x₂ + y₂, x₃ + y₃), जहाँ x₂ + y₂ निश्चित रूप से एक परिमेय संख्या है।

V के उपसमष्‍टि होने की दूसरी शर्त संतुष्ट होती है।

अंततः, एक x ∈ V और α ∈ R लीजिये अर्थात् α  = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)

अब α(1,2,3) = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)\(\times\)2 लीजिये (क्योंकि यहाँ x₂ = 2 और α = \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) )

=\(\sqrt{2}\) , जो कि एक परिमेय संख्या नहीं है।

V के उपसमष्‍टि होने की तीसरी शर्त उल्लंघित होती है।

इस प्रकार, हम विकल्प 1) को हटा सकते हैं।

अगला, माना 

विकल्प 2) : सभी x इस प्रकार है कि x1 + 3x2 = x3

अर्थात् V = {x = (x₁, x₂, x₃) ∈ R³ | x₃ = x₁ + 3x₂}

0 = 0 + 0, (0,0,0) ∈ V , इस प्रकार V \(\neq\) \(\emptyset\)

इस प्रकार, इस प्रकार V के उपसमष्‍टि होने की पहली शर्त संतुष्ट होती है।

अगला, माना x , y ∈ V  जहाँ x = (x₁, x₂, x₃) और y = (y₁, y₂, y₃) कुछ x₁, x₂, x₃, y1, y₂, y₃ ∈ R के लिए x₁ + 3x₂ = x₃ और y₁ + 3y₂ = y₃

और इस प्रकार, ध्यान दें कि x + y = (x₁ + y₁, x₂ + y₂, x₃ + y₃)

इस प्रकार, x₃ + y₃ = (x₁ + 3x₂) + (y₁ + 3y₂)

⇒ (x₁ + y₁) + 3(x₂ + y₂) ∈ V

V के उपसमष्‍टि होने की दूसरी शर्त संतुष्ट होती है।

अंततः, एक x ∈ V एक अदिश ∈ V लीजिये

तब, x = (x₁, x₂, x₃) R में कुछ x₁, x₂, x₃ के लिए x₃ = x₁ + 3x₂

तब हम मानते हैं αx = α.(x₁, x₂, x₃)

αx₃ = α(x₁ + 3x₂) = αx₁ + α3x₂ ∈ R

इस प्रकार, V के उपसमष्‍टि होने की की तीसरी शर्त भी संतुष्ट होती है।

इस प्रकार, हम यह कह सकते हैं कि विकल्प 3) और विकल्प 4) एक उपसमष्‍टि होने की क्रमशः तीसरी और दूसरी शर्त का उल्लंघन करता है।

अतः, सही उत्तर विकल्प 2) है।